（完整word版）初中数学平行四边形经典例题讲解（3套）

人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》（完整word版）初中数学平⾏四边形经典例题讲解（3套）平⾏四边形经典例题（附带详细答案）1．如图，EF求证：AFCE=【答案】证明：平⾏四边形ABCD中，ADBC∴∠=∠，BECDFA∴△≌△，∴CEAF=2．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，，求四边形ABCD的周长．【答案】、是平⾏四边形ABCD对⾓线AC上两点，BEDF∥，．∥，ADBC=∴∠=∠．⼜BEDF∥，，ACBCADBECDFA解法⼀:∵∴⼜∵∴∴∥即得是平⾏四边形∴∴四边形的周长解法⼆:3,6==ABBCABCD∥?=∠+∠180CBBD∠=∠?=∠+∠180DCADBCABCD36ABCDBCAD==，ABCD183262=?=ADCBDCABEF连接∵∴⼜∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴⼜∵∴∴∥即是平⾏四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD中，∠D=60°求∠A，∠B，∠C的⼤⼩．【关键词】多边形的内⾓和【答案】设xA=∠（度），则20+=∠xB，xC2=∠．，∠B⽐∠A⼤20°，∠C是∠A的2倍，我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》

人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》根据四边形内⾓和定理得，360602)20(=++++xxx．解得，70=x．ACABCD∥DCABAC∠=∠BDACCA∠=∠=，ABC△CDA△36ABCDBCAD====，ABCD183262=?+?=BDABCD∥CDBABD∠=∠ABCCDA∠=∠ADBCBD∠=∠ADBCABCD36ABCDBCAD====，ABCD183262=?+?=ADCBADCB∴?=∠70A，?=∠90B，?=∠140C．4．（如图，EF，是四边形ABCD的对⾓线AC上两点，AFCEDFBEDFBE==，，∥．求证：（1）AFDCEB△≌△．（2）四边形ABCD是平⾏四边形．【关键词】平⾏四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DFBEQ∥，DFEBEF∴∠=∠．180AFDDFE∠+∠=Q°，180CEBBEF∠+∠=°，AFDCEB∴∠=∠．⼜AFCEDFBE==Q，，AFDCEB∴△≌△(SAS)．（2）由（1）知AFDCEB△≌△，DACBCAADBC∴∠=∠=，，ADBC∴∥．∴四边形ABCD是平⾏四边形（⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形）5．如图，在边长为5的正⽅形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF⊥，2BE=.（1）求EC∶CF的值；（2）延长EF交正⽅形外⾓平分线CPP于点，试判断AEEP与的⼤⼩关系，并说明理由；（3）在图的AB边上是否存在⼀点M，使得四边形DMEP是平⾏四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．ABDEFC【关键词】平⾏四边形的判定【答案】解：（1）AEEF⊥Q2390∴∠+∠=°Q四边形ABCD为正⽅形90BC∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAMABEDAAB∠=∠==Q°，DAMABE∴△≌△DMAE∴=AEEP=QDMPE∴=∴四边形DMEP是平⾏四边形．解法②：在AB边上存在⼀点M，使四边形DMEP是平⾏四边形证明：在AB边上取⼀点M，使AMBE=，连接ME、MD、DP．穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》90ADBADAMABE=∠=∠=，°RtRtDAMABE∴△≌△14DMAE∴=∠=∠，1590∠+∠=Q°4590∴∠+∠=°AEDM∴⊥AEEP⊥QDMEP∴⊥ADCBEBCEDAFPF∴四边形DMEP为平⾏四边形6．已知⼆次函数2yaxbxc=++（0a≠）的图象经过点(10)A，，(20)B，，(02)C-，，直线xm=（2m>）与x轴交于点D．（1）求⼆次函数的解析式；（2）在直线xm=（2m>）上有⼀点E（点E在第四象限），使得EDB、、为顶点的三⾓形与以AOC、、为顶点的三⾓形相似，求E点坐标（⽤含m的代数式表⽰）；（3）在（2）成⽴的条件下，抛物线上是否存在⼀点F，使得四边形ABEF为平⾏四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的⾯积；若不存在，请说明理由．【关键词】⼆次函数、相似三⾓形、运动变化、抛物线解：（1）根据题意，得04202.abcabcc++=??++=??=-?，，BCEDAFP541M解得132abc=-==-，，．232yxx∴=-+-．（2）当EDBAOC△∽△时，得AOCOEDBD=或AOCOBDED一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》

