现代经济学的数学基础

现代经济学的数学基础第一页，共二十二页，编辑于2023年，星期三2闭球B(x,r)点集：商品空间中的向量也叫做点，的子集叫做点集。开球：闭球：开集：能够表示成若干个开球的并的点集，叫做开集。易证：空集和全空间都是开集，任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。拓扑：由

的一切开集组成的集族，叫做空间上的拓扑。闭集：能够表示成某个开集的余集的点集，叫做闭集。易证：空集和全空间都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。一、商品空间上的拓扑开球B(x,r)开集

X任何两个开球的交都是开集第二页，共二十二页，编辑于2023年，星期三3内点：点x叫做集合

X的内点，是指存在实数

r

>

0

使得以x

为中心、r为半径的开球B(x,r)包含在X中。内部：集合

X

的内点的全体叫做

X

的内部，记作

int

X

或

X

º。可以证明：X

º是包含在X中的最大开集；

X是开集

当且仅当

X=Xº。邻域：我们把以x为内点的集合叫做x的邻域。可以证明：

x

的任何两个邻域的交仍然是

x

的邻域。(一)

内点与邻域内点一、商品空间上的拓扑邻域U邻域V第三页，共二十二页，编辑于2023年，星期三4(二)

闭包与边界X一、商品空间上的拓扑附贴点：点x叫做集合

X的附贴点，是指以点x

为中心的任何开球

B(x,r)(r

>

0)

都与

X相交。闭包：X

的附贴点的全体，叫做

X

的闭包，记作

cl

X或。可以证明：是包含X

的最小闭集；X

是闭集当且仅当。边界：集合叫做X的边界。可以证明：X

是闭集

当且仅当

X包含着它的边界。附贴点第四页，共二十二页，编辑于2023年，星期三5(三)

拓扑子空间一、商品空间上的拓扑子空间：赋予相对拓扑的点集X，叫做的拓扑子空间。所谓子空间

X

上的相对拓扑，是指由

X与的开集之交所构成的集族

(X

)

=

{X

U:U

是

的开集}。

(X

)中的集合就叫做

X

的开集，也叫做相对开集。相对开集在

X中的余集，叫做X的闭集，或称相对闭集。显然，X的子集M是相对闭集当且仅当

M

是

X

与的某个闭集的交集。例：半开半闭区间(1,2]既不是实数直线

R

中的闭集，也不是R

中的开集。

但在子空间(0,2]中，(1,2]是相对开集，这是因为(1,2]

=

(0,2](1,3)。M第五页，共二十二页，编辑于2023年，星期三6(四)

连通集(连通空间)一、商品空间上的拓扑连通集：赋予相对拓扑后，不能表示成为两个非空且不相交的相对开集之并的子空间，叫做连通子空间或连通集。可以证明：对于点集X来说，X

连通当且仅当X不能表示成两个非空且不相交的相对闭集之并。X连通当且仅当不存在满足下述条件的集合

A

与B：X=AB，A

，B，AB=，AB=ABX

不连通CDX

连通第六页，共二十二页，编辑于2023年，星期三7(五)

有界集与紧集一、商品空间上的拓扑X

下有界：

(aR

)(xX

)(

x

a

)。X

上有界：

(bR

)(xX

)(

x

b

)。X

有界：

X既下有界，又上有界。X

的开覆盖{Ut}tT：{Ut}tT

是的开集族，并且

X

tT

Ut。紧集

X：是指

X

的任何开覆盖都有有限子覆盖。定理

设。X

是紧集当且仅当

X

是有界闭集。X

下有界X

上有界X

的开覆盖第七页，共二十二页，编辑于2023年，星期三8(六)

凸集一、商品空间上的拓扑凸集：点集

X

叫做是凸集，是指

X

中任何两点之间的连线都在

X

中，即(x,

yX

)(t[0,

1])(t

x+(1-t

)

y

X)。凸紧集：既是凸集，又是紧集的集合叫做凸紧集。凸紧集在经济分析中相当有用！凸包：X的凸包是空间中包含X的最小凸集，记作

co

X

。X

是凸集X

不是凸集X

的凸包co

X第八页，共二十二页，编辑于2023年，星期三9(七)

