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文档简介
C1407班的李镜楠有一天拦住我,说:“老师,我觉得海伦公式很重要,你可以讲一下吗?”海伦公式一、什么是海伦公式?如图1,在三角形ABC中,A=15,B=14,C=13,求三角形ABC的面积,运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗?图1像这样的题目,用海伦公式很容易解决,那么,什么是海伦公式呢?海伦公式:三角形的面积其中:、、分别是三角形的三边长,海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式(利用三角形的三条边长来求三角形面积)相传是亚历山大港的海伦发现的,并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式,而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。由三角形面积公式即得上述证明用到了三角函数、,因为初二年级的学生还没有接触三角函数,我们也可以考虑用以下的方法证明。CCABT图3TBAC图4是△的边上的高,点为垂足。记,,,,(见上图)。证明(2):若△是锐角三角形(图3),则由勾股定理有由(1)式得出,带入(2)式:。展开,即得,由此式解得,类似于证明(1),得出,由于三角形面积,由上式即得。若△是钝角三角形(图4),不失一般性,设,则由勾股定理有类似于△是锐角三角形的情况,可得,因而亦得。若△是直角三角形(图4),不失一般性,设,由勾股定理有。故,此时仍有。海伦公式的推导海伦公式形式漂亮,结构工整,有多种变形,如:S======三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系,我们不禁会类比猜想,简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢?由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设四条边长分别为,且,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明:如下图,延长DA,CB交于点E。设EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB~△ECD∴==,=解得:e=③f=④由于S四边形ABCD=S△EAB将③,④跟
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