中考数学二轮复习重难点复习题型05 圆的相关证明与计算 类型一 圆的基本性质证明与计算（专题训练）（解析版）

题型五圆的相关证明与计算类型一圆的基本性质证明与计算（专题训练）1.如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0为2，则弦SKIPIF1<0的长为（）A．4 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．2.如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据垂径定理求出SKIPIF1<0，根据圆周角定理求出SKIPIF1<0，根据正弦的定义求出SKIPIF1<0，根据弧长公式计算求解．【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由圆周角定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．3.设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）A．有最大值SKIPIF1<0π B．有最小值SKIPIF1<0π C．有最大值SKIPIF1<0π D．有最小值SKIPIF1<0π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣SKIPIF1<0)2+SKIPIF1<0π，再根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：∵2r+l＝6，∴l＝6﹣2r，∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣SKIPIF1<0)2﹣SKIPIF1<0]＝﹣2π(r﹣SKIPIF1<0)2+SKIPIF1<0π，∴当r＝SKIPIF1<0时，S侧有最大值SKIPIF1<0．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:SKIPIF1<0是解题的关键．4.如图，AB为SKIPIF1<0的直径，C，D为SKIPIF1<0上的两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用互余计算出SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0的度数．【详解】解：连接AD，如图，SKIPIF1<0AB为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选B．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5.如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，CD是SKIPIF1<0的直径．若SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．【详解】解：连接AD，如右图所示，∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=SKIPIF1<0=8，∴cos∠ADC=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值为SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．6.如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中点，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∵OC⊥AB,∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴圆心O到弦AB的距离为SKIPIF1<0，故选C.【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7.如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：连接OD，∵⊙O与边AC相切于点D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于H．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝4，BC＝3，

∴AB＝SKIPIF1<0，

∴OC＝SKIPIF1<0AB＝SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0•AB•CH＝SKIPIF1<0•AC•BC，

∴CH＝SKIPIF1<0，

∴sin∠BOC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，

故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出CH的长，属于中考常考题型．9.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角进行判断即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∴∠C=90°故选：B【点睛】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，灵活掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答此题的关键．10.如图，SKIPIF1<0是⊙O的直径，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在⊙O上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【详解】∵SKIPIF1<0,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故选：B.【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.11.如图，SKIPIF1<0内接于圆，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的切线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.【详解】解：连接OC，∵CP与圆O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB为直径，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故选B.【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出∠COP.12.如图，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是弦，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】解：∵SKIPIF1<0是弦，若SKIPIF1<0∴∠DAB=∠BCD=36°∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径∴∠ADB=90°∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．13.如图，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由SKIPIF1<0是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.【详解】解：∵SKIPIF1<0是圆O的直径，∴∠A=∠D=90°.又SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上且平分弧SKIPIF1<0，∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据勾股定理，得BC=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0.∵△BCD是等腰直角三角形，∴CD=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故选:D.【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14.如图，四边形SKIPIF1<0的外接圆为⊙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可得SKIPIF1<0，根据三角形的内角和可得SKIPIF1<0，利用角的和差运算即可求解．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、三角形的内角和、等边对等角，熟练应用几何知识是解题的关键．15.在SKIPIF1<0中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．【详解】解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∵DE⊥AB，∴DC＝SKIPIF1<0＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，属于常考题型，正确得出CO的长、熟练掌握上述知识是解题关键．16.如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0【答案】见解析【解析】【分析】首先得出SKIPIF1<0，推出OA=OB，再利用OA-OC=OB-OD得出结果即可．【详解】解：∵AB是⊙O的切线，∴SKIPIF1<0，∵MA=MB，OM=OM，∴SKIPIF1<0，∴OA=OB，∵OC，OD都是⊙O的半径，∴OC=OD，∴OA-OC=OB-OD，即AC=BD．【点睛】本题考查了切线的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定．17.如图，在SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0弦SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）求SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0的长度．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)先用勾股定理的逆定理证明△AEM为直角三角形，且∠AEM=90°，再根据MN∥BC即可证明∠ABC=90°进而求解；(2)连接BM，由AB是直径得到∠AMB=90°，再分别在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．【详解】解：(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．(2)如图，连接SKIPIF1<0

SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键．18.如图，圆SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，其切线SKIPIF1<0与直径SKIPIF1<0的延长线相交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的度数；（2）若SKIPIF1<0，求圆SKIPIF1<0的半径．【答案】（1）SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0；（2）圆O的半径为2．【解析】【分析】（1）如图（见解析），设SKIPIF1<0，先根据等腰三角形的性质得出SKIPIF1<0，再根据圆的性质可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，然后根据圆的切线的性质可得SKIPIF1<0，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得SKIPIF1<0的度数，最后根据圆周角定理即可得；（2）如图（见解析），设圆O的半径为SKIPIF1<0，先根据圆周角定理得出SKIPIF1<0，再根据直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）如图，连接OA设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0AE是圆O的切线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由三角形的内角和定理得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0则由圆周角定理得：SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0；（2）如图，连接AD设圆O的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0BD是圆O的直径SKIPIF1<0由（1）可知，SKIPIF1<0则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不符题意，舍去）则圆O的半径为2．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．19.如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0长为半径的圆与边SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<