中考数学二轮复习重难点复习题型08 函数的实际应用 类型四 抛物线型问题（专题训练）（解析版）

题型八函数的实际应用类型四抛物线型问题（专题训练）1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段SKIPIF1<0表示水平的路面，以O为坐标原点，以SKIPIF1<0所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：SKIPIF1<0，该抛物线的顶点P到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到SKIPIF1<0的距离均为SKIPIF1<0，求点A、B的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．(1)依题意，顶点SKIPIF1<0，设抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．解之，得SKIPIF1<0．∴抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0．(2)令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解之，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面SKIPIF1<0可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽SKIPIF1<0，桥拱顶点SKIPIF1<0到水面的距离是SKIPIF1<0．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为SKIPIF1<0的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距SKIPIF1<0点SKIPIF1<0时，桥下水位刚好在SKIPIF1<0处．有一名身高SKIPIF1<0的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线SKIPIF1<0，该抛物线在SKIPIF1<0轴下方部分与桥拱SKIPIF1<0在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度，平移后的函数图象在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值随SKIPIF1<0值的增大而减小，结合函数图象，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）y=SKIPIF1<0x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=SKIPIF1<0x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：SKIPIF1<0，∴二次函数的解析式为：y=SKIPIF1<0(x-8)x=SKIPIF1<0x2+2x（0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=SKIPIF1<0x2+2x，得y=SKIPIF1<0×12+2×1=SKIPIF1<0＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=SKIPIF1<0x2-2x，当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=-SKIPIF1<0x2+2x，∴新函数表达式为：SKIPIF1<0，∵将新函数图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度，∴SKIPIF1<0（m，0），SKIPIF1<0（m+8，0），SKIPIF1<0（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值随SKIPIF1<0值的增大而减小．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为SKIPIF1<0轴，过跳台终点SKIPIF1<0作水平线的垂线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线SKIPIF1<0近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点SKIPIF1<0正上方SKIPIF1<0米处的SKIPIF1<0点滑出，滑出后沿一段抛物线SKIPIF1<0运动．

（1）当运动员运动到离SKIPIF1<0处的水平距离为SKIPIF1<0米时，离水平线的高度为SKIPIF1<0米，求抛物线SKIPIF1<0的函数解析式（不要求写出自变量SKIPIF1<0的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为SKIPIF1<0米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过SKIPIF1<0米时，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）12米；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线SKIPIF1<0即可求解；（2）高度差为1米可得SKIPIF1<0可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线SKIPIF1<0可知坡顶坐标为SKIPIF1<0，此时即当SKIPIF1<0时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过SKIPIF1<0米，即SKIPIF1<0，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线SKIPIF1<0的函数解析式SKIPIF1<0；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为SKIPIF1<0米，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（不合题意，舍去），SKIPIF1<0，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为SKIPIF1<0米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线SKIPIF1<0，∵抛物线SKIPIF1<0，∴坡顶坐标为SKIPIF1<0，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过SKIPIF1<0米时，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．4.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为SKIPIF1<0轴，高度SKIPIF1<0dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘SKIPIF1<0上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘SKIPIF1<0上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为SKIPIF1<0dm的圆，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)20dm；(3)能切得半径为3dm的圆．【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0，3），表示出圆心H到二次函数上个点之间的距离与半径3进行比较即可．(1)由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，∵对称轴为y轴，∴b=0，将A、C代入得，a=SKIPIF1<0，c=8则二次函数解析式为SKIPIF1<0，如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，则P点坐标可以表示为（m，2m）代入二次函数解析式得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），∴2m=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则正方形的面积为SKIPIF1<0；(2)如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）将x=n代入二次函数解析式，得SKIPIF1<0，则EF=SKIPIF1<0，矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；(3)如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0，3），则圆心H到二次函数上个点之间的距离为SKIPIF1<0，∴能切得半径为3dm的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．5.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，基准点K到起跳台的水平距离为SKIPIF1<0，高度为SKIPIF1<0（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度SKIPIF1<0与水平距离SKIPIF1<0之间的函数关系为SKIPIF1<0．(1)c的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时SKIPIF1<0，求基准点K的高度h；②若SKIPIF1<0时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为SKIPIF1<0时，恰好达到最大高度SKIPIF1<0，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞SKIPIF1<0；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，知y＝﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣SKIPIF1<0×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣SKIPIF1<0（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．(1)解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；(2)解：①∵a＝﹣SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，∴y＝﹣SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣SKIPIF1<0×752+SKIPIF1<0×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣SKIPIF1<0，∴y＝﹣SKIPIF1<0x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣SKIPIF1<0×752+75b+66＞21，解得b＞SKIPIF1<0，故答案为：b＞SKIPIF1<0；(3)解：他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为y＝﹣SKIPIF1<0（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣SKIPIF1<0×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．6.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽SKIPIF1<0，拱顶离水面SKIPIF1<0．据调查，该河段水位在此基础上再涨SKIPIF1<0达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂SKIPIF1<0长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于SKIPIF1<0；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为SKIPIF1<0；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，SKIPIF1<0；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；任务三：两种方案，见解析【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标SKIPIF1<0，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为SKIPIF1<0，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0．设该抛物线函数表达式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴该抛物线的函数表达式是SKIPIF1<0．任务二：∵水位再上涨SKIPIF1<0达到最高，灯笼底部距离水面至少SKIPIF1<0，灯笼长SKIPIF1<0，∴悬挂点的纵坐标SKIPIF1<0，∴悬挂点的纵坐标的最小值是SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴悬挂点的横坐标的取值范围是SKIPIF1<0．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵SKIPIF1<0，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为SKIPIF1<0，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则SKIPIF1<0，若顶点一侧挂3盏灯笼，则SKIPIF1<0，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是SKIPIF1<0．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为SKIPIF1<0，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则SKIPIF1<0，若顶点一侧挂4盏灯笼，则SKIPIF1<0，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．7.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为SKIPIF1<0，一次函数表达式为SKIPIF1<0，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴一次函数表达式为SKIPIF1<0，令v=9，则t=7，∴当t=7时，速度为9m/s，∵二次函数经过（2，30），（4，56），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴二次函数表达式为SKIPIF1<0，令t=7，则s=SKIPIF1<0=87.5，∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入SKIPIF1<0中，得t=6，将t=6代入SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．8.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体SKIPIF1<0处，另一端固定在离地面高2米的墙体SKIPIF1<0处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度SKIPIF1<0（米）与其离墙体SKIPIF1<0的水平距离SKIPIF1<0（米）之间的关系满足SKIPIF1<0，现测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为SKIPIF1<0米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0米；（3）352【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入SKIPIF1<0，求出b、c即可；（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；（3根据SKIPIF1<0，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．【详解】解：（1）由题意知点A坐标为SKIPIF1<0，点B坐标为SKIPIF1<0，将A、B坐标代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，即大棚最高处到地面的距离为SKIPIF1<0米；（3）由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为SKIPIF1<0（米），又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土