机械制造与自动化专业《数控系统插补原理》

数控系统插补原理机床数控系统的核心问题，就是如何控制刀具或工件的运动。一般情况是运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，由数控系统实时地计算出各个中间点的坐标。即需要“插入、补上〞运动轨迹各个中间点的坐标，通常这个过程被称为“插补〞。每种插补方法又可能用不同的方法来实现，这种具体的计算方法称之为插补算法。插补算法的好坏将直接影响CNC系统的性能指标。插补的结果是输出运动轨迹的中间点坐标值，机床伺服系统根据此坐标值控制各坐标轴之间的相互协调运动，走出预定轨迹。在早期的数控机床中，插补器是一种硬件数字逻辑电路装置，故称为硬件插补器。而在CNC系统中，插补器的局部或全部功能可由计算机中的插补程序实现。能实现插补的程序软件称软件插补器。软件插补算法可分为两大类：脉冲增量插补和数字采样插补。脉冲增量插补算法主要为各坐标轴进行脉分配计算，插补结果产生单位行程增量，即工作台移动一个脉冲当量。常用的脉冲增量插补算法有逐点比拟法和数字积分法，本节通过介绍直线、圆弧逐点比拟插补法，让读者了解插补软件运行的过程。1．逐点比拟插补法工件的轮廓无论是什么曲线，都可以用简单的直线、圆弧等逼进。例如图2-13〔a〕中，为了加工圆弧曲线AB，可以让刀具先从A点沿一X方向走一步，刀具处在圆内1点，然后沿+Y方

向走一步，使刀具靠近圆弧，刀具到达2点，但仍在圆内，故沿+Y再前进一步，刀具到达圆外3点，为靠近圆弧应沿一X方向走一步，如此继续移动，走完9步后到达终点B,其过程如图2-7a所示。a) b)图2-7逐点比拟插补示意图加工如图2-7〔b〕所示中的直线AB也一样，先从A点沿+X方向走一步，刀具到达1点，为了逼近直线，第二步沿+Y方向移动一步到达2点，如此继续，直到终点B结束。这种插补方法是走一步计算一次，并比拟刀具与工件轮廓的相对位置，使刀具向减小误差的方向进给，故称为逐点比拟法。用逐点比拟法控制机床加工，需要四个节拍：1偏差判别根据刀具的实际位置，确定进给方向。2进给沿减少偏差的方向前进一步。3偏差计算计算出进给后的新偏差值，作为下一步偏差判别的依据。4终点判别判断是否到达终点，假设未到达终点，返回去进行偏差判别，再重复上述过程。假设到达终点，发出插补完成信号。逐点比拟插补法流程图如图2-8所示。图2-8逐点比拟插补法流程图 图2-9偏差判别2．逐点比拟法直线插补运算〔1〕偏差判别偏差判别如图2-9所示，加工轨迹是一条直线0E,坐标起点为〔0,0〕，终点为〔Xe,Ye〕。设刀具的任意位置P点的坐标值为〔X,Y〕。假设P点在直线0E上，那么0P与0E重合，它们的斜率相等，即Y/X=Ye/Xe得：XeY—XYe=O假设P点在直线0E的上方，那么0P的斜率大于0E的斜率,即Y/X>Ye/Xe得：XeY—XYe>0假设P点在直线0E的下方，那么OP的斜率小于0E的斜率，即Y/XVYe/Xe 得：XeY—XYeVO用F表示P点的偏差函数，并定义为：F=XeY—XYe那么当F=0时，P点在直线OE上；F>0时，P点在直线OE的上方；FV0时，P点在直线OE的下方。〔2〕进给当F=0时，规定刀具向+X方向前进一步。当F>0时，控制刀具向+X方向前进一步。当FV0时，控制刀具向+Y方向前进一步。刀具每走一步后，将刀具新的坐标值代入函数式F=XeY-XYe,求出新的F值，以确定下一步进给方向。〔3〕偏差计算用公式F=XeY—XYe计算偏差值时，要求进行两数乘积和求差运算。因两数乘积和求差运算复杂，运算速度慢。实际计算时作如下变换。图2-10是直线插补时坐标变换情况。设某一时刻刀具运动到点p(x,y)该点的偏差值为：iiif=xy—XYieiie假设FNO时，沿+X方向走一步，到达［X+1,Y)点，i ii如图2-10〔a〕所示，新的偏差值为：F=XY—(X+1)Y

