2022秋高中数学章末检测3第三章圆锥曲线的方程新人教A版选择性必修第一册

第三章章末检测

（时间：120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.椭圆9+4=1的离心率是（）

近

近

B

33

A.

Q25

cD

9一

【答案】B

【解析】因为椭圆方程为5+"=1,所以a=3,c=^a一炉=79-4=乖.所以

小

3'

2.已知点£（—3,0）和内（3,0）,动点。到A,K的距离之差为4,则点产的轨迹方程

为（）

^22殳2

A.十一2=1（7>。）B.京一？=1（才>0）

2222

C.y―7'=1（y>0）D.9一二=l（x>0）

434D

【答案】B

【解析】由题设知点户的轨迹方程是焦点在入轴上的双曲线的右支,设其方程为£一%=

ab

22

1（x>0,a>0,b>0）,则。=3,a=2,A2=*49—4=5,所以点〃的轨迹方程为?一5=1（x

4□

>0).

3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人

民的非凡智慧.如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面上升1m,

则水面宽度为（）

A.2mmB.4mm

C.4V2mD.12m

【答案】c

【解析】根据题意，设该抛物线的方程为y=一2"，又由当水面离拱顶2m时，水面宽

8m,即点(4,一2)和(一4,一2)在抛物线上，则有16=-20•(—2),解得p=4,故抛物线

的方程为f=-8y.若水面上升1m,即y=-1,则有炉=8,解得入=±2啦，此时水面宽

度为2啦-(-2啦)=4*.

4.(2021年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆

锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面

是椭圆.若用面积为144的矩形165截某圆锥得到椭圆「，且r与矩形4驱的四边相切.设

椭圆「在平面直角坐标系中的方程为4+1=l(a>6>0),则下列选项中满足题意的方程为

ab

()

2222

x.yx,y

A—+—=1B—+—=1

81166581

2222

c工+二=1D二+上=1

1006464100

【答案】A

【解析】•用面积为144的矩形四6®截某圆锥得到椭圆小且r与矩形的四边相

切，；.4a6=144,即a6=36.对于A,a=9,b=4,满足a>6>0且瑟=36,故A正确；

对于B,a=4而，6=9,不满足a>6>0,故B错误；对于C,a=10,6=8,不满足a6=

36,故C错误；对于D,a=8,b=10,不满足a>6>0,故D错误.故选A.

5.已知产是双曲线G。一/=2的一个焦点，点p在，上，过点。作〃的垂线与x

轴交于点0,若△碎为等腰直角三角形，则△仔”的面积为()

5

A.B.

44

C.A/2D.小

【答案】A

【解析】如图，不妨设尸为双曲线的右焦点，点。在第一象限•△⑸图为等腰直角三

角形，尸(2,0),.•.直线件的方程为y=-x+2.，可设P(x,2—*),将其代入双曲线。的方

程中，得V—(2-“>=2,解得x=|,二噂，.,.8码(=Bx2X(2一|卜(=".

j1

6.已知双曲线G/一《=1的左、右焦点分别为£,用，点尸在双曲线上，则国

六的取值范围为()

(4/

A.11,§B.(0,2]

C.(0,1]D.(0,

【答案】C

【解析】不妨设点尸在右支上，有I格则患+房T=|+2一，网与+1

411/4-1

=2，则丽“的取值范围为(0，g-故选C.

7.已知抛物线f=4y的焦点为尸，准线为/,。为抛物线上一点，过点夕作以，/于点

A,当N4g30°(0为坐标原点)时，|两=()

1J3

A.-B.--

OO

2m4

C.~~D.-

OO

【答案】D

【解析】设/与y轴的交点为8,在Rt445^中，N"S=30°,|明=2,所以AB=

设P(*o,用)，则刘=±邛^,代入x'=4y中，得％=；.所以【例=|用]=%+1=].

