2022秋高中数学章末检测2第二章直线和圆的方程新人教A版选择性必修第一册

第二章章末检测

（时间：120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.过点（1,0）且与直线2=0平行的直线方程是（）

A.x—2y-1=0B.x—2y+l=0

C.2x+y—2=0D.x+2y—1=0

【答案】A

【解析】设与直线x—2y—2=0平行的直线方程为x—2y+c=0（c#—2）,将点（1,0）

代入直线方程x—2y+c=0,得l—2X0+c=0,解得。=一1.所以所求直线方程为矛一27

-1=0.

2.直线/的方程为Y5x+3y-l=O,则直线/的倾斜角为（）

A.150°B.120°

C.60°D.30°

【答案】A

【解析】设直线/的倾斜角为〃，。G[0,“），直线，的方程为《犬+3/-1=0,则“

yR6IT

=tan&=一半，解得6=%.所以直线/的倾斜角为150。.故选A.

36

3.直线小ax—y—3=0和直线4：x+（a+2）y+2=0平行，则实数a的值为（）

A.3B.-1

C.一2D.3或一1

【答案】B

【解析】由d・（w+2）+l=0,即3+2a+l=0,解得H=-L经检验成立，所以a=

-1.

4.无论加取何实数，直线/：—1+20=0恒过一定点，则该定点坐标为（）

A.（—2,1）B.（—2,—1）

C.（2,1）D.（2,-1）

【答案】A

x+2=0,

【解析】直线7：0x+y—1+2加=0可整理为勿（x+2）+y-l=0,当解

1=0,

得x=-2,y=l,无论勿为何值，直线总过定点（-2,1）.

5.已知圆心在y轴上的圆。与直线x=3切于点水3,2）.若直线3x+4y+加=0与圆C

相切，则卬的值为（）

A.9B.7

C.-21或9D.-23或7

【答案】D

【解析】圆心在y轴上的圆C与直线x=3切于点M3,2),可得圆。的半径为3,圆心

8+0

为(0,2).因为直线3x+4y+/zz=0与圆C相切，所以7^+73,解得勿=-23或m=7.故

选D.

6.(2021年哈尔滨期末)圆(x-l)2+(y+2)2=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的方

程为()

A.(x-4)2+(y-1/=2B.U+4)2+(y+l)2=2

C.(x—4)2+(y+1)2=2D.(A-+4)2+(y-l)2=2

【答案】A

【解析】由于圆心(1，—2)关于直线x+y—2=0对称的点的坐标为(4,1),半径为2,

故圆(“一1)2+(7+2)2=2关于直线x+y—2=0对称的圆的方程为(x—4)2+(y—l)2=2.故

选A.

7.已知圆f+/+2x-2y+a=0截直线“+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值

是()

A.-2B.-4

C.-6D.—8

【答案】B

【解析】圆/+/+2x-2y+a=0化为标准方程为(x+l)2+(y-l)2=2-a,所以圆心

为(-1,1),半径r=yl2—a,弦心距为d=~—T==-^=^/2.因为圆x+y+2x-2y+a

TAjr+r

=0截直线x+y+2=0所得弦长为4,所以T+(m)2=2—a,所以a=-4.

8.圆G：(x-w)2+(y+2)2=9与圆&：(x+i)2+(7-^)2=4外切，则力的值为()

A.2B.-5

C.2或一5D.不确定

【答案】C

【解析】由圆G：(X一加)?+(y+2)2=9与圆C：(什1¥+(L由2=4,得G(w,-2),

C(—1,4,半径分别为3和2.•.•两圆外切，；.71+14—2—卬2=3+2,化简得

(/fl+5)(«?—2)—0,二卬=—5或加=2.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若直线过点/(I,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线1的方程可能为

A.x—y+l=OB.x+y-3=0

C.2x—y=0D.x—y—1=0

【答案】ABC

【解析】当直线经过原点时，斜率为"=「；=2,所求的直线方程为尸2%即2x—y

=0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x土y=h把点前1,2）代入可得1-2=4或

1+2=A,解得女=-1或A=3,故所求的直线方程为x—y+l=0或x+y—3=0.综上，所

求的直线方程为2x—y=0或x—y+1=0或x+y—3=0.

