中考数学二轮复习重难点复习题型09 二次函数综合题 类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）（解析版）

题型九二次函数综合题类型八二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）1.（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且SKIPIF1<0．在y轴上是否存在点F，使得SKIPIF1<0为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，SKIPIF1<0）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线SKIPIF1<0，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，SKIPIF1<0），（0≤x≤4），得到PQ=SKIPIF1<0，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线SKIPIF1<0，∴B（4，0），C（0，4），设抛物线SKIPIF1<0，把C（0，4）代入得：SKIPIF1<0，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：SKIPIF1<0；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，SKIPIF1<0），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-(SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，∴此时，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中点，∴D（0，2），∵QN∥y轴，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，设E（x，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），∴E（5，4），设F（0，y），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当BF=EF时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，②当BF=BE时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，③当EF=BE时，SKIPIF1<0，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，SKIPIF1<0）或（0，1）或（0，-1）．．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．2.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求SKIPIF1<0面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线SKIPIF1<0沿射线AD平移SKIPIF1<0个单位，得到新的抛物线SKIPIF1<0，点E为点P的对应点，点F为SKIPIF1<0的对称轴上任意一点，在SKIPIF1<0上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，过程见解析【分析】（1）将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积；

（3）通过平移距离为SKIPIF1<0，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为SKIPIF1<0

∵点D与点C关于直线l对称，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，

设P（m，m2-3m-4），

作PE∥y轴交直线AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当m=1时，SKIPIF1<0的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD方向平移平移SKIPIF1<0个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），

设平移后的抛物线的解析式为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴平移后y1=x2-11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：SKIPIF1<0，∵P（1，-6），

