均值不等式应用及例题解析(教案)

基本不等式——均值不等式及应用2021/5/91一、均值不等式均值定理：当且仅当a=b时，式中等号成立。两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值或称为它们的几何平均数称为正数a、b的算术平均数2021/5/92证明：上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想2021/5/93问题：

均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式)类比思想应用定理3三元均值不等式：a、b、c∈N*当且仅当a=b=c时，式中等号成立。语言表述：三个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值2021/5/94同理三元均值不等式也可由换元得到，只要证明以下不等式成立：证明：（证明需要用到的公式）2021/5/95求差法证明：求差法是不等式证明常用的方法2021/5/96二、均值不等式的推广1、四个均值不等式链平方平均数≥算数平均数≥几何平均数≥调和平均数

2、正数a1,a2,…,an(多元均值不等式)2021/5/973、常见变式2021/5/98三、均值不等式的应用

——用不等式证明不等式当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用a、b代换两数（有积定直接用均值不等式）2021/5/992021/5/910当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式a、b代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来解（积积定值直接用）2021/5/911直接用三元均值不等式来解2021/5/912练习4：已知:a,b,c均为正数,求证:2021/5/913二项之积为一个常数直接用均值不等式a、b代换即可.2021/5/914技巧（构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的几个常用构造不等式：带常数不等式两边乘上a或b都可以构造带元数的不等式2021/5/915证明：因为所以：两边相加利用带元数的构造不等式，构造出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。2021/5/916

不等式分母和右边交换，构造不等式相加二边Xa二边Xb二边Xc分子分母Xa分子分母Xb分子分母Xc2021/5/917用求差法证明例4：求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方差的连加形式，因为abc都大于0，这种式子最终都大于0的。2021/5/918四、均值不等式的应用

——求最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。均值不等式即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。在求最值时必须强调的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可2021/5/919注意：”一正二定三相等”是指利用均值不等式

证明或求最值必须强调的三个特殊要求：（1）一正：各项都为正数（a、b＞0，由ab做成的两项也需＞0）（2）二定：两项积为定值，和有最小值两项和为定值，积有最大值（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，取的值是否在已知的区间内，否则会出现错误注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合2021/5/920ab≥9a+b≥6解：2021/5/921例6、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？2021/5/922解：设矩形长为a,宽为b则S=ab=100，L=2（a+b）因为a+b≧=20当且仅当a=b=10,a+b=20所以L≧40，当a=10,b=10时L最短，为40.解：设矩形长为a,宽为b则S=ab，L=2（a+b）=36因为a+b=18≧当且仅当a=b=9,axb=81所以S≦81，当a=9,b=9时S最大，为81.例6解：2021/5/923利用均值不等式求函数最值的步骤:练习1)若x>0,f(x)=

的最小值为_______;此时x=_______.解:因为x>0,

若x<0,f(x)=

的最大值为_______;此时x=_______.即当x=2时函数的最小值为12.122-12-2当且仅当时取等号,一正二定三相等二项相乘为定值二项相等时求出的x值是否在已知的区间内，在取等号；如不在不能取等号未知数X，均＞02021/5/924注意:各项必须为正数二边乘-1不等式要变号2021/5/925解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值（凑积定）2021/5/926的范围.

(2)求函数

解：（取值需要判别ab正负，x＞0是对对数函数的，不是对a和b的）2021/5/927例9.函数y=(x≥0)的最小值

为______,此时x=______.

∴x=010添项加数（变换、凑系数）使它二项相乘为定值（凑积定）2021/5/928最大值4(a=b=2)最大值2(a=1b=2)最大值8(a=2b=4)2021/5/929练习

:1.函数

求函数f(x)的最小值.换元法凑积定：从高次到低次逐步用x+1代入分子的x中，边代入边配项，目的使得有二项相乘为定值，不管常数。

2021/5/930练习2函数

求该函数的最大值,并求出相

应x的值.a/4(x=a/8)（凑和定）：二乘积凑x的系数，使得原乘积的二项x前的系数相同，二项相加时能取消x变为定值2021/5/931练习3最小值4，当2a=b时有最小值(a=1/2b=1)

凑和定：二个都凑系数2021/5/932例11.求函数的最小值.利用对勾函数(t>0)的单调性.5/2(x=0)三不等，改用“单调性”变形:≥2？验证：一正ab二项＞0；二定二项之积为1；三相等x²+4=1，x²=-3无效。所以该题不能用不等式求最小值2021/5/933

2021/5/934练习1解答练习2解答2021/5/935例1２:解:构造三个数相加等于定值.用三元均值不等式求最值2021/5/9362021/5/937A、6

B、C、9

D、12

（）C2021/5/938例13求函数的最小值2021/5/939小结：利用均值不等式求最值时注意：2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧1、一正、二定、三相等；缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）。2021/5/940

阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。五、错题辨析因为三不等因为二不定2021/5/941

当且仅当即:时取“=”号正解即此时因为二不定a、b∈R+一正二定三相等符合已知条件2021/5/942

2、求函数的最小值．下面甲、乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由甲：由知，则

(错解原因是1/x=2/x无法解等号取不到)(错解原因是不满足积定)2021/5/943丙：构造三个数相乘等于定值.注：拆项时一般拆成二个相同的项一正二定三相等2021/5/9442.若x>0,当x=

时,函数

有最

值

.3.若x>4,函数

当x=

时,函数有最

值是

.

1.若x>0,当x=

时,

函数的最小值是

.2/3小125大-6

练习题2021/5/9454.已知,则的

最大值为

,此时x=

.5.若,当x=

时,y=x(5–2x)有最大值

.6.若x>0,则最大值为

.3/41/25/425/8

变换为3x(3-3x)*1/3变换为2x(5-2x)*1/22021/5/946六、一题多解2021/5/9472021/5/9