高中函数基本性质知识点总结

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知识点概述

关于函数的基本性质的知识点是一个系统的知识体系,需要重点掌控.

知识点总结

1.函数的有关概念

函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数*，在集合B中都有唯一确定的数f(*)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(*)，*A.其中，*叫做自变量，*的取值范围A叫做函数的定义域;与*的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(*)*A}叫做函数的值域.

留意：假如只给出解析式y=f(*)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

2.定义域补充

能使函数式有意义的实数*的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数需要大于零;

(4)指数、对数式的底需要大于零且不等于1.

(5)假如函数是由一些基本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的*的值组成的集合.

(6)指数为零底不能等于零

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再留意：

(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决断的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，即称这两个函数相等(或为同一函数)

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全全都，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域全都(两点需要同时具备)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么，不论采用什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

(2).应熟识掌控一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解繁复函数值域的基础.

(3).求函数值域的常用方法有：径直法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(*),(*A)中的*为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(*，y)的集合C，叫做函数y=f(*),(*A)的图象.

C上每一点的坐标(*，y)均满意函数关系y=f(*)，反过来，以满意y=f(*)的每一组有序实数对*、y为坐标的点(*，y)，均在C上.即记为C={P(*,y)y=f(*),*A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或离散点组成.

(2)画法

A、描点法：依据函数解析式和定义域，求出*,y的一些对应值并列表，以(*,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(*,y)，最末用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质;

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发觉解题中的错误。

4.快去了解区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;

(3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的'对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素*，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作f：AB

给定一个集合A到B的映射，假如aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种非常的映射，映射是一种非常的对应，

①集合A、B及对应法那么f是确定的;

②对应法那么有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;

③对于映射f：AB来说，那么应满意：

(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;

Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，留意判断一个图形是否是函数图象的依据;

解析法：需要注明函数的定义域;

图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观测函数的特征;

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

留意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数(参见课本P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时需要把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值状况.

(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二：复合函数

假如y=f(u),(uM),u=g(*),(*A),那么y=f[g(*)]=F(*)，(*A)称为f、g的复合函数。

常见考点考法

关于值域定义域的考核是重点

拓展：

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f(*)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是

f(*)+f(2a－*)=2b

证明：〔须要性〕设点P(*,y)是y=f(*)图像上任一点，∵点P(*,y)关于点A(a,b)的对称点P〔2a－*，2b－y〕也在y=f(*)图像上，∴2b－y=f(2a－*)

即y+f(2a－*)=2b故f(*)+f(2a－*)=2b，须要性得证。

〔充分性〕设点P(*0,y0)是y=f(*)图像上任一点，那么y0=f(*0)

∵f(*)+f(2a－*)=2b∴f(*0)+f(2a－*0)=2b，即2b－y0=f(2a－*0)。

故点P〔2a－*0，2b－y0〕也在y=f(*)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(*)的图像关于原点O对称的充要条件是f(*)+f(－*)=0

定理2.函数y=f(*)的图像关于直线*=a对称的充要条件是

f(a+*)=f(a－*)即f(*)=f(2a－*)〔证明留给读者〕

推论：函数y=f(*)的图像关于y轴对称的充要条件是f(*)=f(－*)

定理3.①假设函数y=f(*)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称〔a≠b〕，那么y=f(*)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②假设函数y=f(*)图像同时关于直线*=a和直线*=b成轴对称〔a≠b〕，那么y=f(*)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③假设函数y=f(*)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线*=b成轴对称〔a≠b〕，那么y=f(*)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f(*)图像既关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(*)+f(2a－*)=2c，用2b－*代*得：

f(2b－*)+f[2a－(2b－*)]=2c………………〔*〕

又∵函数y=f(*)图像直线*=b成轴对称，

∴f(2b－*)=f(*)代入〔*〕得：

f(*)=2c－f[2(a－b)+*]…………〔**〕，用2〔a－b〕－*代*得

f[2(a－b)+*]=2c－f[4(a－b)+*]代入〔**〕得：

f(*)=f[4(a－b)+*],故y=f(*)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y=f(*)与y=2b－f(2a－*)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