∴E（5，-10），∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（SKIPIF1<0，y），①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．3.（2022·四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧），与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0的坐标；(2)如图1，若点SKIPIF1<0是第二象限内抛物线上一动点，求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值；(3)如图2，若点SKIPIF1<0是抛物线上一点，点SKIPIF1<0是抛物线对称轴上一点，是否存在点SKIPIF1<0使以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0最大为SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或（3，-16）或SKIPIF1<0【分析】（1）把点A的坐标代入SKIPIF1<0，求出c的值即可；（2）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0是等腰直角三角形，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0最大，，运用待定系数法求直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．(1)（1）∵点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0的图象上，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0；(2)过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0轴，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0最大，设直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大为SKIPIF1<0，∴此时SKIPIF1<0最大为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离值最大；(3)存在．∵SKIPIF1<0∴抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0，设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，SKIPIF1<0）分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得，x=3.∴SKIPIF1<0∴点M的坐标为（3，-16）②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同①可得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴点M的坐标为（-7，-16）；③当AC为对角线时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴线段AC的中点H的坐标为SKIPIF1<0，即H（SKIPIF1<0）∴SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0∴点M的坐标为（-3，8）综上，点SKIPIF1<0的坐标为：SKIPIF1<0或（3，-16）或SKIPIF1<0．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．4.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线SKIPIF1<0平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为SKIPIF1<0，点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设PSKIPIF1<0，其中0<t<4，则ESKIPIF1<0，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得SKIPIF1<0，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1）当MN∥AB时；2）当NM∥AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【详解】解（1）∵抛物线SKIPIF1<0经过点A（0，﹣1），点B（4，1），∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴该抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0；（2）∵A（0，-1），B（4，1），∴直线AB的函数表达式为SKIPIF1<0，∴C（2，0），设PSKIPIF1<0，其中0<t<4，∵点E在直线SKIPIF1<0上，PE∥x轴，∴ESKIPIF1<0，∠OCA=∠DEP，∴PE=SKIPIF1<0，∵PD⊥AB，∴∠EDP=∠COA，∴△PDE∽△AOC，∵AO=1，OC=2，∴AC=SKIPIF1<0，∴△AOC的周长为3+SKIPIF1<0，令△PDE的周长为l，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为SKIPIF1<0，此时点P的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0，对称轴为直线SKIPIF1<0．①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，-4）；②若AB是平行四边形的边，1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形，∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，12）；2）当NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形，∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2+4=6，∴点M的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．5.（2021·湖北中考真题）抛物线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左边）．（1）SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的正半轴上，顶点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧的抛物线上．①如图（1），若点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的横坐标是SKIPIF1<0，直接写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标；②如图（2），若点SKIPIF1<0在抛物线上，且SKIPIF1<0的面积是12，求点SKIPIF1<0的坐标；（2）如图（3），SKIPIF1<0是原点SKIPIF1<0关于抛物线顶点的对称点，不平行SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0分别交线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不含端点）于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0与抛物线只有一个公共点，求证SKIPIF1<0的值是定值．【答案】（1）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0．（2）见解析【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出SKIPIF1<0，点E在抛物线上，求出纵坐标为SKIPIF1<0，再根据平行四边形的性质，求出SKIPIF1<0；②连SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴垂线，垂足为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到SKIPIF1<0，再由则SKIPIF1<0，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用SKIPIF1<0求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线SKIPIF1<0与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，再求出结果．【详解】（1）解：①∵抛物线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左边），∴令SKIPIF1<0=0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点E在抛物线上，点SKIPIF1<0的横坐标是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形ACDE是平行四边形，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②设点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0．∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0平移可与SKIPIF1<0重合，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0．∵点SKIPIF1<0在抛物线上，∴SKIPIF1<0．解得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．连SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴垂线，垂足为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不合题意，舍去）．∴点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0．（2）方法一：证明：依题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴设直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．同理，直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．∵直线SKIPIF1<0与抛物线只有一个公共点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，同理，得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点关于SKIPIF1<0轴对称，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．方法二：证明：同方法一得直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与抛物线唯一公共点为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0．同理，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．6.（2021·广东中考真题）已知二次函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，且对任意实数x，都有SKIPIF1<0．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，可看成二次函数SKIPIF1<0与一次函数SKIPIF1<0仅有一个交点，且整体位于SKIPIF1<0的上方，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个相等的实数根，再根据SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0的值，即可求出二次函数解析式．（2）结合（1）求出点C的坐标，设SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0为对角线时，②当SKIPIF1<0为对角线时，③当SKIPIF1<0为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：（1）令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即可看成二次函数SKIPIF1<0与一次函数SKIPIF1<0仅有一个交点，且整体位于SKIPIF1<0的上方∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0有两个相等的实数根SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍），SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．③当SKIPIF1<0为对角线时，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述：N点坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．7.（2021·四川中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（3）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【分析】（1）根据OB=OC=3OA，AC=SKIPIF1<0，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断出四边形BACP的面积最大时，△BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式S△BPC=SKIPIF1<0，即可求出S△BPC面积最小时点P的坐标；（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标．【详解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：OA=1，OC=OB=3，∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线BC的表达式为y=x+3，设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），S△BPC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，此时x=SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴P（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（3）若BP为平行四边形的对角线，则PQ∥BM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，∴Q（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；若BP为平行四边形的边，如图，QP∥BM，QP=BM，同上可得：Q（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；如图，BQ∥PM，BQ=PM，∵点Q的纵坐标为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴点Q的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；如图，BP∥QM，BP=QM，∵点Q的纵坐标为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，解得：SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，∴点Q的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；综上：点Q的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8.（2021·湖南中考真题）将抛物线SKIPIF1<0向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线SKIPIF1<0．抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的一个动点．

（1）求抛物线SKIPIF1<0的表达式；（2）如图1，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上方的抛物线SKIPIF1<0上运动（不与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积的最大值；（3）如图2，点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的对称轴SKIPIF1<0上的一个动点，在抛物线SKIPIF1<0上，是否存在点SKIPIF1<0，使得以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0；（3）点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得SKIPIF1<0，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由三角形面积公式可得SKIPIF1<0，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，则把点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0；（2）由（1）可得抛物线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，∵SKIPIF1<0，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，∵SKIPIF1<0，∴△PEF是等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点SKIPIF1<0，如图所示：