常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》=，∵122AOCOBDm===-，，，当AOCOEDBD=时，得122EDm=-，∴22mED-=，∵点E在第四象限，∴122mEm-??，．当AOCOBDED=时，得122mED=-，∴24EDm=-，∵点E在第四象限，∴2(42)Emm-，．（3）假设抛物线上存在⼀点F，使得四边形ABEF为平⾏四边形，则1EFAB==，点F的横坐标为1m-，当点1E的坐标为22mm-?????，时，点1F的坐标为212mm-?-，，∵点1F在抛物线的图象上，∴22(1)3(1)22mmm-=--+--，∴2211140mm-+=，∴(27)(2)0mm--=，∴722mm==，（舍去），∴15324F??-，，∴33144ABEFS=?=Y．当点2E的坐标为(42)mm-，时，点2F的坐标为(142)mm--，，∵点2F在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2mmm-=--+--，∴27100mm-+=，∴(2)(5)0mm--=，∴2m=（舍去），5m=，海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐

以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》∴2(46)F-，，∴166ABEFS=?=Y．注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．7．已知：如图在ABCDY中，过对⾓线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。（1）观察图形并找出⼀对全等三⾓形：△________≌△____________，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的⼀对全等三⾓形，其中⼀个三⾓形可由另⼀个三⾓形经过怎样的变换得到？【关键词】四边形、全等三⾓形、变换（1）DOEBOF①△≌△；证明：∵四边形ABCD是平⾏四边形∴ADBC∥∴EDOFBOEF∠=∠∠=∠，EBMODNFCAEBMODNFCA⼜∵ODOB=∴()DOEBOFAAS△≌△BOMDON②△≌△证明：∵四边形ABCD是平⾏四边形∴ABCD∥∴MBONDOBMODNO∠=∠∠=∠，⼜∵BODO=∴()BOMDONAAS△≌△ABDCDB③△≌△；证明：∵四边形ABCD是平⾏四边形∴ADCBABCD==，云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》

宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。——《洪应明》⼜∵BDDB=∴()ABDCDBSSS△≌△（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中⼼作对称变换得到．8分8．在所给的9×9⽅格中，每个⼩正⽅形的边长都是1．按要求画平⾏四边形，使它的四个顶点以及对⾓线交点都在⽅格的顶点上．(1)在图甲中画⼀个平⾏四边形，使它的周长是整数；(2)在图⼄中画⼀个平⾏四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图⼄在答题纸上)【关键词】平⾏四边形的性质，判定【答案】解：（1）（2）10．（2009年中⼭）在ABCDY中，10AB=，ADm=，60D∠=°，以AB为直径作O⊙，（1）求圆⼼O到CD的距离（⽤含m的代数式来表⽰）；（2）当m取何值时，CD与O⊙相切．【关键词】利⽤平⾏四边形证明线段相等【答案】（1）分别过AO，两点作AECDOFCD⊥⊥，，垂⾜分别为点E，点F，AEOFOF∴∥，就是圆⼼O到CD的距离．Q四边形ABCD是平⾏四边形，ABCDAEOF∴∴=∥，．在RtADE△中，60sinsin60AEAEDDADAD∠=∠==°，，°，222AEAEmOFAEmm====，，，圆⼼到CD的距离PF．（2）OF=Q，AB为O⊙的直径，且10AB=，人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》

