2022年江苏高考数学(理科)答案与解析

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022年江苏高考数学(理科)答案与解析2022江苏高考数学试题及参考答案

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．已知集合{2,1,3,4}A=--，{1,2,3}B=-，则AB=______．【解析】{1,3}-

2．已知复数2(52i)z=-(i是虚数单位)，则z的实部为______．【解析】21

2

254i20i2120iz=+-=-

3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是______．【解析】5

4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______．【解析】1

3

当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种状况，

从这4个数中任取两个数有24C6=种，故概率为

1

3

5．已知函数cosyx=与sin(2)yx?=+(0π)?≤，则由8642aaa=+得26

6622aaqaq

=+，解得22q=，故4624aaq==

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分离为12,SS，体积分离为12,VV，若它们的侧面积相等，且

1294

SS=，则

1

2

VV的值是________．【解析】

32

设两圆柱底面半径为12,rr，两圆柱的高为12,hh

则1232rr=，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πrhrh=，1223hh=，则11122232

VShVSh==

9．在平面直角坐标系xoy中，直线230xy+-=被圆22(2)(1)4xy-++=截得的弦长为_______．

∵圆心(2,1)-到直线230xy+-=

的距离d=

=

∴直线230xy+-=被圆22(2)(1)4xy-++=

截得的弦长为

10．已知函数2()1fxxmx=+-，若对于随意[,1]xmm∈+，都有()0fx>的左右焦点，顶点B的

坐标为(0,)b，连结2BF并延伸交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结1FC．

(1)若点C的坐标为4133??

???

，

，且2BF=求椭圆的方程；

(2)若1FCAB⊥,求椭圆离心率e的值．

(第17题)

【解析】(1)∵41,33C??

???

，∴22161

991ab+=，即221619ab+=

∵2

2222

BFbca=+=

，∴2

2

2a=

=，∴21b=

∴椭圆方程为2

212

xy+=

(2)设焦点()1,0Fc-，()2,0Fc，∵()0,Bb，∴直线2:b

BFyxbc

=-+

与椭圆方程联立得22

221xyabbyxb

c?+=????=-+??

，收拾得2221

120xxacc??+-=???

解得0x=或222

2ac

xac=+

∵222

2

2222,acab

Abacac??

-?++?

?

，且AC、关于x轴对称∴222222

22,acab

Cbacac??-?++??

∴122222223

223FCab

babb

cackacaccc

ac--+==+++∵1ABCF⊥

∴222

313abbcbaccc-??

?-=-?+??

由2

2

2

ba

c=-得221

5

ca=

，即e

18．（本小题满分16分）

如图，为庇护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形庇护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；庇护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上随意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处点C位于

点O正东方向170m处（OC为河岸），4

tan3

BCO∠=

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形庇护区的面积最大？

(第18题)

【解析】⑴过B作BEOC⊥于E，过A作AFBE⊥于F，

∵90ABC∠=?，90BEC∠=?

∴ABFBCE∠=∠

∴4

tantan3

ABFBCO∠=∠=

设4(m)AFx=，则3(m)BFx=

∵90AOEAFEOEF∠=∠=∠=?∴四边形AOEF为矩形

∴4(m)OEAFx==，60mEFAO==∴(360)mBEx=+∵4tan3BCO∠=

，∴3945m44CEBEx??

==+???

∴9445m4OCxx??

=++???

∴9

4451704

xx++=

∴20x=，∴120mBE=，90mCE=．∴150mBC=

(2)设BC与M切于Q，延伸QMCO、交于P∵90POMPQC∠=∠=?∴PMOBCO∠=∠设mOMx=，则4m3OPx=，5

m3

PMx=∴4170m3PCx??

=+???

∴16136m15PQx??

=+???，设M半径R

∴1653136m136m1535RMQxxx???

?==+-=-?????

?

