2019年新课堂高考总复习数学文科第六章5讲不等式应用配套课件

第5讲

不等式的应用考纲要求考点分布考情风向标会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问

题，并能加以解决2011年新课标第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2012年新课标第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2013年新课标Ⅰ第12题以分段函数为背景，考查函数与不等式的综合应用，并求参数的取值范围；2014年新课标Ⅰ第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2015年新课标Ⅰ第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2016年新课标Ⅰ第16题考查线性规划的应用问题2017年天津第16题考查线性规划的应用问题从近几年的高考试题来

看，高考越来越增大了对密切联系生产和生活实

际的应用性问题的考查

力度.主要有两种形式：

(1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围.(2)基本不等式的应用：求函数或数列的最值，侧重“正”“定”“等”

的满足条件取“＝”号).2.如果a，b

是正数，那么21.如果a，b∈R，那么a2＋b2≥

2ab

(当且仅当a＝b时取“＝”号).a＋b≥

ab

(当且仅当a＝b

时不等式的推广：

2

ab≤1

1≤a＋b以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作H)，几何平均数(记作G)，算术平均数(记作A)，平方平均数(记作Q)，即

H≤G≤A≤Q，各不等式中等号成立的条件都是a＝b.常用不等式(1)a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c

时取“＝”号).a2＋b2a＋b2

2≤

.(2)若a＞b＞0，m＞0，则b＋ma＋mb＞a(糖水的浓度问题).x－y≥0，1.(2017

年新课标Ⅲ)若x，y

满足约束条件x＋y－2≤0，y≥0，则

z＝3x－4y的最小值为

.解析：不等式组表示的可行域如图D33

所示的阴影部分，图D334目标函数

y＝3

－1z，其中

z

表示斜率为

k4x3＝4的直线系与可行域1有交点时直线的截距的－4倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1,1)处取得最小值z＝3x－4y＝－1.答案：－1则

z＝x＋2y的最大值是(

)A.0

B.2C.5D.6x－y＋3≤0，2.(2017

年山东)已知x，y

满足约束条件3x＋y＋5≤0，x＋3≥0，解析：画出可行域及直线x＋2y＝0

如图D34，平移x＋2y＝0

发现，当其经过直线3x＋y＋5＝0

与x＝－3的交点A

时，z＝x＋2y

最大为zmax＝－3＋2×4＝5.图D34答案：C3.(2014年福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是

10元/m2，则该容器的最低总造价是()A.80元C.160元B.120元D.240元解析：设长方体底面边长分别为x，y，则y＝x4.

4所以容器总造价为z＝2(x＋y)×10＋20xy＝20x＋x＋80.由基本不等式，得

z≥20×2

4＋80＝160.当且仅当底面是边长为2

m

的正方形时，总造价最低.故选C.答案：C4.一批货物随17

列货车从A

市以v

千米/时匀速直达B

市，已知两地路线长400

千米，为了安全，两辆货车间距至少不得时(不计货车长度).小于

v

202

千米，则把这批物资运到

B

市，最快需要

8

小考点1实际生活中的基本不等式问题例1：出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下边要留1.5

cm

空白，左、右两侧要留1

cm

空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？故应选用12

cm×18

cm

的纸张.x解：设印字部分的矩形宽为x，则高为150.x故纸张宽为x＋2，高为150＋3.

150

300其面积

S＝(x＋2)

x

＋3＝3x＋

x

＋1563002≥2

3x·

x

＋156＝216(cm

).x当且仅当3x＝300，即x＝10

cm

时，Smin＝216

cm2.【规律方法】利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题.注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大.【互动探究】1.某村计划建造一个室内面积为800

m2

的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留

1

m

宽的通道，沿前侧内墙保留

3

m

宽的空地，则最大的种植面积是(

D

)A.218

m2

B.388

m2

C.468

m2

D.648

m2解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为b

m，则ab＝800.蔬菜的种植面积：S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b).∴S≤808－4

