2024届新高考一轮复习人教A版 第六章 第4节　余弦定理和正弦定理 作业

第4节余弦定理和正弦定理[选题明细表]知识点、方法题号利用正弦、余弦定理解三角形1,2,4,9,10,11判断三角形的形状5,6与面积有关的解三角形问题3,7,8,12综合13,14,151.已知在△ABC中,A=π6,B=πA.2B.1C.3D.2解析:由正弦定理asinA=bsinB⇒b=2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=7,a=1,B=2π3A.5B.2C.3D.3解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得7=1+c2+c,解得c=2或-3(舍去).3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2A.π2B.π3C.π4 解析:根据题意及三角形的面积公式知12absinC=a所以sinC=a2所以在△ABC中,C=π44.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,则abA.2 B.3 C.2 D.3解析:由正弦定理及bsin2A=asinB,得2sinBsinAcosA=sinAsinB,又sinA≠0,sinB≠0,则cosA=12又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbA.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析:由cb<cosA,得sin又B∈(0,π),所以sinB>0,所以sinC<sinBcosA,即sin(A+B)<sinBcosA,所以sinAcosB<0.因为在三角形中sinA>0,所以cosB<0,即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.6.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是(ABD)A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>π2C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形解析:对于A,若cosA=cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故A正确;对于B,若A+B>π2则π2>A>π所以sinA>cosB,故B正确;对于C,由余弦定理可得b=82+1只有一解,故C错误;对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cosC=a27.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

解析:由题意得S△ABC=12acsinB=34ac=所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12则b=22.答案:228.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里,14里,15里,求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为平方里.

解析:由题意画出△ABC,且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦定理得,cosB=AB2+BC1-cos2B=1213,则该沙田的面积S=12AB·BC·sinB=184(平方里).答案:849.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·(-12)k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·12=4k2则AC2AB2=4k2-4因为k+1+3k+1≥23(当且仅当k+1=3k+1,即k=3-1时,等号成立),所以AC2AB2≥4-12BD=k=3-1.答案:3-110.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是(A)A.π6或2π3 C.2π3 D.解析:由b2+c2-3bc=a2,得b2+c2-a2=3bc,则cosA=b2+c2-因为0<A<π,所以A=π6由bc=3a2及正弦定理,得sinBsinC=3sin2A=3×14=3即4sin(C+A)sinC=4sin(C+π6)sinC=3整理得3cos2C=sin2C,则tan2C=3,又0<2C<5π3即2C=π3或4π3,即C=π611.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcosA,则下列结论正确的是(ABD)A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<12 D.0<sinB<解析:因为c-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc2sinBcosA,所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sinB<112.(2022·山东滨州二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=4,且sinA,sinB,sinC成等差数列,则△ABC的面积的最大值为.

解析:因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,所以2b=4,即b=2,所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,即ac(1+cosB)=6,又22=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB,即2≥ac(1-cosB),当且仅当a=c时,等号成立,所以2×6≥ac(1-cosB)·ac(1+cosB)=(acsinB)2,因为sinB>0,所以acsinB≤23,所以S△ABC=12acsinB≤3当且仅当a=c时,等号成立,所以△ABC的面积的最大值为3.答案:313.在①(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB);②2ccosC=acosB+bcosA;③△ABC的面积为12c(asinA+bsinB-csinC)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(1)求C;(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=3,求a,b的值.解:(1)选择①.根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b因为C∈(0,π),所以C=π3选择②.根据正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,所以sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC.因为C∈(0,π),所以sinC≠0,从而有cosC=12,故C=π选择③.因为12casinB=1所以asinB=asinA+bsinB-csinC,即ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cosC=a2+b2-又因为C∈(0,π),所以C=π3(2)在△ACD中,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即b2=1+3-23cos∠ADC.在△BCD中,由余弦定理得,BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,即a2=1+3-23cos∠BDC.因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=-cos∠BDC,所以a2+b2=8.由C=π3及c=2,得a2+b2所以ab=4,从而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.14.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sinB=1(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=23解:(1)由S1-S2+S3=32得34(a2-b2+c2)=3即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accosB,所以accosB=1.由sinB=13得cosB=223或cosB=-所以ac=322=则△ABC的面积S=12acsinB=12×324×(2)由sinAsinC=23,ac=324及正弦定理知b2sin2即b2=94×19=1415.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+(1)若C=2π3(2)求a2解:(1)因为cosA1+所以cosA1+所以cosA1+所以cosAcosB=sinB+sinAsinB,