3-二重积分的计算(极坐标)

*三、二重积分的换元法第二节二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算2021/5/91为什么引用极坐标计算二重积分21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么计算？需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束2021/5/92又如计算其中的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.由于机动目录上页下页返回结束本题解法见后面例题8还可举例2021/5/93极坐标系下的面积元素将变换到极坐标系0Diriri+1...

...利用极坐标计算二重积分iii+iI=rir..机动目录上页下页返回结束用坐标线:

=常数；r=常数

分割区域D2021/5/94怎样利用极坐标计算二重积分(1)1.极点不在区域D的内部0ABFEDD:

rr2021/5/950ABFEDD:.1.极点不在区域D的内部r2021/5/960ABFEDD:.步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2

化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.1.极点不在区域D的内部r2021/5/972.极点位于区域D的内部0DrD:怎样利用极坐标计算二重积分(2)r机动目录上页下页返回结束2021/5/98D:D0.2.极点位于区域D的内部r机动目录上页下页返回结束2021/5/99D:.D0步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2

化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.2.极点位于区域D的内部r机动目录上页下页返回结束2021/5/9100y

x2a..解例1..机动目录上页下页返回结束（第一象限部分）(极点不在区域D的内部)2021/5/911此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0y

xD:变换到极坐标系..例2.计算D:=1和

=2

围成机动目录上页下页返回结束2021/5/9122R区域边界：x=0.0y

x即

r=2Rsinr=2Rsin例3..机动目录上页下页返回结束2021/5/9130y

x12

y=xD..例4.机动目录上页下页返回结束2021/5/9140y

x4r=4cosr=8cos8D12例5.计算y=2xx=y机动目录上页下页返回结束2021/5/9150y

xr=8cosD48.r=4cos21例5..计算I=机动目录上页下页返回结束2021/5/916例6计算其中D

为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.机动目录上页下页返回结束2021/5/917例7.

将积分化为极坐标形式y=RxD1D2..R0y

xD...arctanR.I=I=机动目录上页下页返回结束r=R2021/5/918若f≡1

则可求得D的面积思考:下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:

问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束(极点位于区域D的内部)

2021/5/919例8.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.由于故机动目录上页下页返回结束2021/5/920注:利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例8的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束2021/5/921例9.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束2021/5/922常用D到D’的转换机动目录上页下页返回结束极坐标下的二次积分注释2021/5/923作业P138-1392;3;4(2),(4);

5(2),(4);6第三节目录上页下页返回结束2021/5/924定积分换元法三*、二重积分换元法

满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束2021/5/925证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则机动目录上页下页返回结束2021/5/926同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为机动目录上页下页返回结束2021/5/927因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,机动目录上页下页返回结束2021/5/928例21.计算其中D是x

轴y

轴和直线所围成的闭域.解:令则机动目录上页下页返回结束2021/5/929例22.计算由所围成的闭区域D

的面积S.解:令则机动目录上页下页返回结束2021/5/930例23.试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.机动目录上页下页返回结束2021/5/931内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束2021/5/932则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束2021/5/933(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•

选择坐标系•

确定积分序•

写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束2021/5/934思考与