一些重要事实一、商品空间上的拓扑定理

设。int

X

X

cl

X

。X

是开集

X

=int

X

。X

是闭集

X

=

cl

X

。int

X

是包含在X中的最大开集，cl

X

是包含X

的最小闭集。X

是闭集

X中任何收敛点列的极限都仍在

X

中。X

连通不存在满足下述条件的集合

A

与B：X

是紧集X

是有界闭集。X

是紧集X

是闭集且

X

中的任何序列都有收敛子序列。X是紧集X的任何具有有限交性质的相对闭集族都具有非空的交。集族的有限交性质：集族中任何有限个集合的交集都非空。第九页，共二十二页，编辑于2023年，星期三10二、映射与函数假定X和Y为两个任意给定的集合。映射

f:X

Y是从X到Y的一种对应关系：对于X中的任一元素x，Y

中都有唯一的元素

y与之对应(这个元素

y通常记作

f(x))。X叫做f的定义域，Y叫做f的值域。图像：G(f)

=

{(x,

y)X

Y:y

=f(x)}叫做映射f的图像。像或值集：集合f[M]

=

{f

(x):xM

}叫做

M

(X)在

f

下的像或值集。原像：集合f[K

]={x

X:f(x)K

}叫做

K

(

Y)在

f

下的原像。f:X

Y-1若f是从

X到

Y

的映射，则f

也是从

X到f[X]的映射。函数：取值为实数的映射，叫做函数。即f:X

Y为函数是指Y

R(也即

f[M]

R)。XY第十页，共二十二页，编辑于2023年，星期三11(一)

几类典型的映射二、映射与函数单射f:X

Y：把不同的点映射成不同的点，即(x,

yX

)

(

(

x

y

)

(

f(

x)

f(

y)

)

满射f:X

Y：Y=f[

X]，即

(yY

)(xX

)

(

y

=

f(

x)

)。双射f:X

Y：f既是单射，又是满射。也称f

为1-1对应。泛函：定义域为(拓扑)向量空间，取值为实数的映射。线性泛函：保持线性运算的泛函f:V

R(

V

为向量空间)，即(x,

yV

)(

,

R

)

(

f(

x+

y)

=

f(x)+

f(

y)

)。例：任意给定向量，定义映射如下：。则f

是线性泛函。例：是双射(1-1映射)。例：f:R

[0,

1](f(x)=sinx)是满射，但不是单射。第十一页，共二十二页，编辑于2023年，星期三12道路：对于

x,yX，连接

x

和

y

的道路是一个连续映射

:

[0,1]

X

满足

(0)

=

x

且

(1)

=

y。X

道路连通：

X中任何两点都能由道路连接。对于，X

道路连通

X

是连通的。(二)

连续映射二、映射与函数假定：X

和Y

都是拓扑空间(比如)，f:X

Y。

f在点

xX

处连续：是指对f(x)的任何邻域VY，都存在

x

的邻域U使得f

(z)V

对一切

z

U

成立。

f连续：是指f在

X

中的任何点处都连续。f连续Y

中任何开集在f下的原像都是开集。f连续Y

中任何闭集在f下的原像都是闭集。紧集上的连续函数必有最大值和最小值。商品空间

上的任何线性泛函都是连续的。xyX

道路连通X第十二页，共二十二页，编辑于2023年，星期三13定理中的雅克比矩阵

J

(x,

y)定义如下：定理设函数Fi(x,

y)在点附近连续可微且，雅克比矩阵可逆。则存在的邻域和

的领域，存在唯一的映射(即)满足：对任何

xU，都有；；在U

内连续可微(i

=

1,2,,

n)。三、隐函数存在定理第十三页，共二十二页，编辑于2023年，星期三14四、集值映射集值映射是取值为集合的映射，反映的是元素与集合之间的对应关系。这是经济学为自己创造的一种分析工具。多值函数就是集值映射的一种形式。带歧视的价值函数也是一种集值映射。消费预算、需求、供给也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射。集值映射在现实生活中也是多见的。比如，消费选择。消费者往往因为好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买哪一个都行。这样，这件东西和那件东西都成为他需要且在购买能力之内的商品。这种选择的不唯一性，是集值映射的一个典型事例。又如，抛物线y

²

=

4x

上

y与x的关系是集值映射。关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。第十四页，共二十二页，编辑于2023年，星期三15(一)

集值映射的概念四、集值映射集映(集值映射)F

:

X

Y：F

是从X

到幂集P(Y

)的映射，即对任何xX，都有F(x)

Y。对应(correspondence)

F

:

X

Y

：是指(xX

)(F(x)

)。集合

M

(

X

)

在

F

:

X

Y

下的像集

F[M

]：F[M

]=xM

F(x)。看待集映

F

:

X

Y

的几种不同视角：XYF

:

X

Y看成单值映射：F

:

