不确定度的传递公式

大学物理实验

2008－3－32021/5/91绪论2021/5/92实验选课该实验课实行网上选课：网址：202.207.14.87或从理工学院“实验选课系统”进入首先认真阅读《选课必读》，然后把最近的预备实验选完；以后再选其它实验。2021/5/93实验纪律1、实验前必须认真预习，阅读仪器使用说明，网上查看课件，写出预习报告，经教师检查同意后方可进行实验，无预习报告者取消实验资格。2、迟到超过15分钟者教师有权取消其本次实验资格；3、严禁伪造和抄袭数据，一经发现，取消实验资格。4、爱护仪器设备，严禁偷窃实验仪器，一经发现，并上报学校给予相应的处分。5、做完实验，学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐，经教师审查测量数据并签字后，方可离开实验室。6、实验报告应在实验后一周内交实验室信箱。7、请假必须有院办的假条，无故旷课在最后平均成绩里扣1.5分。2021/5/94一.测量1.测量的含义2.测量的分类二.误差1.绝对误差与相对误差3．误差的分类2．误差来源2021/5/951.测量的含义

测量就是把待测物理量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出被测量是单位的多少倍的过程。一.测量2021/5/962.测量的分类按方法分类：

1.直接测量

2.间接测量2021/5/97

先直接测量一些其他相关量，再用物理公式计算出结果，这称为间接测量。

用量具或仪表直接读出测量值的，称为直接测量。例如：用刻度尺测长度、用电流表测电流等。例如：在测电阻R时，可用电压表直接测电阻两端电压U值、用电流表直接测电阻上通过的电流I值，再用公式R=U/I计算出电阻R值，对电阻的测量就属于间接测量。2021/5/982.测量的分类按条件分类：

1.等精度测量

2.非等精度测量2021/5/99

如果对某一物理量重复地测量了多次,而且每次测量都是在相同条件下(同一仪器、同一方法、同一环境、同一观察者)进行的，这时我们没有根据指出某一次测量比另一次更准确些，认为每次测量都是在相同精度下测得的，这称为等精度测量。

如果在多次测量中，其中每次条件有了变化，那么在条件改变下的测量就是非等精度测量。

大学物理实验中的重复测量都认为是在相同条件下的等精度测量。2021/5/910二.误差1.绝对误差与相对误差3．误差的分类2．误差来源2021/5/9111.绝对误差与相对误差①.绝对误差②.相对误差2021/5/912①.仪器

2.误差来源②.方法③.环境④.人员2021/5/9133.误差的分类①.系统误差特点：确定性②.随机误差随机性特点：可通过多次测量来减小可用特定方法来消除替代法抵消法交换法半周期偶数观测法对称观测法2021/5/914一、不确定度的概念二、不确定度的分类三、直接测量不确定度的计算四、不确定度的传递公式2021/5/915

由于误差的存在而被测量值不能确定的程度，是被测量真值在某个量值范围内的评定。一、不确定度的概念不确定度用S表示。

误差以一定的概率被包含在量值范围中。

真值以一定的概率被包含在量值范围中。2021/5/916A类不确定度：

由观测数列用统计分析方法评定的不确定度称A类不确定度。

二、不确定度的分类

可以通过统计方法来计算(如随机误差)。2021/5/917

由观测数列以外的其他信息用非统计分析方法评定的不确定度称B类不确定度。B类不确定度：

不能用统计方法只能用其他方法估算(如仪器误差)。2021/5/918三、直接测量不确定度的计算A类不确定度的计算：测量结果写成:当测量次数很少时，将乘以一个t因子作为修正后的不确定度。(P=68.3％)2021/5/919n234567t0.683l.841.321.201.141.111.09t因子表(表中n表示测量次数)n89101520∞t0.6831.081.071.061.041.03l今后测量次数大于或等于5次的t因子均取为12021/5/920K是一个系数，视误差限△的概率分布而定，可以计算，若△为正态分布K=3，若为均匀分布，若为三角分布。B2类不确定度的估计:

通常级别较高的仪器△可视为正态分布，级别较低的仪器△可视为均匀分布。

在我们物理实验中若不能确定△的分布，可视为是均匀分布。2021/5/921仪器误差的确定：A.由仪器的准确度表示2021/5/922B.由仪器的准确度级别来计算2021/5/9232021/5/924C.未给出仪器误差时连续可读仪器:非连续可读仪器:最小分度/2最小分度2021/5/9252021/5/926仪器误差限（）举例a:游标卡尺，仪器示值误差一律取卡尺分度值。b:螺旋测微计，量程在0—25mm及25—50mm的一级千分尺的仪器示值误差均为mm。c:天平的示值误差，本书约定天平标尺分度值的一半为仪器的示值误差。d:电表的示值误差，量程准确度等级%。2021/5/927e:数字式仪表，误差示值取其末位数最小分度的一个单位。f:仪器示值误差或准确度等级未知，可取其最小分度值的一半为示值误差（限）。g:电阻箱、电桥等，示值误差用专用公式计算。2021/5/928

