上海市南中学高三数学理联考试题含解析

上海市南中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据三视图可以判断出该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个底面直径为4高为的圆锥的组合体，根据圆锥和圆柱的体积公式求出组合体的体积.【详解】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个底面直径为4高为的圆锥的组合体，∴该几何体的体积为：.故选：．【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体，并求出几何体的体积问题，考查了空间想象能力和数学运算能力.2.已知集合，集合，则集合（）A.B.

C.

D.参考答案：【知识点】集合的运算A1A因为，所以，则,所以选A.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行运算.3.已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是()A．20

B．18

C．16

D．9参考答案：B1.设全集，集合，，则 (

)A.

B.

C.

D.参考答案：B5.某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为

（

）84

78

81

96参考答案：B略6.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.设是空间两条直线，，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（

）A．当时，“”是“∥”成立的充要条件B．当时，“”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“”的必要不充分条件D．当时，“”是“”的充分不必要条件参考答案：C8..复数（i是虚数单位），则z的模为（）A.0 B.1 C. D.2参考答案：C【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.9.已知，则A.

B.

C.

D.参考答案：C10.三个数，，的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为

，的值为

．参考答案：略12.若对任意实数(－∞，1]，都有成立，则实数a的值为

．参考答案：题目可以转化为：对任意实数(，1]，都有成立，令，则，当时，，故在(，1]单调递减，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则，解得与矛盾．当时，此时在(，)单调递减，在(，1)单调递增，此时，若，则最小值为0，与恒成立矛盾；若，要使恒成立，则．接下来令，不等式可转化为，设，则，则在(，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t＝0时，有最小值为0，即，又我们要解的不等式是，故，此时，∴．13.已知函数，若，则函数恒过定点___

__．参考答案：(1,3)14.在四面体中，,,两两垂直，且=3,=3,=，则四面体的外接球的体积为

参考答案：答案:

15.将正整数1,2,3，……，n,……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行、第j列的数可用（i,j）表示，则2015可表示为

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列……第1行123

第2行987654

第3行1011121314151617…………

参考答案：16.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数.如果对于，，使得，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：17.已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于_____．参考答案：－8【分析】由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【详解】由||＝，||＝，||＝2，可得：即有△ABC为直角三角形，由两边平方可得，即有＝﹣×（3+5+8）＝﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）（2015秋?太原期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE?EF=CE?BF；（2）求证：FE=FG．参考答案：【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．（2）根据CFE∽△EFB，可得BE?EF=CF?BF，在根据圆的切线性质可得FC2=FB?FC，从而证得结论成立．【解答】证明：（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE?EF=CF?BF．（2）∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF?EF=FB?FC，∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB?FC，∴EF?EF=FG2，∴FG=FE．【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题．19.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(1)求证:；(2)求点到平面的距离.

参考答案：【知识点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．菁G4G5(1)见解析；(2)

解析：(Ⅰ)方法一:取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,

所以,,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以.

方法二:连结,依题意可知△,△均为正三角形,

又为的中点,所以,,又,平面,平面,所以平面,

又平面,所以.

(Ⅱ)当点为棱的中点时,四点共面,证明如下:

取棱的中点,连结,,又为的中点,所以,

在菱形中,所以,所以四点共面.

(Ⅲ)点到平面的距离即点到平面的距离,

由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,

平面,所以平面,即为三棱锥的体高.在中,,,

在中,,,边上的高,

所以的面积,

设点到平面的距离为,由得

,又,所以,

解得,

所以点到平面的距离为.………………12分【思路点拨】（Ⅰ）法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AD⊥平面POC，由此能证明PC⊥AD．法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，从而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能证明PC⊥AD．（Ⅱ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．（Ⅲ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P﹣ACD的体高，由VD﹣PAC=VP﹣ACD，能求出点D到平面PAM的距离．20.已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解答： 解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=﹣，y=﹣，则P（﹣，﹣），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为．（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQt?kQs=k（k为定值），即=k，将y2=1﹣代入并整理得（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；解得k=﹣，s=，t=﹣；或k=﹣，s=﹣，t=；．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得kQt?kQs为定值﹣．略21.已知直线与曲线相切1）求b的值；2）若方程在上恰有两个不等的实数根，求①m的取值范围；②比较的大小参考答案：解：1）……1分

设切点位，由题意得

……………4分联立消，得，由方程知∴b=3……………5分

2)解1:设……6分

①故h(x)在（0,3）上单调递减故h(x)在（3,）上单调递增，………9分若使h(x)图象在（0,）内与x轴有两个不同的交点则需，……11分此时存在所求m的取值范围是（-9,0）……………12分②由①知，

满足

……………15分略22.已知函数，，.（1）当时，讨论函数的零点个数．（2）的最小值为m，求的最小值．参考答案：（1）见解析（2）见解析【分析】（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：，，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.【详解】（1）的定义域为，.①当时，，单调递增，又，，所以函数有唯一零点；②当时，恒成立，所以函数无零点；③当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以