X

P(Y)。看成集族：{F(x)}xX。看成多值映射：与x

对应的值不止一个，把这些值放在一起即形成了集合

F(x)。看成乘积集合

X

Y的子集：集值映射

F

与它的图像

G(F

)

=

{(x,

y)X

Y

:yF(x)}

之间是1-1对应的，因而可把

F

与其图像G(F

)等同看待。第十五页，共二十二页，编辑于2023年，星期三16(二)

各种类型的集映四、集值映射开集映F

:

X

Y：X

与Y

都是拓扑空间，图像G(F

)是开集。闭集映F

:

X

Y：X

与Y

都是拓扑空间，图像G(F

)是闭集。开集值集映F

:

X

Y：Y

为拓扑空间且xX，F(x)是开集。闭集值集映F

:

X

Y：Y

为拓扑空间且xE，F(x)是闭集。紧集值集映F

:

X

Y：Y

为拓扑空间且xE，F(x)是紧集。凸集值集映F

:

X

Y：Y

为向量空间且xE，F(x)是凸集。开集映闭集映G(F

)G(F

)第十六页，共二十二页，编辑于2023年，星期三17(三)

连续集映四、集值映射假定：X

与Y

都是拓扑空间，F

:

X

Y。上半连续：F

在

x

X

处上半连续，是指对

Y中任何包含

F(x)

的开集

V，都存在

x

的邻域

U

使得

F[U

]V。F

上半连续，是指F

在任何点x

X

处都上半连续。下半连续：F

在

x

X

处下半连续，是指对

Y中任何与

F(x)

相交的开集

V，都存在

x

的邻域U

使得F(z)V

对一切zU

成立。F

下半连续，是指F

在任何点

x

X

处都下半连续。连续集映：既上半连续，又下半连续的集映。xUVF(x)F(x)VUx上半连续下半连续第十七页，共二十二页，编辑于2023年，星期三181.集映连续性的意义四、集值映射xUVF(x)F(x)VUx在x

处虽然上半连续，但不下半连续(三)

连续集映集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。F的上半连续性是说F(x)不会突然彭胀——框得住；F的下半连续性是说F(x)不会陡然收缩——粘得住。在

x

处虽然下半连续，但不上半连续粘不住框不住第十八页，共二十二页，编辑于2023年，星期三192.集映连续性的判别四、集值映射(三)

连续集映定理

设，F

:

X

Y。如果F

是闭集值集映且F[X

]有界，则F

上半连续当且仅当F是闭集映。若F(x)

是闭集且存在x

的邻域U

使得F[U

]有界，则F在x处上半连续当且仅当对任何

yY

以及任何序列

xkX

和

ykF(xk)

(

k

=1,2,)，当

xk

x

(

k

)

且

yk

y

(

k

)时，y

F(x)。集映F在x

处下半连续当且仅当对任何yF(x)

及

X

中任何收敛于

x的序列

xk(

k

=

1,2,)，存在Y

中收敛于

y

的序列

yk(k=

1,2,)，使得

ykF(xk)

(

k

=

1,2,)。如果F是闭集值的闭集映且存在

x

的邻域U使得F[U

]有界，则F

在x

处上半连续。本定理为研究集值映射提供了极大便利，其中结论(4)直接从(1)得到，且比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)也很有用。第十九页，共二十二页，编辑于2023年，星期三20五、二元关系

消费者对各种消费方案的比较实际上是一种二元关系——消费方案间的两两关系。严格论二元关系，可给出如下定义。定义集合

X

上的二元关系是X

²

=X

X的子集：

=

{(x,

y)X

²

:xy}例1：关系<、>、=、、、<<

都是二元关系。比如，<={(x,

y)X

²

:x<y}，

={(x,

y)X

²

:xy}。例2：价值关系¥

设

v(x)是上的价值函数。定义

¥

=

{(x,

y)X

²

:

v(x)v(y)}，则

¥是消费集合X

上的二元关系，称为价值关系。x

¥

y

是说方案

x的价值没有方案

y

的价值大。例3.集映关系

从

X

到自身的集映F:

X

X

实际上表达了

X

上的一种二元关系：xyyF(x)；反过来，X

上的任何二元关系也都是一个集映F

:

X

X

：(xX

)(F(x)

=

{

yX

:xy})。因此，消费集合

X

上的二元关系恰恰就是从

X

到自身的一个集值映射。第二十页，共二十二页，编辑于2023年，星期三21(一)

二元关系的性质五、二元关系假定：

是集合

X

上的二元关系。二元关系的常用性质