对于单次测量得到的数据，无统计可言，这种测量造成的不确定度也是一种B类不确定度，称为B类测量不确定度，记作单次测量不确定度

对于可以取为最小分度的1/10、1/5、1/2或更大，这需要视具体情况而定。例如：在透镜成像实验中，由于视觉的分辨率较差，因此B类不确定度可取为最小分度值。在本课程中，无特别说明时均。2021/5/929当为单次测量时，上式中应换为合成不确定度SA类不确定度分量B类不确定度分量2021/5/930用50分度游标卡尺测一圆环的宽度，其数据如下：由于是多次测量，存在A类不确定度：任何直接测量都存在B类不确定度：合成不确定度:m=15.272;15.276;15.268;15.274;15.270;15.274;15.268;15.274;15.272cm.求合成不确定度。解：

例：330.0020.00116≈0.0012()SB2(m)D=仪==cm2021/5/931四、不确定度的传递公式设N为待测物理量，X、Y、Z为直接测量量（间接测量的不确定度由传递公式计算）2021/5/932五、测量结果表达式：2021/5/933一、有效数字的一般概念二、有效数字位数的确定三、直接测量有效数字的确定

——如何读数四、间接测量量有效数字的确定

——有效数字的运算法则五、在处理有效数字时几点注意2021/5/934一、有效数字的一般概念定义：在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加一位可疑数字，便组成了有效数字。

L1=L2=3.43.456

2021/5/935二、有效数字位数的确定2.0010412.04cm(4位)20.60m22.00A0.0123dm(4位)(3位)(3位)(3位)2021/5/936三、直接测量有效数字的确定

——如何读数读数的一般规则：

读至仪器误差所在的位置（1）用米尺测长度:0.1mm例：（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流:100×0.1%=0.1mA,读至0.01mA2021/5/937四、间接测量量有效数字的确定

——有效数字的运算法则1.加减法有效数字的运算法则：运算后的有效数字，取到最靠前出现可疑数的那一位。尾数对齐：结果应保留的小数位数与诸量中小数位数最少的一个相同。2021/5/9382.乘除法3.乘方与开方有效数字的运算法则：运算后的有效数字，取到最靠前出现可疑数的那一位。位数取齐：诸量相乘除，结果的有效数字位数，一般与各个量中有效数字位数最少的一个相同。2021/5/939（1）对数函数y=lnx,y=logx

计算结果尾数的位数取得与真数的位数相同；（2）指数函数y=ax

结果的有效数字，可与指数的小数点后的位数相同；（3）三角函数按角度的有效位数来定；（4）常数的有效位数可以认为是无限的，运算中应多取1位；4、某些常见函数运算的有效位数2021/5/940

当进行加减乘除混合运算时，应按加减规则、乘除规则和函数运算规则逐步计算，最后得到计算结果。5、混合运算规则2021/5/9416、不确定度和测量结果的修约规则（1）不确定度尾数采用采取“全入”方法3.5348→3.533.5451→3.543.5350→3.540.0048→0.0050.041→0.05（2）测量值尾数采用“四舍、六入、五凑偶”。2021/5/942(1)在实验中，测量分量不确定度取2位有效数字；最终结果的不确定度保留1位有效数字，截断时采取“全入”方法；(2)最终结果写成：（单位）(P=68.3％)的形式，结果和不确定度的末位对齐，截断采取“4舍6入5凑偶”方法；五、在处理有效数字时几点注意：2021/5/943(3)数据处理过程中，如果没要求不确定度，按运算规则处理，即中间数据要保留2位存疑数字,即比运算规则多取1位，最终结果保留1位存疑数字；(4)常数π、e等的位数可与参加运算的量中有效数字位数最多的位数相同或多取几位。2021/5/944常用数据处理方法1.列表法2.作图法3.数学方法（逐差法、最小二乘法等）

数据处理是一个对数据进行加工的过程。常用的数据处理方法有以下三类：2021/5/945▲列表法例：用读书显微镜测量圆环直径测量圆环直径D仪器：读数显微镜Δins=0.004mm测量次序i左读数/mm右读数/mm直径Di/mm112.76418.7625.998210.84316.8385.995311.98717.9785.996411.58817.5845.996512.34618.3385.992611.01517.0105.994712.34118.3355.994直径平均值D/mm5.995