10.已知直线/：，5x-y+l=o,则下列结论正确的是（）

A.直线/的倾斜角是《

B.若直线/»：x—，5y+l=0,则/_1_必

C.点（m，0）到直线/的距离是2

D.过（2小，2）与直线，平行的直线方程是小x-y-4=0

【答案】CD

【解析】对于A,直线1的斜率A=tan。=木,故直线1的倾斜角是鼻■,故A错误；

对于B,因为直线）的斜率〃=半，M'=1#一1,故直线/与直线山不垂直，故B错误；

对于C,点诉0）到直线/的距离d=IN-0+1L=2,故C正确；对于D,过点

7木2+-12

（2小,2）与直线/平行的直线方程是y—2=小（才一2■），整理得y—4=0,故D正

确.

11.已知圆（X一1"+（y—1）'=4与直线x+my—m—2—O,下列选项正确的是（）

A.圆的圆心坐标为（1,1）

B.直线过定点（-2,1）

C.直线与圆相交且所截最短弦长为24

D.直线与圆可以相切

【答案】AC

【解析】由题意，圆（x-D'+G，-1/=4的圆心C（l,1）,半径r=2,A对.直线x+

my—m—2=0变形得x-2+m（y-1）=0,得直线过定点J（2,1）,B错.\CA\=

yl2-12+1-12=1<2,・,・直线与圆必相交，D错.如图，由平面几何知识可知，

当直线与过定点4和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2产而P=2#,C

对.

12.在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+#与圆(x+a)2+/=a2的位置不可能是

()

【答案】ABD

【解析】直线尸ax+，经过圆(x+a)?+/=a2的圆心(一当0),且斜率为a,故不可能

为A,B,1).

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在中，已知1(2,1),8(—2,3),以0,1),则8C边上的中线所在的直线的一

般方程为.

【答案】%+3y-5=0

【解析】外的中点。(-1,2),8C边上的中线所在的直线的方程为y-1==口(X-2),

即%+3y—5=0.

14.若直线九y=kx—3与心2x+3y-6=0的交点〃在第一象限，则直线人恒过定

点;上的倾斜角。的取值范围是.

【答案】(0,-3)(宁，总

【解析】直线小尸弱一3恒过定点(0,-3).直线%2x+3y-6=0在x轴和y轴

上的截距分别为3,2,如图所示，因为如=1,所以直线处的倾斜角为:，由图可知，要使

直线h尸kx-3与12：2x+3y-6=0的交点"在第一象限，则力的倾斜角的取值范围是

I，~2)'

15.已知圆2x+〃-2%y+2/77—1=0,当圆的面积最小时，直线p=x+6与圆相切，

则b=.

【答案】土木

【解析】将x—2x+y—2/ny+2///—l=0化为(x—1>+(y—42=^—2/2,所以圆的

半径为、力之一2/TT+2.当圆面积最小时，圆的半径最小，此时加=1,圆的方程为(x—1尸+(y

―1)2=1.因为直线尸x+6与圆相切，所以三产*=1,解得8=±蛆.

16.已知圆0：/+/=1,/为过点(0,2)的动直线，若,与圆0相切，则直线/的倾斜

角为.

【答案】可JI或2彳n

OO

2

【解析】若直线/与圆相切，则/的斜率肯定存在，设/：y=M+2,则，=

郎+1

1,所以仁士4.所以直线/的倾斜角为T•或好.

OO

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知直线/经过两条直线九x+厂-4=0和心：x-y+2=0的交点，直线

?3：2%—y—1=0.

(1)若/〃人求/的直线方程；

(2)若求/的直线方程.

x+y—4=0,[x—1,

解:⑴由.得1尸3,

x—y+2—O,

h与人的交点为(1,3).

设与直线2x—y—1=0平行的直线为2x—y+c=0,则2—3+c=0,c=l.

二所求直线方程为2x—y+1=0.

(2)设与直线2x-y-l=0垂直的直线为x+2y+c=0,

则l+2X3+c=0,解得c=-7.

...所求直线方程为x+2y—7=0.

18.(12分)已知直线/：(l+2®)x+(ffl-l)y+7/zz+2=0.