百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》∴当5OF=时，CD与O⊙相切于F点，即523mm==，∴当m=时，CD与O⊙相切．11．如图：点A.D.B.E在同⼀直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出⼀个与∠E相等的⾓，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）【关键词】平⾏四边形的判定【答案】解法1：图中∠CBA＝∠E证明：∵AD＝BE∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE∵AC∥DF∴∠A＝∠FDE⼜∵AC＝DF∴△ABC≌△DEF∴∠CBA＝∠E解法2：图中∠FCB＝∠EAFEDCBAFEDCB证明：∵AC＝DF，AC∥DF∴四边形ADFC是平⾏四边形∴CF∥AD，CF＝AD∵AD＝BE∴CF＝BE，CF∥BE∴四边形BEFC是平⾏四边形∴∠FCB＝∠E12．如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，6cmAD=，4cmCD=，10cmBCBD==，点P由B出发沿BD⽅向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA⽅向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（05t<<）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PEAB∥？（2）设PEQ△的⾯积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某⼀时刻t，使225PEQBCDSS=△△？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的⾯积是否发⽣变化？说明理由．【海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐关键词】全等三⾓形的性质与判定、相似三⾓形判定和性质、平⾏四边形有关的计算【答案】

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐FF解：（1）∵PEAB∥∴DEDPDADB=．⽽10DEtDPt==-，，∴10610tt-=，∴154t=．∴当15(s)4tPEAB=，∥．（2）∵EF平⾏且等于CD，∴四边形CDEF是平⾏四边形．∴DEQCDQEBDC∠=∠∠=∠，．∵10BCBD==，∴DEQCDQEBDC∠=∠=∠=∠．∴DEQBCD△∽△．∴DEEQBCCD=．104tEQ=．∴25EQt=．过B作BMCD⊥，交CD于M，过P作PNEF⊥，交EF于N．BM===∵EDDQBPt===，∴102PQt=-．⼜PNQBMD△∽△，PQPNBDBM=人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》，10210t-=，15tPN?=-??211212255PEQtSEQPNt==??-=g△．（3）11422BCDSCDBM==??=gg△若2万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》25PEQBCDSS=△△，则有2225=?，解得1214tt==，．（4）在PDE△和FBP△中，10DEBPtPDBFtPDEFBPPDEFBP==?==-?∠=∠?，，△≌△，云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》

人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》∴PDEPFCDEPFCDSSS=+△五边形四边形FBPPFCDSS=+△四边形BCDS==△∴在运动过程中，五边形PFCDE的⾯积不变．经典例题（附带答案2）例1⼀个平⾏四边形的⼀个内⾓是它邻⾓的3倍，那么这个平⾏四边形的四个内⾓各是多少度？分析根据平⾏四边形的对⾓相等，邻⾓互补可以求出四个内⾓的度数．解设平⾏四边形的⼀个内⾓的度数为x，则它的邻⾓的度数为3x，根据题意，得，解得，∴∴这个平⾏四边形的四个内⾓的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2已知：如图，的周长为60cm，对⾓线AC、BD相交于点O，的周长⽐的周长多8cm，求这个平⾏四边形各边的长．分析由平⾏四边形对边相等，可知平⾏四边形周长的⼀半＝30cm，⼜由的周长⽐的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．解∵四边形为平⾏四边形，∴，∴，∴∴答：这个平⾏四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平⾏四边形两邻边之和等于平⾏四边形周长的⼀半．（2）平⾏四边形被对⾓线分成四个⼩三⾓形，相邻两个三⾓形周长之差等于邻边之差．例3已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．分析观察图形，，从⽽可说明好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫证明在中，交于O，∴，∴，∴，∴例4已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂⾜为F。求证：分析观察图形，与都是直⾓三⾓形，且锐⾓，斜边，因此这两个直⾓三⾓形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有⽤的相等关系。证明∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∴，⼜，∴。∴例5O是ABCD对⾓线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.解答：ABCD中，，.∴的周长∴.在ABCD中，.∴的周长－的周长∴∴ABCD的周长说明：本题考查平⾏四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.例6已知：如图，ABCD的周长是，由钝⾓顶点D向AB，BC引两条⾼DE，DF，且，.求这个平⾏四边形的⾯积.解答：设.∵四边形ABCD为平⾏四边形，∴.⼜∵四边形ABCD的周长为36，∴①∵，∴∴②解由①，②组成的⽅程组，得.∴.说明：本题考查平⾏四边形的性质及⾯积公式，解题关