中考数学二轮复习强化突破练习专题十一 几何、代数最值问题(教师版)

专题十一几何、代数最值问题类型1利用对称、线段公理求最小值1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是(C)A．6eq\r(2)B．10C．2eq\r(26)D．2eq\r(29)解：由已知得M(6，eq\f(k,6))，N(eq\f(k,6)，6)，∴BN＝6－eq\f(k,6)，BM＝6－eq\f(k,6)，∵△OMN的面积为：6×6－eq\f(1,2)×6×eq\f(k,6)－eq\f(1,2)×6×eq\f(k,6)－eq\f(1,2)×(6－eq\f(k,6))2＝10，∴k＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝eq\r(BM′2＋BN2)＝eq\r(102＋22)＝2eq\r(26).2．如图，直线y＝eq\f(2,3)x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为(C)A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－eq\f(3,2)，0)D．(－eq\f(5,2)，0)解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y＝kx＋b，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，可求CD′的解析式为y＝－eq\f(4,3)x－2.令y＝－eq\f(4,3)x－2中y＝0，则0＝－eq\f(4,3)x－2，解得：x＝－eq\f(3,2)，∴点P(－eq\f(3,2)，0)．(方法二)连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小，如图2所示．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是(B)A．4B．3C．2D．1解：如图连接PC.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝eq\f(1,2)A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线)．4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是(B)A．(0，eq\f(4,3))B．(0，eq\f(5,3))C．(0，2)D．(0，eq\f(10,3))解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，∵四边形ABOC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∵A的坐标为(－4，5)，∴A′(4，5)，B(－4，0)，∵D是OB的中点，∴D(－2，0)，设直线DA′的解析式为y＝kx＋b，可求直线DA′的解析式为y＝eq\f(5,6)x＋eq\f(5,3)，当x＝0时，y＝eq\f(5,3)，∴E(0，eq\f(5,3))．5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是__6__．解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，∵BE＝1，BC＝CD＝4，∴CE＝3，DE＝5，∴BP′＋P′E＝DE＝5，∴△PBE周长的最小值是5＋1＝6.6．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE(如图1)，点O为其交点．(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若P，N分别为BE，BC上的动点．①当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；②如图3，若点Q在线段BO上，BQ＝1，则QN＋NP＋PD的最小值＝__eq\r(10)__．解：(1)AO＝2OD，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°，∴AO＝OB，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝2OD，∴OA＝2OD；(2)如图2，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，则此时PN＋PD的长度取得最小值，∵BE垂直平分DD′，∴BD＝BD′，∵∠ABC＝60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3,2)，∵∠PBN＝30°，∴eq\f(BN,PB)＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\r(3)；(3)如图3，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即为QN＋NP＋PD的最小值．在Rt△D′BQ′中，D′Q′＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).∴QN＋NP＋PD的最小值＝eq\r(10).类型2利用函数性质求最值7．已知函数y＝mx2－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数记为C1，①当n≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n，求n的值；②函数C2：y＝m(x－h)2＋k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为eq\r(5)的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．解：(1)∵函数图象与x轴有两个交点，∴m≠0且[－(2m－5)]2－4m(m－2)＞0，解得：m＜eq\f(25,12)且m≠0.∵m为符合条件的最大整数，∴m＝2.∴函数的解析式为y＝2x2＋x.(2)抛物线的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(1,4).∵n≤x≤－1＜－eq\f(1,4)，a＝2＞0，∴当n≤x≤－1时，y随x的增大而减小．∴当x＝n时，y＝－3n.∴2n2＋n＝－3n，解得n＝－2或n＝0(舍去)．∴n的值为－2.(3)∵y＝2x2＋x＝2(x＋eq\f(1,4))2－eq\f(1,8)，∴M(－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8))．如图所示：当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．设直线OM的解析式为y＝kx，将点M的坐标代入解得：k＝eq\f(1,2).∴OM的解析式为y＝eq\f(1,2)x.设点P的坐标为(x，eq\f(1,2)x)．由两点间的距离公式可知：OP＝eq\r(x2＋（\f(1,2)x）2)＝5，解得：x＝2或x＝－2(舍去)．∴点P的坐标为(2，1)．∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y＝2(x－2)2＋1.8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．解：(1)抛物线解析式为y＝x2－3x－4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴P点纵坐标为－2，代入抛物线解析式可得x2－3x－4＝－2，解得x＝eq\f(3－\r(17),2)(小于0，舍去)或x＝eq\f(3＋\r(17),2)，∴存在满足条件的P点，其坐标为(eq\f(3＋\r(17),2)，－2)；(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t，t2－3t－4)，过P作PE