2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示

缸塞平面向量基本定理及坐标表示

［考试要求］

1.了解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

◎梳理•必备知识

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面

内的任一向量Q,有且只有一对实数21,丸2,使4=九61+%202.

(2)基底：若ei，62不共线,我们把｛约，02｝叫做表示这一平面内所有向量的

一个基底.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设4=(X1,>1),b=(X2,y2),则

a+：=(xi+x2,yi+y2),a-—=(xi-九2,yi-y2),Aa=(Zri>z.vi)>|a|=、/++y阜.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),B(X2,yi),则-8=(x2—汨，y2—yi),|A8=~\/^2—xi)2+(y2—yi)2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,*),其中〃W0,则a〃b<=>xiy2—x2.yi=O.

［常用结论］

1.若a与b不共线，且za+//Z>=0,则%=〃=().

2.已知P为线段A3的中点，若A(x\,y\),BQ2,y2),则P点坐标为

(Xl+xzyi土口

I22)

3.已知△ABC的重心为G,若A(xi,yi),8(x2,”)，C(X3,”)，则

13—3)

◎激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打"J"，错误的打“x”)

⑴平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()

⑵向量的坐标就是向量终点的坐标.()

(3)若a=(xi,yi),b=(X2,yi),则a〃分的充要条件可以表示成

()

(4)若a,万不共线，且2ia+〃山=/ha+〃2〃，则为=义2,"i=〃2.()

[答案](1)X(2)X(3)X(4)V

二'教材习题衍生

13

1.已知平面向量a=(l,l),6=(1,—1),则向量呼一/=()

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

D[Va=(l,l),1=(1,-1),

.♦.%=&全=住，高

.13(131,3、

••呼一手=6一2,科3=(-1，2)，

故选D.]

2.若Pi(l,3),P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

D［由题意可知后72=(3,-3).

~A1~»

若PIP=QPIP2,则P点坐标为(2,2);

~A2-*■

若P|P=1P1P2,则P点坐标为(3,1),

故选D.]

3.已知口48CO的顶点A(-l,-2),8(3,—1),C(5,6),则顶点。的坐标

为.

(1,5)[设。(x,y),则由然=庆，得(4』)=(5—x,6—y),

4=5—x,fx=l,

即，/解得c]

[\=6~y,ly=5.

4.如图，0A,々不共线，且万="%«GR),用以，治表示办=.

{\-t)OA+tOB［'：AP=tAB,

：.OP=OA+AP=OA+tAB

=OA+t{OB-OA)=OA+tOB-tOA

=(1一疝+屈］

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

□考点一平面向量基本定理的应用《师生共研

［典例1］如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将为分成2:1

的一个内分点，。。和04交于点E,设方=a,0B=b.

⑴用a和6表示向量次，DC；

(2)若求实数2的值.

-*■2-A

［解］(1)由题意知，A是BC的中点，且。。=1。3,由平行四边形法则,

得防+女=2成

所以又=2后一防=2。一力,

25

DC=OC—OD=(2a—b)—^b=2a—:jb.

(2)由题意知，EC//DC,故设成

因为应?=元一己=(2。一加一加

f5

=(2—2)a—万，DC=2a~^b.

所以(2一%)a—Z>=.i(2a—$>).

因为a与》不共线，由平面向量基本定理,

'2—2=2x,p=|,

得5解得〈,

〔一匚一产〔4*

故：=亍

畲反思领悟平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通

过向量的运算来解决.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要

熟练运用平面几何的一些性质定理.

一［跟进训练］

1.(多选)(2021・惠州调研)设a是已知的平面向量且“W0,关于向量a的分

解，有如下四个命题(向量4c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是

()

A.给定向量瓦总存在向量c,使a=Z>+c

B.给定向量。和c,总存在实数2和〃，使。=肪+〃c

C.给定单位向量〃和正数〃，总存在单位向量c和实数九使。=劝+”

D.给定正数2和〃，总存在单位向量分和单位向量c,使。=劝+3

AB•向量仇c和4在同一平面内且两两不共线，.：bWO,cWO,

给定向量a和。，只需求得其向量差。一儿

即为所求的向量c,

故总存在向量c,使n=〃+c,故A正确；

当向量乩c和。在同一平面内且两两不共线时，向量从c可作基底，

由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；

取。=（4,4）,〃=2,6=（1,0）,

无论2取何值，向量而都平行于光轴，而向量〃c的模恒等于2,

要使a=〃>+〃c成立，根据平行四边形法则，向量〃C的纵坐标一定为4,

故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

因为2和〃为正数，所以劝和〃c代表与原向量同向的且有固定长度的向量，

这就使得向量。不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a

=劝+"成立，故D错误.故选AB.]

