第2课时正弦函数余弦单调性与最值

第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪知识探究1.正弦函数、余弦函数的单调性[问题1-1]观察正弦函数y=sin

x,x∈R

的图象,你能写出函数y=sin

x,x∈𝟐

𝟐[-𝛑,𝟑π]的单调递增区间和单调递减区间吗?提示:单调递增区间是[-𝛑,𝛑],单调递减区间是[𝛑,𝟑𝛑].𝟐

𝟐

𝟐

𝟐[问题1-2]结合正弦函数的周期性,它还有哪些单调区间?提示:在[-𝛑,𝛑]及[𝛑,𝟑𝛑]的每一个端点上分别加上±2π,±4π,±6π,…,都𝟐

𝟐

𝟐

𝟐是它的单调区间.[问题1-3]观察余弦函数y=cos

x,x∈R的图象,你能写出函数y=cos

x,x∈[-π,π]的单调递增区间和单调递减区间吗?提示:单调递增区间是[-π,0],单调递减区间是[0,π].[问题1-4]结合余弦函数的周期性,它还有哪些单调区间?提示:在[-π,0]及[0,π]的每一个端点上分别加上±2π,±4π,±6π,…,都是它的单调区间.梳理1 正弦函数、余弦函数的单调性(1)正弦函数y=sin

x的增区间为 ;减区间为[2kπ-𝛑,2kπ+𝛑](k∈Z)𝟐

𝟐[2kπ+𝛑,2kπ+𝟑𝛑](k∈Z)

𝟐

𝟐

.(2)余弦函数y=cos

x的增区间为

[2kπ-π,2kπ](k∈Z)

;减区间为

[2kπ,2kπ+π](k∈Z)

.2.正弦函数、余弦函数的最值[问题2-1]观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?提示:存在.正弦、余弦函数的最大值和最小值分别是1和-1.[问题2-2]在何处正(余)弦函数取得最大值和最小值?提示:过图象上最高(低)点分别作x轴的垂线与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数分别取得最大(小)值.梳理2 正弦、余弦函数的最值正弦曲线:余弦曲线:可得如下性质:𝛑+2kπ,k∈Z由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集

R

,值域都是

[-1,1]

.对于正弦函数y=sin

x,x∈R有:当且仅当x=

𝟐

时,取得最大值1;当且仅当x=

𝟐

时,取得最小值-1.对于余弦函数y=cos

x,x∈R有:当且仅当

x=2kπ,k∈Z

时,取得最大值1;当且仅当

x=(2k+1)π,k∈Z

时,取得最小值-1.-𝛑+2kπ,k∈Z小试身手1.方程sin

x=2a-1(x∈R)中a的取值范围是(B

)(A)R(C)(0,1)(B)[0,1](D)[0,2]解析:因为x∈R,所以-1≤sinx≤1,所以-1≤2a-1≤1,所以0≤a≤1.故选B.2.函数y=2sin

x在区间[-π,π]上的单调递增区间是()𝟐

𝟐(A)[-𝛑,𝛑] (B)[-𝛑,π]𝟐(C)[-π,𝛑]A解析:函数y=2sin

x的单调递增区间是[-𝛑+2kπ,2kπ+𝛑](k∈Z).当k=0时,该𝟐

𝟐𝟐

𝟐区间为[-𝛑,𝛑].故选A.𝟐(D)[-π,π]解析:因为-1≤cosx≤1,所以-3≤-3cosx≤3,所以-1≤2-3cosx≤5.故函数f(x)的值域是[-1,5].函数f(x)=2-3cos

x的单调递减区间即为函数y=cos

x的单调递增区间,即[2kπ-π,2kπ](k∈Z),结合已知区间[-2π,0]知函数的单调递减区间是[-π,0].答案:[-1,5][-π,0]3.函数f(x)=2-3cos

x的值域是

,函数在[-2π,0]上的单调递减区间是

.4.cos

1,cos

2,cos

3的大小关系是

.(用“>”连接)解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos

x在[0,π]上单调递减,所以cos

1>cos

2>cos

3.答案:cos

1>cos

2>cos

3课堂探究·素养培育探究点一探究角度1正、余弦(型)函数的单调性利用图象确定函数的单调区间[例1]函数y=|sin

x|的一个单调递增区间是()(A)(-𝛑,𝛑)

(B)(𝛑,𝟑𝛑)𝟒

𝟒

𝟒

𝟒(C)(π,𝟑𝛑)

