线性方程组矩阵的秩

线性方程组矩阵的秩1第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期三2第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期三矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩。A的列向量组为3第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期三问题：一个矩阵的行秩与列秩之间的关系如何？

为此我们引入下面关于矩阵等价

(相抵)与等价标准形(相抵标准形)的概念。这部分内容请参见书上P168—170,P37--38！4第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期三定义：给定两个m×n矩阵A与B，若A可以经过矩阵的初等变换化为B，则称矩阵A与B是

等价的。否则称矩阵A与B是不等价的。由矩阵等价的定义，易得矩阵等价有下列性质：1.反身性：即对矩阵A，有A与A等价。2.对称性：即若A与B等价，则B与A等价。3.传递性：即若A与B等价，且B与C等价，则A与C等价。5第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期三等价的作用是将所有的m×n矩阵进行等价分类，每一类中的任意两个矩阵均是等价的，

任意两类中的矩阵均不等价,每一类中的矩阵可能有一些共同的性质，我们只要在每一类中取出一个矩阵(一般选较简单的)进行研究，就可以知道这一类中所有矩阵的一些(共同)的性质。

一个应用，如果两个矩阵等价(行变换)，则以这两个矩阵为增广矩阵所对应的线性方程组同解。反之，若两个矩阵(行,列数分别相同)为增广矩阵所对应的线性方程组同解，则这两个矩阵等价*。6第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期三定理；任一m×n矩阵A=(aij)均可经过矩阵的初等变换化为(

等价于)下列矩阵之一。(m=n)(m<n)7第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期三(m>n)矩阵中没写出的元素均为零。这三种矩阵的行秩=列秩=矩阵中1的个数。

8第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期三证明：若A=0，则命题成立。下设A≠0，不妨设(若不然，经过互换两行两列

可使变化后的矩阵中)利用初等行变换有再利用初等列变换进一步化为

继续对右下角的(m–1)×(n–1)

矩阵重复上述步骤，9第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期三定义：定理中给出的三种矩阵称为矩阵的等价标准形

(相抵标准形)

。

(它的行秩=列秩)经过一系列初等行，列变换之后，矩阵A可化为定理中所给出的矩阵之一。例1.求矩阵A的等价标准形。其中解：10第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期三矩阵B即为A的等价标准形。11第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期三下面我们给出关于矩阵秩的一个定理。定理:1)矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩;2)矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩.(*即初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。)证明1)：设A为m×n矩阵，其行向量组为列向量组为由向量组极大线性无关组的求法中，我们有：则A,B的行向量组等价,所以A的行秩=B的行秩.12第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期三

即矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，下面证矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。设A=12n的列秩为r且(不妨设)

12r就是A的列向量的一个极大无关组(只要证明A的列秩=B的列秩即可)13第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期三由矩阵消元法知道：齐次线性方程组14第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期三同前面一样由矩阵消元法知道，15第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期三

由上所述，矩阵的初等行变换不改变矩阵A的行秩与列秩。同样矩阵的初等行变换不改变矩阵AT的行秩与列秩,16第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期三

因为A的行(列)向量组就是AT的列(行)向量组,所以,对AT作初等行变换就相当于对A作初等列变换。

所以矩阵的初等列变换不改变矩阵A的列秩与行秩.定理：矩阵的行秩=列秩。17第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期三定义：矩阵A的行秩(列秩)称为A的秩,记为

例2.求矩阵A的秩,其中18第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期三

作为矩阵秩的一个应用，我们给出下面的定理(线性方程组有解判别定理)—书上P96

。

19第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期三证明：设线性方程组⑴的向量表示为且⑴有解的充分必要条件是“必要性”设⑴有解，20第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期三理由，见书上P88,P72—习题3。

21第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期三即线性方程组⑵有解。至此，定理证完。*定理隐含了⑴无解的充分必要条件是问题：对线性方程组⑴，当将定理应用到齐次线性方程组上，则有

22第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期三定理：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。*特别当齐次线性方程组的方程个数

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未知量的个数时，必有非零解。例3：判断方程组是否有解。解：对

⑴的增广矩阵施以初等行变换化为阶梯形矩阵，23第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期三由此阶梯形矩阵可得24第二十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期三