•J<J0o

V2J3

8.已知椭圆a(a>6>0)与圆〃：V+/—2ax+左才=0交于力，8两点，若

ab16

四边形物龙(。为原点)是菱形，则椭圆。的离心率为()

11

A-3B-2

C理D逅

J24

【答案】B

13

【解析】由己知可得圆〃：(x-a)2+^=—d,圆心〃(80),则菱形小应对角线的交

10

点的坐标为修，0).将V代入圆〃的方程，得尸土芋不妨设点力在X轴上方，即心弓)

代入椭圆。的方程，得[+需=1，所以|@2=4=，一乙解得a=2c.所以椭圆。的离心

£_j_

率a=2,

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知抛物线/=2px(p>0)上一点，"到其准线及对称轴的距离分别为3和2m，则p

的值可以是()

A.2B.6

C.4D.8

【答案】AC

【解析】设/的，㈤，由点"在抛物线上，所以/=20司，由抛物线的方程可得准线的

方程为户一枭由题意可得用+彳=3,|%|=。2冲=2*,解得p=2或p=4.

22

10.关于双曲线G：H=1与双曲线c：1,下列说法正确的是()

A.它们的渐近线不相同B.它们有相同的顶点

C.它们的离心率不相等D.它们的焦距相等

【答案】ACD

22

【解析】双曲线G：i一£=1的顶点坐标为(±3,0),渐近线方程为4x±3y=0,离心

yio

j-2222

率为可，焦距为10.双曲线G：5一表=—1，即哈一看=L它的顶点坐标为(±4,0),渐近

3916169

5

线方程为3x±4y=0,离心率为示焦距为10.故选ACD.

X2/

11.若双曲线GI一方=l(a>0,b>0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为凡则下

列结论正确的是()

A.双曲线C的渐近线上的点到点尸距离的最小值为4

5

B.双曲线C的离心率为可

C.双曲线C上的点到点尸的距离的最小值为2

D.过点尸的最短的弦长为华

【答案】ABC

【解析】由题意可得2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,b—y]c—a'—4,右焦点厂(5,0),

渐近线的方程为4x±3尸0,所以C的渐近线上的点到点尸的距离的最小值为尸到渐近线的

4X5±3X0|rtR

距离d==4,所以A正确；离心率e：所以B正确；双曲线上，顶点到

2/32

焦点的距离最小，5-3=2,所以C正确；过焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长为

a3

而斜率为0时，弦长为实轴长2a=6<彳，所以最短的弦长为6,故D不正确.

0

V21

12.已知户是椭圆G-+y2=l上的动点，。是圆P：上的动点，则()

bo(X+1)2+/=£

A.椭圆。的焦距为函B.椭圆C的离心率为年

2A(5

C.圆〃在椭圆C的内部D.|可|的最小值为餐

【答案】BC

【解析】由椭圆方程可得，3=6,4=1,.•.02=.一毋=5,所以焦距2c=24，所以

c、后\[so[6

A不正确；离心率e=-=号=*,所以B正确；C中，<整理

a、/66c1

I0

5z959

可得-r+2叶『0,zl=22-4X-X-=-2<0,所以两个曲线无交点，所以圆在椭圆的内

6565

部，所以C正确；设夕(*,y),则由题意可得=7x+12+/菩=韭/+2赴+2-

号='笛+CM尊》芈-3=害,所以的最小值为害，所以D不正确.故选

00\0/333330

BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.已知双曲线a卷一5=i,则双曲线。的焦点到其渐近线的距离是

63

【答案】小

22

【解析】双曲线C：专一W=l，则c=a+/?2=6+3=9,则。=3,则。的右焦点的坐

63

标为(3,0),其渐近线方程为y=土专x,即*±啦/=0,则点⑶0)到渐近线的距离d=^=

=小.

14.在平面直角坐标系00中,若双曲线之一5=1(a>0)的一条渐近线方程为尸坐x,

Q0幺

则该双曲线的离心率是.

【答案】5

【解析】由双曲线4—〈=l(a>0)的一条渐近线方程为尸理x,得亚=理，所以a

a.3乙a乙

=2.所以双曲线的离心率为0=£="委=*

a22

22

15.已知椭圆G*+£=1的左、右焦点分别为母用，夕是椭圆上一点，且满足|班|

10

=1^1,则I阳1=,△阳E的面积等于.

