2023年中考复习数学最值问题第30讲瓜豆原理之相似轨迹圆（学生版）

第30讲：瓜豆原理之相似轨迹圆【瓜豆圆介绍】如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ.当P在圆O运动时，Q点轨迹是？思路提示：总结如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？思路提示：总结方法解析为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点（你）”，点Q为“从动点（我）”．主动点（你）、从动点（我）与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点（你）、从动点（我）到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【例题精讲】例1、如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为________解析提示：总结：【解答】解：如图，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，连接AK、BK、KC、OP．∵OK＝OA＝OB，OK⊥AB，∴KA＝KB，∠AKB＝90°，∴△AKB是等腰直角三角形，∵∠OBK＝∠PBC，∴∠OBP＝∠KBC，∵＝＝，∴△OBP∽△KBC，∴＝＝，∵OP＝1，∴KC＝，∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK＝OA＝2，∴AC的最大值为3，AC的最小值，∴≤AC≤3．例2、如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠A＝30°，点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）解析提示：总结：【解答】解：连接AO，当OC⊥OA时，OC最短，∵∠B＝90°，∴BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，∵OC⊥AD，OA＝OD，∴AC＝CD，∵∠CAB＝30°，∴CD＝AC＝2CB，AB＝BC，∵AD2＝BD2+AB2＝9BC2+3BC2，∴BC＝，∴AC＝2，∵AO＝3，∴OC＝．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为．解析提示：总结：【解答】解：如图，设E（m，n），过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，∴∠CME＝∠END＝90°，∴∠MCE+∠MEC＝90°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，∠CED＝90°，∴∠NED+∠MEC＝90°，∴∠MCE＝∠NED，∴△CME≌△END（AAS），∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，∴D（m+n，n+2﹣m），∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，连接AD，则AD＝2，∴＝2，∴＝，即＝，∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，∴B（0，4），∴OB＝4，∵C（2，0），∴OC＝2，∴BC＝2，过点O作OH⊥BC于H，∴OH＝＝，设点E到BC的距离为h，∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h，∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣，∴S△BCE最小＝（﹣）＝4﹣，故答案为：4﹣．例4、（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．解析提示：总结：【解答】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中，，∴，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，这时．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，，∴∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，又∵AD＝9，∴，∴，∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，连接AC，则△ACD的面积＝过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，在Rt△ABC中，，∴，在Rt△ACH中，，∴，∴△ACF面积有最小值是；∴四边形ADCF面积最小值是；②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，∴GH＝MN，在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，∴PG＞PN，又∵F2G＝PG，∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，∴面积有最大值，∵∴△ACF面积有最大值是；∴四边形ADCF面积最大值是综上所述，四边形ADCF面积最大值是，最小值是．针对训练1、如图，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．2、如图，⊙O的半径为3，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值．3、如图，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝eq\f(4,3)AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为4、如图，线段AB＝8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为．5、如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．6、如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为。\7、△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为。7、问题提出：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是．（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．问题解决：（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．8、（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为弧BmC上一动点（不与B，C重合），若PA＝4，求四边形ABPC的面积．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB＝AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图②）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而把求四边形ABPC的面积转化为求△PAQ的面积．根据小明同学