(D)(𝟑𝛑,2π)𝟐

𝟐解析:因为y=|sinx|的图象是由y=sinx在x轴上侧的图象不变、x轴下侧的图象对折得到的,如图所示.𝟐由图可知,函数的一个单调递增区间是(π,𝟑π).故选C.[变式训练

1-1]

将本例中的函数改为

y=|cos

x|,则该函数的一个单调递增区间是(

)(A)(-𝛑,𝛑)

(B)(𝛑,𝟑𝛑)𝟒

𝟒

𝟒

𝟒(C)(π,𝟑π)

(D)(𝟑π,2π)𝟐

𝟐解:由于函数的周期为T=π,且当x∈[0,𝛑]时,函数单调递增,x∈[𝛑,π]时,函数𝟐

𝟐单调递减,𝟐因此函数的单调递增区间是[kπ,kπ+𝛑](k∈Z),𝟐单调递减区间是[kπ+𝛑,kπ+π](k∈Z).[变式训练1-2]写出本例中函数的单调区间.方法总结

(1)研究三角函数的单调性时,若函数的图象容易作出(或不能直接利用

y=sin

x,y=cos

x的单调性求解,可以作出函数图象),结合图象研究函数性质.(2)一般地,形如y=|Asin(ωx+j

)|或y=|Acos(ωx+j

)|的函数单调性常借助图象求解.易错警示本例中,由于函数y=|sin

x|周期为T=π,因此函数的单调性中应为kπ的形式.𝟐

𝟑解:(1)令2kπ≤𝒙+𝛑≤2kπ+π,k∈Z得4kπ-𝟐𝛑≤x≤4kπ+𝟒𝛑(k∈Z).𝟑

𝟑故函数的单调递减区间是[4kπ-𝟐𝛑,4kπ+𝟒𝛑](k∈Z).𝟑

𝟑𝟐

𝟑令2kπ+π≤𝒙+𝛑≤2kπ+2π,k∈Z得4kπ+𝟒𝛑≤x≤4kπ+𝟏𝟎π(k∈Z).𝟑

𝟑故函数的单调递增区间是[4kπ+𝟒𝛑,4kπ+𝟏𝟎π](k∈Z).𝟑

𝟑探究角度

2

形如

y=Asin(ωx+

j

)+k(或

y=Acos(ωx+

j

)+k)(A≠0,ω≠0)的函数单调性[例2]分别求下列函数的单调区间.𝟐

𝟑(1)f(x)=2+cos(𝒙+𝛑);解:(2)令2kπ-𝛑≤2x-𝛑≤2kπ+𝛑,k∈Z𝟐

𝟒

𝟐得kπ-𝛑≤x≤kπ+𝟑𝛑(k∈Z).𝟖

𝟖故函数的单调递增区间是[kπ-𝛑,kπ+𝟑𝛑](k∈Z).𝟖

𝟖令2kπ+𝛑≤2x-𝛑≤2kπ+𝟑𝛑,k∈Z𝟐

𝟒

𝟐得kπ+𝟑𝛑≤x≤kπ+𝟕π(k∈Z).𝟖

𝟖故函数的单调递减区间是[kπ+𝟑𝛑,kπ+𝟕𝛑](k∈Z).𝟖

𝟖𝟒(2)f(x)=2sin(2x-𝛑).𝟐

𝟑[变式训练2-1]将本例(1)中函数解析式变为f(x)=2-cos(𝒙+𝛑),函数单调区间如何?解:由于f(x)=2-cos(𝒙+𝛑)的单调区间与f(x)=2+cos(𝒙+𝛑)的单调区间正好相𝟐

𝟑

𝟐

𝟑反,因此函数的单调递增区间是[4kπ-𝟐𝛑,4kπ+𝟒𝛑](k∈Z),𝟑

𝟑函数的单调递减区间是[4kπ+𝟒𝛑,4kπ+𝟏𝟎π](k∈Z).𝟑

𝟑𝟒解:因为y=2sin(𝛑-2x),𝟒所以y=-2sin(2x-𝛑).所以函数y=2sin(𝛑-2x)的单调递增区间就是函数f(x)=2sin(2x-𝛑)的单调𝟒

𝟒递减区间,由2kπ+𝛑≤2x-𝛑≤2kπ+𝟑𝛑得kπ+𝟑𝛑≤x≤kπ+𝟕𝛑(k∈Z).𝟐

𝟒

𝟐

𝟖

𝟖故函数y=2sin(𝛑-2x)的单调递增区间为[kπ+𝟑𝛑,kπ+𝟕𝛑)(k∈Z).𝟒

𝟖

𝟖𝟒[变式训练2-2]将本例(2)中函数解析式变为y=2sin(𝛑-2x),求函数的单调递增区间.方法总结求正弦、余弦型函数单调区间的方法求函数y=Asin(ωx+j