∵AO、到O上任一点距离不少于80m

则80RAM-≥，80ROM-≥

∴()313660805xx≥，3

136805

xx--≥

∴1035x≤≤

∴R最大当且仅当10x=时取到∴10mOM=时，庇护区面积最大

19．（本小题满分16分）

已知函数()eexxfx-=+，其中e是自然对数的底数(1)证实：()fx是R上的偶函数；

(2)若关于x的不等式()e1xmfxm-≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m的取值范围；

(3)已知正数a满足：存在0[1)x∈+∞，，使得3

00

0()(3)fxaxx，即e1

ee1

xxx

m≤+-对(0,)x∈+∞恒成立令ext=(1)t>，则211

t

mtt-≤-+对随意(1,)t∈+∞恒成立.

∵221111

11(1)(1)131+11

tttttttt--=-=-≥--+-+-+-+-，当且仅当2t=时等号成立

∴1

3

m≤-

⑶()eexxfx-'=-，当1x>时()0fx'>，∴()fx在(1,)+∞上单调增

令3

0()(3)hxaxx=-+，00()3(1)hxaxx'=--∵0a>，1x>，∴()0hx'+

∵e1

e111lnlnlne(e1)ln1e

aaaaaa=-=--+

设()(e1)ln1maaa=--+，则e1e1()1amaaa'=-=

，11

(e)2e

a>+当11

(e)e12e

a+，()ma单调增；当e1a>-时()0ma'时()0ma，当ea=时()0ma=

∵e11()0eamaa--?>，e11()0eamaa--=?=

故当11

(ee)e2a-+；当ea=时e11eaa--=；当ea>时e11eaa--，0y>，证实：22(1)(1)9xyxyxy++++≥

【解析】A．证实：OCOB=，∴OCBB∠=∠，又∵BD∠=∠，∴OCBD∠=∠

B．解：222yAxy-??=??+??a，24yBy+??=??

-??a，由AB=aa得22224yyxyy

-=+??+=-?，解得1

2x=-，4y=

C．解：直线:3lxy+=代入抛物线方程24yx=并收拾得21090xx-+=

∴交点(1,2)A，(9,6)B-

，故AB=D

．证实：由均值不等式2211xyxy?++??++??≥≥

分离当且仅当21xy==，21xy==时候等号成立

因此()(

)

22119xyxyxy++++≥

当且仅当1xy==的时候等号成立

【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明，证实过程或演算步骤

22.（本小题满分10分）

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除色彩外彻低相同

(1)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球色彩相同的概率P

(2)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分离为123,,xxx，随机变量X

表示123,,xxx的最大数，求X的概率分布和数学期望()EX

【解析】(1)一次取2个球共有29C36=种可能状况，2个球色彩相同共有222432C+C+C10=种可能状况

∴取出的2个球色彩相同的概率105

3618

P=

=(2)X的全部可能取值为4,3,2，则44

49C1(4)C126PX===，3131453639

CCCC13(3)C63PX+===

，于是11(2)1(3)(4)14

PXPXPX==-=-==∴X的概率分布列为

故X的数学期望23414631269

EX=?+?+?=

23.（本小题满分10分）

已知函数0sin()(0)x

fxxx

=

>

，设()nfx为1()nfx-的导数，*n∈N(1)求12πππ

2()()222

ff+的值

(2)证实：对随意*n∈N，等式1πππ()()444nnnff-+=都成立

【解析】(1)0()sinxfxx=,两边求导得01()()cosfxxfxx+=两边再同时求导得122()()sinfxxfxx+=-(*)将π2x=

代入(*)式得12πππ

2()()1222

ff+=-(2)下证命题：1sin,4cos,41

()()sin,42cos,

43

nnxnk

xnknfxxfxxnkxnk-=??=+?

+=?

-=+??-=+?，*k∈N恒成立

当0n=时，0()sinxfxx=成立

当1n=时，10()()cosxfxfxx+=，由(1)知成立当2n=时，21()2()sinxfxfxx+=-，由(1)知成立

当3n=时，上式两边求导322()()2()cosxfxfxfxx++=-，即32()3()cosxfxfxx+=-假设当nm=(3)m≥时命题成立，下面证实当1nm=+时命题也