2ab＝648(m2).当a＝2b，即a＝40

m，b＝20

m

时，Smax＝648

m2.2.一份印刷品，其排版面积为432

cm2(矩形)，要求左、右各留有

4

cm

的空白，上、下各留有

3

cm

的空白，则当排版的长为

cm，宽为

cm

时，用纸最省.答案：24

18解析：设矩形的长为x

cm，则宽为x432

cm，则总面积为432y＝(x＋8)·

x

＋6＝432＋48＋6x＋432×8x＝480＋6x＋72×8x≥480＋6×2

x·72×8x＝768.当且仅当x＝72×8x，即x＝24

时24取等号，此时宽为432＝18(cm).考点2实际生活中的线性规划问题例2：某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2

m3，生产一个书橱需要方木料0.2

m3，五合板1

m3，

出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，那么可获利润多少？如何安排生产可使所得利润最大？解：(1)设只生产书桌x

张，可获利润z

元，∴当x＝300

时，zmax

＝80×300＝24

000(元).即如果只安排生产书桌，最多可生产300

张书桌，可获利润24

000元.0.1x≤90，则2x≤600，z＝80x⇒x≤900，x≤300⇒x≤300.(2)设只生产书橱y

个，可获利润z

元，∴当y＝450

时，zmax

＝120×450＝54

000(元).即如果只安排生产书橱，最多可生产450

个书橱，可获利润54

000元.(3)设生产书桌x张，生产书橱y个，可获总利润z

元，0.2y≤90，则1·y≤600，z＝120y⇒y≤450，y≤600⇒y≤450.则0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0⇒x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0.z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图D35.图D35作直线l：80x＋120y＝0，即直线2x＋3y＝0.把直线l

向右上方平移到l1

的位置，直线l1

经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y

取得最大值.∴当x＝100，y＝400

时，zmax

＝80×100＋120×400＝56

000(元).因此安排生产400

个书橱，100张书桌，可获利润最大为56000

元.【方法与技巧】根据已知条件写出不等式组是解题的第一步；画出可行域是第二步；找出最优解是第三步.由x＋2y＝900，2x＋y＝600，解得点M

的坐标为(100,400).【互动探究】3.(2016

年新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品A

和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A

需要甲材料1.5

kg，乙材料1

kg，用5

个工时；生产一件产品B

需要甲材料0.5

kg，乙材料

0.3

kg，用

3个工时.生产一件产品

A

的利润为

2100

元，生产一件产品

B

的利润为

900

元.该企业现有甲材料

150kg，乙材料

90

kg，则在不超过

600

个工时的条件下，生产产品

A、产品

B

的利润之和的最大值为

元.解析：设生产产品A、产品B

分别为x，y

件，利润之和为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，z

元，那么5x＋3y≤600，x≥0，①y≥0.目标函数z＝2100x＋900y.二元一次不等式组①等价于3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图D36)，即可行域.图D36将

z＝2100x＋900y

变形，得

y＝－7x＋

z

，平行直线

y＝3

900－7x，当直线

y＝－7x＋

z

经过点

M

时，z

取得最大值.3

3

900所以当x＝60，y＝100

时，zmax

＝2100×60＋900×100＝216

000(元).故生产产品A、产品B

的利润之和的最大值为216

000元.答案：216000解方程组10x＋3y＝900，5x＋3y＝600，得M

的坐标(60,100).易错、易混、易漏⊙利用基本不等式时忽略了等号成立的条件例题：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162

平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图6-5-1)，如果池四周围墙建造单价为400

元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.图6-5-1试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16

米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.正解：(1)设污水处理池的宽为x

米，则长为x162米.则总造价f(x)＝400

×2x＋2×162x＋248×2x＋80×162＝1296x＋1296×100x100＋12

960＝1296x＋

x

＋12

960≥1296×2100x·

x

＋12

960＝38

880(元).当且仅当x＝100(x＞0)，即x＝10

时取等号.x∴当长为16.2

米，宽为10

米时，总造价最低，最低总造价为38

880

元.(2)