线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质武汉经济技术开发区三中张梦晨3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．素养目标复习导入ABCMNPA′B′C′ABlA′B′

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，测量并猜想点P1，P2，P3

……到点A与点B的距离之间的数量关系.ABlP1P2P3线段的垂直平分线的性质定理探究新知知识点1探究P1A=P1B=P2A=P2B=P3A=P3B=猜想线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

在图中的直线l上任取一点，证明这一点与线段AB两个端点的距离相等

探究新知证明已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．ABPCl“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。”证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．在△PCA和△PCB中，

AC=CB，

∠PCA=∠PCB，

PC=PC∴△PCA≌△PCB（SAS）∴PA=PB．ABPCl探究新知证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．探究新知归纳总结用符号语言表示：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．ABPCl解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC．

∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE．

∴AB=AC=CE．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE巩固练习ABCDE解：∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．巩固练习如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PAB线段的垂直平分线的判定定理探究新知知识点2探究猜想与证明证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC探究新知已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．还有其他证明方法吗？线段垂直平分线的性质定理逆定理（判定）：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．探究新知归纳总结用符号语言表示：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PAB这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．PABCl探究新知试一试巩固练习

如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：∵OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上，又∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，

∴AO⊥BC如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？CABKF过直线外一点作已知直线的垂线作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（3）分别以点D和点E为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线.直线CF就是所求作的垂线.探究新知知识点3探究DE（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？（2）为什么要以大于

的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？探究新知想一想CABKFDE线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.关系PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段