)(或y=Acos(ωx+j

))(A>0,ω>0)的单调区间,一般将ωx+j

视作整体,代入y=sin

x(或y=cos

x)相应单调区间所对应的不等式,解之即得.当ω<0时,先利用诱导公式将y=Asin(ωx+j

)(或y=Acos(ωx+j

))(A>0,ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-j

)(或y=Acos(-ωx-j

))(A>0,ω<0),再求函数的单调区间.(3)当A<0时,要注意单调区间的变化,谨防将增区间与减区间混淆.因为0°<14°<70°<90°,函数y=sin

x在区间(0,𝛑)上单调递增,𝟐所以sin

14°<sin

70°,所以-sin

14°>-sin

70°,所以sin

194°>cos

160°.探究角度

3 利用正、余弦函数单调性比较大小[例3]比较下列各组数的大小.(1)sin

194°与cos

160°;解:(1)sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(90°+70°)=-sin

70°.解:(2)sin

𝟏

=cos(𝛑-𝟏

),𝟏𝟎

𝟐

𝟏𝟎-cos𝟕=cos(π-𝟕),𝟒

𝟒𝟒

𝟐

𝟏𝟎

𝟐因为0<π-𝟕<𝛑-𝟏

<𝟑<π,函数y=cos

x在(0,π)上是减函数,𝟒

𝟐

𝟏𝟎所以cos(π-𝟕)>cos(𝛑-𝟏

)>cos𝟐𝟑,即-cos

𝟕>sin

𝟏

>cos𝟒

𝟏𝟎𝟐𝟑.(2)cos

𝟑,sin

𝟏

,-cos

𝟕;𝟐

𝟏𝟎

𝟒解:(3)cos

𝟑𝛑=cos(𝛑-𝛑)=sin

𝛑.𝟖

𝟐

𝟖

𝟖𝟖

𝟖

𝟐

𝟐因为0<𝛑<𝟑𝛑<𝛑,函数y=sin

x在(0,𝛑)上单调递增,所以sin

𝛑<sin

𝟑𝛑,所以cos

𝟑𝛑<sin𝟖

𝟖

𝟖

𝟖𝟑𝛑.𝟖

𝟖而0<cos

𝟑𝛑<sin

𝟑𝛑<1,且函数y=sin

x在(0,1)上单调递增,所以sin(cos

𝟑𝛑)<sin(sin

𝟑𝛑).𝟖

𝟖(3)sin(sin

𝟑π)与sin(cos

𝟑π).𝟖

𝟖解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin

40°,sin

700°=sin(720°-20°)=sin(-20°),又函数y=sin

x在[-90°,90°]上单调递增,所以sin

40°>sin(-20°),所以sin(-320°)>sin

700°.即时训练3-1:比较下列各组数的大小:(1)sin(-320°)与sin

700°;(2)cos

𝟏𝟕𝛑与cos𝟖

𝟗𝟑𝟕𝛑.𝟖

𝟖

𝟖

𝟗𝟗

𝟗(2)因为cos

𝟏𝟕𝛑=cos(2π+𝛑)=cos

𝛑,cos

𝟑𝟕𝛑=cos(4π+𝛑)=cos

𝛑,𝟖又函数y=cos

x在[0,π]上单调递减,所以cos

𝛑<cos𝟗𝛑,𝟖所以cos

𝟏𝟕𝛑<cos𝟗𝟑𝟕𝛑.方法总结三角函数值大小比较的策略𝟐

𝟐(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到[-𝛑,𝛑]或[𝛑,𝟑𝛑]𝟐

𝟐内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.探究点二 正、余弦(型)函数的值域与最值解:(1)当2x+𝛑=2kπ+𝛑(k∈Z),𝟑