【答案】48蛆

22

【解析】由*+£=1知a=5,。=4,所以。=3,即£（一3,0）,/?（3,0）,所以|格|

ZD10

=1^1=6.又由椭圆的定义，知|阳+；阳|=10,所以所1=10-6=4.于是S△9K

16.已知抛物线y=4x的一条弦4?恰好以（1,1）为中点，则弦4;所在的直线方程为

【答案】2A—y-1=0

【解析】设/（用,%）,B（xz,㈤且xiW®则弘+姓=2.又因为点48在抛物线/

I%=4X1,yj—y4

=4x上，所以.两式相减，得（必+及）（”一姓）=4（小一及），则--2=-=2,

［龙=4%，小一加乂+女

即直线46的斜率为2,所以直线的方程为y—1=2（才-1）,即2x—y—1=0.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在平面直角坐标系。口中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）求长轴长为4,焦距为2的椭圆的标准方程；

（2）求以4（-3,0）为一个焦点，实轴长为2m的双曲线的标准方程.

解：（1）根据题意，要求椭圆的长轴长为4,焦距为2,

即2a=4,2c=2,

则a=2,c=l,则5=«4—1=木.

若要求椭圆的焦点在X轴上，则其标准方程始+?=1;

4o

22

若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为?+*=1；

4o

2222

故要求椭圆的标准方程为9+3=1或9+*=1.

（2）要求双曲线以/（—3,0）为一个焦点，实轴长为人后，

则其焦点在x轴上，即c=3,2a=2小,

贝ij3=乖，b=ylc-a=29

则双曲线的标准方程为三一千=1.

o4

18.(12分)已知尸为抛物线E-./=2p%(p>0)的焦点，以尸为圆心作半径为A的圆厂，

圆「与x轴的负半轴交于点4与抛物线£交于点反C.

(1)若△/%为直角三角形，求半径A的值；

(2)在(1)的条件下，判断直线48与抛物线的位置关系，并给出证明.

解：(1)如图，由抛物线和圆的对称性可得点8,C关于x轴对称，再由△力回为直角三

角形可得比1为圆的直径，B,C,尸三点共线，XB=&,代入抛物线的方程可得％=p,

所以圆的半径哼p.

(2)直线与抛物线片相切.

由⑴知《一1

,0,\AF\=pf

则直线熊尸x+枭联立

整理得“2—px+^=O,所以4=02—p2=o,

所以直线48与抛物线相切.

19.(12分)已知双曲线C的离心率为乖，且过点(4，0),过双曲线。的右焦点月作

倾斜角为T■的直线交双曲线于46两点，。为坐标原点，A为左焦点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)求△加®的面积.

解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在片轴上，且a=/,?=#,K解得a?

=3,0=6,

22

所以双曲线的方程为卷一£=1.

36

(2)由(1)可得£(3,0),£(—3,0),

由题意设尸4(x—3),设交点/(汨，力)，B(X2,㈤,

y=/3

联立直线与双曲线的方程，

2/-/=6,

整理可得18X+33=0,X\+X2=189XIA2=33,

2

S^AOB=^IOF21•1》一度I―X\-¥X2~4^IA2=^^,-\/18—4X33=36.

即42仍的面积为36.

2

20.(12分)设。为坐标原点，动点M在椭圆G2+/=l(a>l,aWR)上，过点。的直

a

线交椭圆。于4,6两点，尸为椭圆。的左焦点.

(1)若△H6的面积的最大值为1,求a的值；

(2)若直线力，，班的斜率乘积等于一;，求椭圆。的离心率.

解：⑴因为OF\­|%一%|WI明川才―1=1,所以

⑵由题意可设/(xo,%),夙一xo,—jb),M(x,y),

22

则今+/=1,当++/=1,

aa

y一次y+yoy-jb

〃期•kuB=

X—Xox+xoX-M

22—22—2—o,

x-Xox-Xoa3

所以才=3,所以a=y/5,所以C=A/才_4=啦.

所以椭圆。的离心率e=£=^=坐.

a3

21.(12分)(2021年汉中模拟)已知点M为直线/：x=—1上的动点，A'(l,0),过点

作直线上的垂线/,/交屈V的中垂线于点只记点尸的轨迹为C

(D求曲线C的方程；

(2)若直线A：/=么"+勿(20)与圆E(x—3产+/=6相切于点。，与曲线C交于4,B

两点，且〃为线段46的中点，求