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴要使面积最大则PE的值为最大即可，设直线AC的解析式为SKIPIF1<0，代入点A、C的坐标得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线AC的解析式为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵-1＜0，开口向下，∴当SKIPIF1<0时，PE有最大值，即为SKIPIF1<0，∴△PEF面积的最大值为SKIPIF1<0；（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∠CAO=∠ADQ=45°，①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：

过点P作PG⊥l于点G，∵四边形APQC是平行四边形，∴SKIPIF1<0，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴点P的横坐标为-4，∴SKIPIF1<0；②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：

同理①可得点P的横坐标为2，∴SKIPIF1<0；③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：

∵四边形AQCP是平行四边形，∴SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，∴由中点坐标公式可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．9.（2021·海南中考真题）已知抛物线SKIPIF1<0与x轴交于SKIPIF1<0两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为SKIPIF1<0、点C的坐标为SKIPIF1<0．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求SKIPIF1<0的面积；（3）如图2，有两动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线SKIPIF1<0按SKIPIF1<0方向向终点B运动，点E沿线段SKIPIF1<0按SKIPIF1<0方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0；②在点SKIPIF1<0运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接SKIPIF1<0得到的四边形SKIPIF1<0是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；（3）①当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；②点F的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）直接将SKIPIF1<0两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；（2）先求出顶点和B点坐标，再利用割补法，将所求三角形面积转化为与其相关的图形的面积的和差关系即可，如图，SKIPIF1<0；（3）①先求出BC的长和E点坐标，再分两种情况讨论，当点D在线段SKIPIF1<0上运动时的情况和当点D在线段SKIPIF1<0上运动情况，利用面积已知得到关于t的一元二次方程，解t即可；②分别讨论当点D在线段SKIPIF1<0上运动时的情况和当点D在线段SKIPIF1<0上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．【详解】（1）∵抛物线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0该地物线的函数表达式为SKIPIF1<0（2）∵抛物线SKIPIF1<0，∴抛物线的顶点P的坐标为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的坐标为SKIPIF1<0．如图4-1，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（3）①∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动．SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当运动时间为t秒时，SKIPIF1<0，如图4-2，过点E作SKIPIF1<0轴，垂足为N，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．∴点E的坐标为SKIPIF1<0．下面分两种情形讨论：i．当点D在线段SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，点D的坐标为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．ii．如图4-3，当点D在线段SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②如图4-4，当点D在线段SKIPIF1<0上运动时，SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，当四边形ADFE为平行四边形时，AE可通过平移得到EF，∵A到D横坐标加1，纵坐标加SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0;如图4-5，当点D在线段SKIPIF1<0上运动时，AE可通过平移得到EF，∵SKIPIF1<0，∵A到D横坐标加SKIPIF1<0，纵坐标不变，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上可得，F点的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题综合考查了抛物线的图像与性质、相似三角形的判定与性质、已知顶点坐标求三角形面积、平行四边形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，本题对学生的综合思维能力、分析能力以及对学生的计算能力都要求较高，考查了学生利用平面直角坐标系解决问题的能力，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．10.（2020•齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为），cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12×16−4b+c=01故直线AB的表达式为：y=12x（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；则∠ABO＝45°，故cos∠ABO=2对于y=12xOP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或则yPyC=1故点P（﹣2，2）或（0，4）；故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′（4，0），设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则4k+b=0−2k+b=−2，解得k=故直线A′M的表达式为：y=13x令x＝0，则y=−43，故点Q（0，（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．11.（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝2，即12（2）求出点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），故抛物线的对称轴为x＝2，即12故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，由x2−x由x2−x12.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−2，0），直线BC的解析式为y=−（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=（2）四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）直线BC的解析式为y=−23x+2，令y＝0，则x＝3故点B、C的坐标分别为（32，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22即﹣6a＝2，解得：a=1故抛物线的表达式为：y=−13x2+2（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−23（x+2联立①②并解得：x＝42，故点D（42，−10由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2当x＝32时，yBC=−23x+2＝﹣2，即点H（3设点