系统数学模型及其相互转换

第一页，共三十页，编辑于2023年，星期三4.结构图表示1.微分方程

2.传递函数3.状态空间常用的连续系统数学模型有以下种。2.1连续系统的数学模型第二页，共三十页，编辑于2023年，星期三1.微分方程（2-1）第三页，共三十页，编辑于2023年，星期三2.传递函数（2-2）设系统的传递函数为则有（2-4）（2-3）第四页，共三十页，编辑于2023年，星期三3.状态空间（2-5）为描述系统的内部特征，引入状态变量。向量X表示动态系统的状态。第五页，共三十页，编辑于2023年，星期三结构图4.结构图表示比较直观，对单输入单输出线性系统可通过结构图变换很容易的传递函数；而对多输入多输出或具有非线性环节的系统也可以通过面向结构图仿真方法得到系统的动态特征。如图2-1为线性系统的结构图.1K2F1K1+-u图2-1系统的结构图第六页，共三十页，编辑于2023年，星期三1.可控标准型2.2实现问题和取拉氏反变换，可得将（2-22）第七页，共三十页，编辑于2023年，星期三取状态变量为便可得到可控标准型第八页，共三十页，编辑于2023年，星期三其中第九页，共三十页，编辑于2023年，星期三2.可观标准型若取一组状态变量（2-26）第十页，共三十页，编辑于2023年，星期三

写成矩阵形式为其中

（2-27）第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期三3.对角标准型

若传递函数的特征方程

（2-29）第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期三设（2-30）（2-31）第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期三重根4.约当标准型

式中若传递函数的特征方程有，其部分分式展开比较复杂，下面用一个例子来说明。（2-32）第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期三令（2-33）（2-34）第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期三其中第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期三

1.系统模拟结构图转换为状态方程+y图2－1系统的动态结构图2.3从系统结构图向状态方程的转换

所谓模拟结构图，就是将整个系统的动态环节全部用积分环节及比例环节来表示。采用这种方法，首先要将结构图变换成模拟结构图的形式，然后根据积分环节选择状态变量。积分环节的个数便为状态方程的阶数，由各环节连接关系可方便地得到和输出方程。第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期三首先将图2-1系统转换为模拟结构图的图形，如下所示。＋＋－－－－图2-2系统模结构拟图若选取每个积分环节的输入为ui，输出为xi。则各积分环节的微分方程为第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期三（2-35）第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期三若用矩阵表示，则有（2-36）（2-37）第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期三式中

上式是一个典型的状态方程。由图2-2可见，输出量,于是输出方程（2-38）（2-39）式中第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期三1.状态方程的离散化2.4连续系统的离散化方程假设连续系统的状态方程为保持器TTux图2-5采样控制系统结构图（2-50）第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期三

（2-52）（2-55）（2-54）（2-53）对n及n+1两个依次相连的采样（2-54）减去（2-53）式与之积后得第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期三将上式右边积分进行变量代换，即令，则得

式中（2-56）（2-58）（2-57）令两次采样点间输入量表示为第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期三2.传递函数的离散化保持器G（s）TuyT图2-6连续系统的离散化

（2-59）第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期三保持器的传递函数

脉冲传递函数

零阶：一阶：三角形：若选择不同的保持器，则可有不同的G（z）。表2-1不同保持器的G（Z）第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期三图2-7加二次虚拟采样器的离散化（a）（b）G（s）G（s）TTTTT（2-60）第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期三举例说明其使用方法例

若

则根据表2-1，当加零阶保持器时，可得所以得差分方程为也可根据（2-60）式来求G(z)：其对应差分方程为（2-62）（2-61）第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期三

（2）当仅仅研究先行系统输入－输出关系时，可用传递函数。所谓传递函数，时当物理系统的所有初始值为零时，其输出和输入拉普拉斯变换之比。为了便于使用面向一阶微分方程的仿真程序,就是必要研究根据已知的系统传递函数求其显影的状态空间表达式，即实现问题，只得读者注意的是，实现问题不是唯一的。本章小结（1）

一个物理系统可以用任意阶微分方程来描述，经适当地选择变量还可以用一阶微分方程组来表示；而微分方程数值解能处理地示一阶微分方程组。应此本章研究地重点是将物理系统的数学描述转换为一阶微分方程组。对先行系统就是求其状态空间表达式。第二十九页，共三十页，编辑于2023年，星期三（4）

离散时间系统在仿真技术中扮演者重要角色。因此本章也将连续系统的离散化方法作为一个重点，扼要地介绍了状态方程和传递函数地差