2.如图，A,8分别是射线OM,ON上的点，给出下列向量：①晶+23k

1―►1—►3-*,1­►3-*■1—►

卷5。4+1。8；跖04+103；%。4+5。8,若这些向量均以。为起点，则终

点落在阴影区域内（包括边界）的是（）

A.①②B.①③

C.②③D.②④

B[由向量共线的充要条件可得：当点P在直线43上时，存在唯一的一对

有序实数〃，v,使得。P=〃OA+oQB成立，且“+。=1.

可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足办=〃豆办，且“

>0,。>0,u+v>l.

•；1+2>1,.•.点P位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误.故

选B.]

3.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且证=3日），点。在线段

CD上（与点C,D不重合），若花=%还+（1—幻/，则x的取值范围是

A.(0

C.T，。)D.(To)

D[法一：依题意，设而，其中1V2

/I-►―►—►―►—A―►—►

<y则有A0=A8+B0=AB+彷C=A8+4AC-

赢)=(1一»诵+2启.又启=入靠+(l-x)启，且

AB,元不共线，于是有x=l-AG(一；,0),即x的取值范围是(一；，0),故选

D.

法二：'：AO=xAB+AC-xAC,：.AO-AC=X(AB-AC),即53=xd=-

-►]

3xCD,：O在线段CD(不含C,。两点)上，.\0<-3x<l,二一QVXVO.]

□考点二平面向量的坐标运算《师生共研

[典例2](1)向量a,h,c在正方形网格中，如图所示，若c=〃r+〃伙九〃6R),

则己=()

(2)已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).i^AB=a,BC=b,CA=c,且

CM=3c,Bj=~2b.

①求3a+。-3c；

②求ALN的坐标及向量MN的坐标.

(1)D[以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1,

可得。8=(6,2),c=(—l,-3).

c=2a+〃伙2,〃6R),

—1=-2+6//,1

[-3=+2〃，解得』2,

.•尸=4.故选D.]

4

(2)[解]由已知得。=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).

①3a+Z>—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)

=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

②设0为坐标原点，,：CM=-0M~0C=3c,

.•.原=3c+女=(3,24)+(—3,-4)=(0,20).

.\M(0,20).又•：CN=ON—OC=-2b,

：.ON=-2Z»+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

.•.Mg,2),：.MN=(9,-18).

令反思领悟平面向量坐标运算的技巧

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点

的坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方

程(组)进行求解.

［跟进训练厂

4.⑴在平行四边形ABCD中,4(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),则点。的

坐标为()

A.(6,1)B.(—6,—1)

C.(0,-3)D.(0,3)

(2)(2021.阳泉三模)如图，在正方形ABCO中，M,N分别是BCCO的中点,

一f一

若AC=Z4〃+//3N,贝！J2+〃=________.----“

(DA(2)|[(l)AB=(-3,-2)=DC,

AAD=AC+CD=AC-AB=(5,一1),则0(6,1).

故选A.

(2)法一：以AB,AO所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如

图所示,

设正方形的边长为1,则AM=(1,习，BN=(一与,1),AC=(1,1),

一出，

p—1u=l,p=|,

.,・<解得J2

：

•.•A1।〃_~85.

―►―►1—►—►1—►—D,得启=疝/+〃丽=1一§淡

法二：由AM=A8+F。，BN=~^AB+A

+e+〃淡，又元=Q+Ab,

p—2=hp=|,

•••<x解得J2••"+〃=*

/〃=1,1〃=亍

□考点三向量共线的坐标表示«多维探究

卜考向1利用向量共线求参数

［典例3—1］已知。=(1,0),6=(2,1).

(1)当上为何值时，人一方与a+2A共线；

(2)若赢=2a+3b,BC=a+mb,且A,BC三点共线，求〃2的值.

［解］(l)Va=(l,0),6=(2,1),

：.ka-b=k(l,0)-(2,l)=(k-2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

■:ka—b与Q+2〃共线，

A2(^-2)-(-l)X5=0,

：'k=~2'

(2)AB=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),

诙=(1,0)+祖(2,1)=(2加+1,m).

VA,B,C三点共线，

：.AB//BC,.,.8〃2-3(2机+1)=0,

••Z72?.

考向2利用向量共线求向量或点的坐标

［典例3—2］已知。为坐标原点，点A(4,0),8(4,4),C(2,6),则AC与。8

的交点P的坐标为________.

(3,3)［法一：由。，P,B三点共线，可设方=%d=(4九44),则崩=67

-04=(42-4,4^).