定理5.①函数y=f(*)与y=f(2a－*)的图像关于直线*=a成轴对称。

②函数y=f(*)与a－*=f(a－y)的图像关于直线*+y=a成轴对称。

③函数y=f(*)与*－a=f(y+a)的图像关于直线*－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(*0,y0)是y=f(*)图像上任一点，那么y0=f(*0)。记点P(*,y)关于直线*－y=a的轴对称点为P〔*1，y1〕，那么*1=a+y0,y1=*0－a，∴*0=a+y1,y0=*1－a代入y0=f(*0)之中得*1－a=f(a+y1)∴点P〔*1，y1〕在函数*－a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数*－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线*－y=a的轴对称点也在函数y=f(*)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f(*)的图像与*=f(y)的图像关于直线*=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tan*的全部对称中心坐标应当是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册〔下〕及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案〔修订版〕中都认为y=tan*的全部对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的特别数函数满意：f(10+*)为偶函数，且f(5－*)=f(5+*),那么f(*)肯定是〔〕〔第十二届盼望杯高二第二试题〕

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f(10+*)为偶函数，∴f(10+*)=f(10－*).

∴f(*)有两条对称轴*=5与*=10，因此f(*)是以10为其一个周期的周期函数，∴*=0即y轴也是f(*)的对称轴，因此f(*)还是一个偶函数。

应选(A)

例2：设定义域为R的函数y=f(*)、y=g(*)都有反函数，并且f(*－1)和g-1(*－2)函数的图像关于直线y=*对称，假设g(5)=1999，那么f(4)=〔〕。

〔A〕1999；〔B〕2000；〔C〕2022；〔D〕2022。

解：∵y=f(*－1)和y=g-1(*－2)函数的图像关于直线y=*对称，

∴y=g-1(*－2)反函数是y=f(*－1)，而y=g-1(*－2)的反函数是:y=2+g(*),∴f(*－1)=2+g(*),∴有f(5－1)=2+g(5)=2022

故f(4)=2022,应选〔C〕

例3.设f(*)是定义在R上的偶函数，且f(1+*)=f(1－*),当－1≤*≤0时，

f(*)=－*，那么f(8.6)=_________〔第八届盼望杯高二第一试题〕

解：∵f(*)是定义在R上的偶函数∴*=0是y=f(*)对称轴；

又∵f(1+*)=f(1－*)∴*=1也是y=f(*)对称轴。故y=f(*)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函数y=sin(2*+)的图像的一条对称轴的方程是〔〕(92全国高考理)(A)*=－(B)*=－(C)*=(D)*=

解：函数y=sin(2*+)的图像的全部对称轴的方程是2*+=k+

∴*=－,显着取k=1时的对称轴方程是*=－应选(A)

例5.设f(*)是定义在R上的奇函数，且f(*+2)=－f(*),当0≤*≤1时，

f(*)=*，那么f(7.5)=〔〕

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(*)是定义在R上的奇函数，∴点〔0，0〕是其对称中心；

又∵f(*+2)=－f(*)=f(－*)，即f(1+*)=f(1－*)，∴直线*=1是y=f(*)对称轴，故y=f(*)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5应选(B)

锐角三角函数公式

sin=的对边/斜边

cos=的邻边/斜边

tan=的对边/的邻边

cot=的邻边/的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

帮助角公式

Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B

降幂公式

sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

推导公式

tan+cot=2/sin2

tan-cot=-2cot2

1+cos2=2cos^2

1-cos2=2sin^2

1+sin=(sin/2+cos/2)^2

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

两角和差

cos(+)=coscos-sinsin

cos(-)=coscos+sinsin

sin()=sincoscossin

tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

和差化积

sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]

sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]

cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]

cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2

coscos=[cos(+)+cos(-)]/2

sincos=[sin(+)+sin(-)]/2

cossin=[sin(+)-sin(-)]/2

诱导公式

sin(-)=-sin

cos(-)=cos

tan(a)=-tan

sin(/2-)=cos

cos(/2-)=sin

sin(/2+)=cos

cos(/2+)=-sin

sin()=sin

cos()=-cos

sin()=-sin

cos()=-cos

tanA=sinA/cosA

tan(/2+)=-cot

tan(/2-)=cot

tan()=-tan

tan()=tan

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

一、定义与定义式：

自变量*和因变量y有如下关系：

y=k*+b

那么此时称y是*的一次函数。

特别地，当b=0时，y是*的正比例函数。

即：y=k*〔k为常数，k≠0〕

二、一次函数的性质：

1.y的改变值与对应的*的改变值成正比例，比值为k

即：y=k*+b〔k为任意不为零的实数b取任何实数〕

2.当*=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

〔1〕列表；