𝟐𝟏𝟐max即

x=kπ+

𝛑

(k∈Z)时,y

=3,当2x+𝛑=2kπ-𝛑(k∈Z),𝟑

𝟐𝟏𝟐min即

x=kπ-𝟓𝛑(k∈Z)时,y =-3.探究角度

1 正、余弦(型)函数的最值问题[例4]求下列函数的最值,并求函数取最值时,相应x的值.𝟑(1)y=3sin(2x+𝛑);𝟑

𝟔解:(2)因为x∈[-𝛑,𝛑],所以2x+𝛑∈[-𝛑,𝟐𝛑].𝟑

𝟑

𝟑所以-𝟏≤cos(2x+𝛑)≤1.𝟐

𝟑当2x+𝛑=0,即x=-𝛑时,𝟑

𝟔函数取最大值,ymax=1+1=2.当2x+𝛑=𝟐π,即x=𝛑时,𝟑

𝟑

𝟔min𝟐

𝟐函数取最小值,y

=-𝟏+1=𝟏.(2)y=1+cos(2x+𝛑),x∈[-𝛑,𝛑].𝟑

𝟑

𝟔即时训练4-1:求下列函数最值,并求取最大值和最小值时x的值.

(1)y=1-3cos

2x;解:(1)当cos

2x=1时,y有最小值1-3=-2,此时x的值满足2x=2kπ,即x=kπ(k∈Z).当cos

2x=-1时,y有最大值1+3=4,此时x的值满足2x=2kπ+π,即x=kπ+𝛑𝟐(k∈Z).(2)y=-2sin(2x-𝛑),x∈[0,𝛑].𝟒

𝟐解:(2)由x∈[0,𝛑]得2x-𝛑∈[-𝛑,𝟑𝛑],𝟐

𝟒

𝟒

𝟒所以sin(2x-𝛑)∈[-√𝟐,1],𝟒

𝟐𝟒即-2≤-2sin(2x-𝛑)≤√𝟐.当2x-𝛑=𝛑,即x=𝟑π时,函数取最小值-2.𝟒

𝟐

𝟖𝟒

𝟒当2x-𝛑=-𝛑,即x=0时,函数取最大值√𝟐.方法总结形如y=Asin(ωx+j

)+k或y=Acos(ωx+j

)+k(A≠0,ω≠0)的函数(1)在R

上的最值,可结合sin(ωx+j

),cos(ωx+j

)的范围及A的符号确定.(2)若定义域为确定的区间,令t=ωx+j

,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性及A的符号,求其值域.max𝟐

𝟐当

t=√𝟑时,y

=2,此时

sin

x=√𝟑,即x=2kπ+𝛑或x=2kπ+𝟐𝛑(k∈Z).𝟑

𝟑探究角度

2

形如

y=Asin2x+Bsin

x+C

或

y=Acos2x+Bcos

x+C

型最值问题𝟒[例5]求使函数y=-sin2x+√𝟑sin

x+𝟓取得最大值和最小值的自变量x的集合,并求出函数的最大值和最小值.解:令t=sin

x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+√𝟑t+𝟓=-(t-√𝟑)2+2.𝟒

𝟐当t=-1时,y𝟒𝟏min=

-√𝟑,𝟐此时

sin

x=-1,即

x=2kπ+𝟑𝛑(k∈Z).综上,使函数y=-sin2x+√𝟑sin

x+𝟓取得最大值时自变量x的集合为{x|=2kπ+𝛑或𝟒

𝟑𝟑x=2kπ+𝟐𝛑,k∈Z},且最大值为2.使函数y=-sin2x+√𝟑sin

x+𝟓取得最小值时自变量x的集合为{x|x=2kπ+𝟑𝛑,k∈𝟒

𝟐𝟒Z},且最小值为𝟏-√𝟑.𝟒解:因为cos2x=1-sin2x,所以y=sin2x+√𝟑sin

x+𝟏.令t=sin

x,则-1≤t≤1,所以y=t2+√𝟑t+𝟏=(t+√𝟑)2-𝟏.𝟒

𝟐

𝟐min𝟐

𝟐当

t=-√𝟑时,y

=-𝟏,当

t=1

时,y𝟒𝟓max=

+√𝟑.𝟐

𝟒故函数值域为[-𝟏,𝟓+√𝟑].𝟒[变式训练5-1]将本例中的函数变为y=-cos2x+√𝟑sin

x+𝟓,求函数的值域.方法总结形如y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)的三角函数,可先设sin

x=t,将函数y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0)(-1≤t≤1),根据二次函数的单调性求值域(最值).备用例题[例1](多选题)已知f(x)=-sin

x,则下列区间是函数的单调递减区间的是()(A)(-𝛑,𝛑)

(B)(𝛑,𝟑𝛑)𝟒

𝟒

𝟒

𝟒(C)(π,𝟑π)

