高三数学第一轮总复习-3.4-数列求和课件

第三章数列13.4数列求和考点搜索●常用求和公式●错位相减法●倒序相加法●并项求和法●裂项求和法2高考猜想数列求和是对数列知识的精彩演绎，它几乎涵盖了数列中所有的思想、策略、方法、技巧，对学生的知识和思维都有很高的训练价值.考试时把求和作为大题的一个小问单列，或与极限相结合，考查数列的求和.3

一、等差数列与等比数列的求和方法等差数列的前n项和公式是采用①_________推导的，等比数列的前n项和公式是采用②_____________推导的.

二、常用求和公式(等差数列)；倒序相加法错位相减法4

三、错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

四、倒序相加法将一个数列倒过来排列(倒序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.等差数列的求和公式就是用倒序相加法推导出来的.5

五、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并.

六、裂项法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.6七、常见的拆项公式有：1.=③___________.2.=④_____________.3.=⑤__________________.4.=⑥___________.5.n·n!=⑦_____________.(n+1)!-n!7

盘点指南：①倒序相加法；②错位相减法；③;④;⑤;⑥;⑦(n+1)!-n!81.若数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23

，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.10

解：令an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.则数列{an}的前n项和即为Sn,故Sn=2n+1-2-n，则2n+1-2-n>1020，解得n≥10.

D9

2.二次函数y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1，当n依次取1，2，3，4，…，k，…时，图象在x轴上截得的线段的长度的总和为()A.1B.2C.3D.4

解：令y=0，则n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0，得或则当n取k时,图象在x轴上截得的线段的长度所以所求线段的长度的总和为,故选A.A10

3.设Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17+S33+S50=()A.-1B.0C.1D.2

解：依题意，S17=1-2+3-4+…+17=9,S33=1-2+3-4+…+31-32+33=17,S50=1-2+3-4+…+49-50=-25,则S17+S33+S50=1，故选C.C11

1.求下面数列的前n项和：

解：设前n项和为Sn，则题型1分组求和法第一课时12设当a=1时，Tn=n;当a≠1时，Tn=Cn=1+4+7+…+(3n-2)=所以,当a=1时,Sn=Tn+Cn=当a≠1时，Sn=Tn+Cn=13

点评：如果求和数列中的通项公式有多项，就可以根据每项的结构特点看成是几个基本数列：如果n出现在指数的项就可以看成是一个等比数列；如果一次项中出现n的，就可以把这个一次项(和常数项)一起看成是一个等差数列，然后分别求和，最后可得到所求式子的和式.14

求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…(a≠0)的前n项和Sn.

解：据题设条件分析可知：an=an-1+an+an+1+…+a2n-2，当a=1时，an=n，所以当a≠1时，当a≠±1时，当a=-1时，152.求值：

解：分a=1和a≠1两种情况.当a=1时，当a≠1时，将上式两边同乘以，得

两式相减，得题型2错位相减法求和16即综上所述，得

点评：若和式的项是一个等差数列与一个等比数列的积的形式，就用错位相减法求和.其步骤主要有：先在和式两边乘(或除)以等比数列的公比，然后两式中有n-1项参与错位相减，相减后这n-1项构成一个新的等比数列，然后可求得其和.如果是含参数的等比数列，注意按公比是否为1进行讨论.17

已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n+b，且a1=3.(1)求a、b的值及数列{an}的通项公式；(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜

解：(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1·a.而{an}为等比数列，得a1=21-1·a=a.又a1=3，得a=3.从而an=3·2n-1(n∈N*).又因为a1=2a+b=3，所以b=-3.18(2)证明：因为所以两式相减得则19

3.求下列各数列的前n项和Sn.(1)(2)

解：(1)因为所以题型3裂项法求和20(2)因为所以

点评：“裂项法”一般适用于分式型求和，和式中的项的结构特点一般是：或(其中{an}是公差为d(d≠0)的等差数列)，利用变形后，一些项相抵消，注意前后各有哪些项保留.21求数列…的前n项和