(1)求证：不论"为何实数，直线恒过一定点火

(2)过定点材作一条直线人使夹在两坐标轴之间的线段被点材平分，求直线么的方程.

(1)证明：直线/整理得(x—y+2)+〃(2x+y+7)=0.

x—y+2=0,解味fx—一—3.,

联立

2x+y+7=0,

所以无论如为何实数，直线/恒过定点(—3,-1).

(2)解：当直线九的斜率不存在或等于零时，显然不合题意.

设直线的方程为y=Wx+3)—1(抬0).

令x=0,贝ijp=34—1；

令y=0,则3.

K

所以直线Z与坐标轴的交点为4(0,34—1),《一3,0).

由于过定点"(一3,—1)作一条直线九，使夹在两坐标轴之间的线段被点"平分,

则点材为线段47中点，

解得

O

所以直线7)的方程为y=一2,即x+3y+6=0.

o

19.(12分)已知直线/：y=Ax与圆G：(x—l)2+/=l相交于4,6两点，C与圆G

相外切，且与直线/相切于点〃(3,m).

(1)求女的值，并求16的长；

(2)求圆C的方程.

解：⑴直线/：尸而经过点欣3,小),

所以m=34,得仁*.

O

圆G：(彳-1)2+六=1的圆心为G(l,0),半径为1,直线/：，5k3y=o,

点G(1,0)到直线1的距离d=瑞^=今所以|AB\=2亦二^=4.

(2)设过点"作与直线/垂直的直线7„

■A的方程是y一小=一小(x—3),

即y=—#x+44.

设G(a,一木a+4木),又因为6(1,0),圆C与圆G相外切，且与直线,相切于点

M3,#),

所以|GGl=l+|3|,

即a—1"+-^3a+4\/3~'

=1+7a—3-^3a+4^3-^3

化简得一一4a=0,解得a=4或&=0.

当日=4时，G(4,0),

此时/=(4-3)2+(0—m)2=4,

G：(x—4)2+y—4.

当a=0时，G(0,4^3),

此时/=(0—3)2+a/—[5)2=36,

G：x2+(y-4V3)2=36.

20.(12分)己知△?1比的顶点C(2,-8),直线48的方程为尸一2x+11,"'边上的

高H/所在直线的方程为x+3y+2=0.

(1)求顶点A和8的坐标；

(2)求外接圆的一般方程.

y=-2x+ll,

解:(1)由.得顶点8(7,-3).

x+3y+2=0,

由4C_LH/,km=所以可设47的方程为y=3x+6,

将以2,—8)代入，得8=—14.

由1y=--42x,+lL

得顶点为力⑸1).

所以点/和6的坐标分别为(5,1)和(7,-3).

(2)设的外接圆方程为欣+尸=0,

将点4(5,1),8(7,-3),以2,—8)分别带入圆的方程代入,

‘5什少+尸玲:。，D=-4,

解得«£=6,

得7〃―3£+〃+58=0,

.2〃-8£+尸+68=0,/=.12,

所以△48C的外接圆的一般方程为*2+/一4叶6尸12=0.

21.(12分)某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线/的垂线4C上(C

为垂足)，且分别位于距。为2a和a(a>0)的点力和点8处，进攻队员沿直线4〃向安全线

跑动，防守队员沿直线方向拦截，设力〃和a/交于点M若在点M,防守队员比进攻队员先

到或同时到，则进攻队员失败.已知进攻队员速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度

不变，问进攻队员的路线应为什么方向才能取胜？

D

解：如图，以/为X轴，。为原点建立平面直角坐标系.

设防守队员速度为心则进攻队员速度为2y.

设点"的坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点,"所需时间分别为

14M\BM\

t\=一；；，t-i=

2vv

若则|嗣V2|掰,

即N~y~2a_5<2yjf+

整理得%+，予＞

这说明点"应在圆E-以外，进攻队员方能取胜.

设4V为圆£的切线，/V为切点.

2a

..2a4a2a,EN31

在RtZ^4/V中，AE=2a——=—,EN=—,所以sin/£4串=启=7-=；7

333AE4a2

T

故sinN£4A-30°.

所以