(D)(𝟑𝛑,2π)𝟐

𝟐解析:法一

作出函数f(x)=-sinx的图象如图所示.可知函数的单调递减区间是A,D.故选AD.法二

由于f(x)=-sin

x的单调性与y=sin

x单调性相反,故选AD.𝟑[例2](2019·河北衡水中学高三模拟)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx-𝛑)在𝟑

𝟐(𝛑,𝛑)内单调递减,则ω的取值范围是( )(A)(0,𝟏𝟏]

(B)[𝟓,𝟏𝟏]𝟑

𝟐

𝟑(C)(0,𝟏]

(D)[𝟏,𝟑]𝟐

𝟐

𝟒解析:令2kπ+𝛑≤ωx-𝛑≤2kπ+𝟑π(k∈Z),𝟐

𝟑

𝟐解得𝟐𝒌𝛑+𝟓𝛑≤x≤𝟐𝒌𝛑+𝟏𝟏𝛑(k∈Z).𝝎

𝟔𝝎

𝝎

𝟔𝝎再令k=0,可得𝟓𝛑

≤x≤𝟏𝟏𝛑,𝟔𝝎

𝟔𝝎𝟔𝝎

𝟔𝝎故函数f(x)的一个单调递减区间为[𝟓𝛑

,𝟏𝟏𝛑].𝟑

𝟐由函数f(x)在(𝛑,𝛑)内单调递减,且ω>0,可得ቐ𝟔𝝎𝟑𝟓𝛑

≤

𝛑

,𝟔𝝎

𝟐𝟏𝟏𝛑

≥

𝛑

,解得𝟓≤ω≤𝟏𝟏.故选B.𝟐

𝟑[例3]比较下列各式的大小:(1)sin(-𝟐𝟑π)与sin(-𝟏𝟕π);𝟓

𝟒𝟓

𝟓𝟓

𝟓解:(1)sin(-𝟐𝟑𝛑)=-sin

𝟐𝟑𝛑=-sin

𝟑𝛑=-sin(π-𝟐𝛑)=-sin𝟓𝟐𝛑,Sin(-𝟏𝟕𝛑)=-sin

𝟏𝟕𝛑=-sin𝟒

𝟒

𝟒𝛑.𝟒

𝟓

𝟐

𝟐因为0<𝛑<𝟐𝛑<𝛑,且函数y=sin

x,x∈[0,𝛑]是增函数,𝟒

𝟓𝟒所以sin

𝛑<sin

𝟐𝛑,-sin

𝛑>-sin𝟓𝟐𝛑,即sin(-𝟐𝟑𝛑)<sin(-𝟏𝟕𝛑).𝟓

𝟒(2)sin𝟕和cos𝟒

𝟑𝟓.解:(2)因为cos

𝟓=sin(𝛑+𝟓),𝟑

𝟐

𝟑又𝛑<𝟕<π<𝛑+𝟓<𝟑π,y=sin

x在[𝛑,𝟑π]上是减函数,𝟐

𝟒

𝟐

𝟑

𝟐

𝟐

𝟐所以sin

𝟕>sin(𝛑+𝟓)=cos

𝟓,即sin

𝟕>cos

𝟓.𝟒

𝟐

𝟑

𝟑

𝟒

𝟑1𝟐

𝟐[例4]已知函数y

=a-bcos

x的最大值是𝟑,最小值是-𝟏,求函数y=-4asin

3bx的最大值.1𝟐

𝟐解:因为函数y的最大值是𝟑,最小值是-𝟏,当b>0时,由题意得ቐ𝟐𝒂

+

𝒃

=

𝟑

,𝟐𝒂-𝒃

=

-

𝟏

,𝒂

=

𝟏

,𝒃

=

𝟏.所以ቊ

𝟐

此时

y=-4asin

3bx=-2sin

3x.当b<0时,由题意得ቐ𝒂-𝒃

=

𝟑

,𝟐𝟏𝒂

+

𝒃

=

-

𝟐

,所以൝𝒂

=

𝟏

,𝟐𝒃

=

-𝟏.此时y=-4asin

3bx=-2sin(-3x)=2sin

3x.因此y=-2sin

3x或y=2sin

3x.函数的最大值均为2.[例5]求下列函数的最大、最小值.𝟒(1)y=sin2x-sin

x+𝟓;(2)y=cos2x-2cos

x+3.解:(1)令t=sin

x,则t∈[-1,1],且y=t2-t+𝟓=(t-𝟏)2+1.𝟒

𝟐当t=𝟏,即sin

x=𝟏时,y