《材料力学》课件-第七章 应力状态分析3-4

第7章应力与应变分析第一节一点的应力状态的概念

第二节平面应力状态分析、主应力

第三节特殊三向应力状态下的极值应力

第四节广义胡克定律

第五节强度理论7.3特殊三向应力状态下的极值应力

若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:

首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的斜截面上的应力。σ3

对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力σ1

和σ2

所画的应力圆圆周上各点的坐标。

同理，在平行于σ2

的斜截面上，其应力对应于由主应力σ1

和σ3

所画的应力圆圆周上各点的坐标。

在平行于σ1

的各个斜截面上，其应力对应于由主应力σ2

和σ3

所画的应力圆圆周上各点的坐标。

这样，单元体上与主应力之一平行的斜截面上的正应力和切应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。

至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。

在三向应力状态情况下：

τmax

作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上。

例7-4试确定左图所示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主平面和最大切应力作用面位置。x300150y140z90解：①给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPasy=140txy=150sx=300xzys2y'31o31os1x's3sy=140txy=150sx=300④主应力方位：最大切应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。⑤单元体内的最大切应力：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力 （应力单位为MPa）。解：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力 （应力单位为MPa）。解：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力 （应力单位为MPa）。解：一、广义虎克定律1.有关概念：①主应变：沿主应力方向的线应变，分别用e1≥e2≥e3表示；②正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：③一般情况：第四节广义虎克定律各相同性材料

s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：IIIs3各相同性材料三、总应变能密度1.有关概念：

①应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体内的能量。2.总应变能密度：①取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：②总应变能密度：

②应变能密度：单位体积的应变能。用表示；s2s1s3e1e2e3dxdydz三、总应变能密度1.有关概念：

①应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体内的能量。2.总应变能密度：①取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：②总应变能密度：

②应变能密度：单位体积的应变能。用表示；二、体积改变能密度与畸变能密度1.有关概念：①单元体的变形：体积改变和形状改变。②体积改变能密度：与体积改变相对应的那一部分比能，用vv表示；③畸变能密度：与形状改变相对应的那一部分比能，用vd表示；④②体积改变能密