标题：说明表格内容附加说明：实验仪器、条件等各个栏目标明名称和单位原始数据注意数据纪录的顺序计算的中间结果数据2021/5/946例题：伏安法测电阻实验数据表▲作图法优点：能形象直观地显示物理量之间的函数关系2021/5/9478.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00I(mA)U(V)1.选择合适的坐标纸3.标实验点4.连成图线5.标出图名及注解电阻伏安特性曲线作图法步骤：一般选用直角坐标纸。选择图纸时以不损失实验数据的有效位数并能包括所有实验点为限度。2.确定坐标轴，选择合适的坐标分度值注意：坐标分度时，忌用3、7等进行分度；坐标分度可不从零开始；尽可能使图线充满图纸。注意：连线时应该使用相应的工具；通常连线是平滑的；要注意剔除错误的数据点；直线尽量通过（x,y）这一点。2021/5/948▲图解法

利用已做好的图线，我们可以定量地求得待测量或得到经验公式。从图中取两点可以计算出直线的斜率和截距，从而也就可以得到经验公式。如本例，由图上A、B两点可得被测电阻R为：2021/5/949I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上A、B两点可得被测电阻R为：2021/5/950nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图不当图例展示：曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。2021/5/951改正为：nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图2021/5/952I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm

代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。2021/5/953改正为：I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线2021/5/954定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。2021/5/955改正为：定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)2021/5/956▲逐差法

逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可充分利用数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。使用条件：（1）自变量x是等间距变化（2）被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式：分类：逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式函数关系）分组逐差（用于求多项式的系数）2021/5/957应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数）

设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0L1L2‥‥‥L9

，则可用逐差法进行以下处理（1）验证函数形式是线性关系

看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.当⊿Li基本相等时,就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即F=k⊿L用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差把所得的数据逐项相减2021/5/958(2)求物理量数值现计算每加一克砝码时弹簧的平均伸长量从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。若用逐项逐差得到：再求平均2021/5/959

为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作些组合，仍能达到多次测量减小误差的目的。所以我们采用分组逐差。通常可将等间隔所测的值分成前后两组，前一组为L0L1L2L3L4后一组为L5L6L7L8

L9

前后两组对应项相减再取平均值由此可见，分组逐差和逐项逐差不同，这时每个数据都用上了，有利于减小误差。但注意：这里的是增加五克时弹簧的平均伸长量。2021/5/960▲数据的直线拟合(最小二乘法)用作图法进行拟合带有相当大的主观随意性，用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。最小二乘法的原理：如果能找到一条最佳的拟合直线，那么这条拟合直线上各个相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中是最小的。2021/5/961最佳经验公式y=a0+a1x中a0、a1的求解

:

通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据（xi，yi，i=1，2…k），设此两物理量x、y满足线性关系，且假定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线公式为y=f(x)=a0+a1x。则2021/5/962其中r表示两变量之间的函数关系与线性的符合程度，r[-1，1]。|r|1，x、y间线性关系好，|r|0

，x、y间无线性关系，拟合无意义。物理实验中一般要求r绝对值达到0.999以上(3个9以上)。2021/5/963系数的有效位数

回归方程的相关系数r和系数A、B的有效位数可由以下方法确定：(1)实验中只要使得1－r保留2位有效位数就可以了，由此可以确定r的有效位数。

(2)系数A的有效位数和最大测量间隔的位数大致相同；

(3)系数B的末位可以和变量y的末位对齐2021/5/964例：测某铜线随温度变化的电阻，数据如表，求在0℃时铜线的电阻及其温度系数。

t17.826.937.748.258.3R3.5543.6873.8273.9694.105解：计算表格：2021/5/9652021/5/966利用Excel计算：CORREL(B1:F1,B2:F2)LINEST(B1:F1,B2:F2)INTERCEPT(B1:F1,B2:F2)2021/5/9671.用有二维统计功能的计算器可直接求得a、b、r；

2.用计算机Excel程序中的intercept、slope、correl函数也可直接求得a、b、r；

3.可以根据实际情况自己编程求a、b、r

。a、b、r的具体求解方法：2021/5/968如何写实验报告在做实验之前必须完成，具体内容包括(1)实验名称。实验报告封皮上已填写。(2)实验目的。实验报告封皮上已填写。(3)实验仪器。实验报告封皮上已填写。(4)实验原理。这部分内容要求学生充分理解了教材内容之后，用自己的语言概括性地叙述该实验的基本原理和测量方法，包括理论依据所用的公式的简单推导、必要的图示（如电路图、光路图）等，切勿全文照抄教材。(5)实验内容。要写出哪些是已知量，哪些是待测量，待测量用什么仪器去测量，测量中可能遇到的问题及注意事项。1、预习报告：2021/5/969实验名称实验目的实验仪器实验原理

均匀物质单位体积的质量称为密度，它是物质的重要物理参数之一。密度的测量涉及物体的质量2021/5/970和体积的测量。物体的质量一般可用天平直接测得，对于外形规则的物体，可通过测量其外观尺寸计算出它的体积，这就牵涉到长度的测量。根据密度的定