i+1eiie—XY—XY—Yeiiee―F-Yie假设FVO时，沿+Y方向走一步，到达［X，Y+11点，i ii如图2-10b所示，新的偏差值为：F=X(Y+1)-XYi+1ei ie—XY-XY+Xeiiee—F+Xie可见，向+X方向走一步后，可采用f-y计算新的偏差值；ie向+Y方向走一步后，可采用f+X计算新的偏差值。这种利用ie前一加工点的偏差，递推出新的加工点的计算方法，称为递推法。递推计算法，不用乘除法，只用加减法，并且只需要直线的终点坐标值，而不用计算和保存刀具中间坐标点，故计算量和运算时间减少，提高了插补速度，使插补器结构简单。逐点比拟法直线插补和计算过程归纳如表2-1。表2-1直线插补计算过程偏差判别进给方向偏差计算F三0i+XF=F-Yi+1 i eF<0i+YF=F+Xi+1 i e〔4〕终点判别最常用的终点判别方法是设置一个长度计数器，因为从直线的起点。移到终点E,刀具沿X轴应走的步数为Xe,沿Y轴应走的步数为Ye,所以计数长度应为两个方向进给步数之和，即N=Xe+Ye无论X轴还是Y轴，每送出一个进给脉冲，计数长度减1,当计数长度减到零时，即N=0时，表示到达终点，插补结束。图2-11例2-1图例2-1加工直线如图2-11所示,直线的起点坐标为坐标原点，终点坐标为〔5,4〕。试用逐点比拟法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。解：因插补起点与原点重合，此时的偏差值F0=O计数长度 N=Xe+Ye=5+4=9插补的运算过程如表2-2所示。表2-2例2-1的插补过程序号偏差判别进给偏差计算终点判别0F0=ON=91F0=O+XF1=F0—Ye=-4N=82F1=-4<0+YF2=F1+Xe=1N=73F2=1>O+XF3=F2—Ye=-3N=64F3=-3<O+YF4=F3+Xe=2N=55F4=2>O+XF5=F4—Ye=2N=46F5=-2<O+YF6=F5+Xe=3N=37F6=3>O+XF7=F6—Ye=-1N=28F7=-1<O+YF8=F7+Xe=4N=19F8=4>O+XF9=F8—Ye=ON=O由上述分析可知，第一象限直线插补流程图如图2-12所示。初始化主要包括读入终点坐标值〔Xe,Ye〕，求出计数长度，设置初始偏差值F=O等。〔5〕其它象限的直线插补上面讨论的是第一象限的直线插补，其它象限的插补方法,和第一象限的插补方法类似。插补运算时，取1X1和IYI代替X,Y。进给方向规定：在第二象限时，假设FNO时，向一X方向步进，FVO时向+Y方向进给；在第三象限时，假设FN0时，向一X方向步进，FVO时，向一Y方向步进；在第四象限时，假设FNO时，向+X方向步进，FV0时，向一Y方向步进。四个象限的步进方向如图2-13所示。由图中看出，FN0时，进给都是沿X轴方向步进，不管+X方向还是一X方向，X的绝对值1X|增大。究竟是走X轴的正向还是反向可由象限标志控制，一、四象限走+乂，二、三象限走一X。同样，FV0时，进给总是沿Y方向，不管是向+Y方向，还是一Y方向，|Y|增大。一、二象限走+Y方向，三、四象限走一Y方向。图2-12第一象限直线插补流程图

斤如(+Y)斤斤如(+Y)斤c口(+Y)F如(-Y)图2-13四象限步进方向四个象限的插补方向归纳为表2-3。不管是那个象限，都用与第一象限相同的偏差计算公式，只是式中的终点坐标值〔Xe,Ye〕均取绝对值。图2-14是四象限直线插补流程图。表2-3四象限的进给方向和偏差计算偏差判别F三oiF<Qi第一象限XY进给第二象限-XY第三象限-X-Y第四象限X-Y偏差判别F=F—|Ye|i+1 iF尸F+1XeIi+1 i00?N=D?图2-14四象限直线插补流程图（插补开始初始化/，00?N=D?图2-14四象限直线插补流程图（插补开始初始化/，Ye,F=QN=4+Ye4其走一步N-N—1FT一国IF-F+XI由表2-3和图2-14可以看出，四象限的偏差计算公式相同，差异在于进给方向不同。所以，在插补前，应根据直线终点坐标值〔Xe,Ye〕的符号判断直线属于那一个象限。3．逐点比拟法圆弧插补运算圆弧曲线加工时分逆圆弧插补和顺弧圆弧插补。图2-15是表示插补第一象限逆圆圆弧的简图，图中以圆弧圆心为坐标原点，给出圆弧的起点A坐标〔x,y〕和终点B坐标〔x,y〕，圆弧00 ee的半径为R。〔1〕偏差判别任取一点P,设P点的坐标是〔X,Y〕，那么P点相对圆弧AB的位置有三种情况。P点在圆弧AB上，那么OP等于圆弧半径R,即：x2+y2=,或X2+Y2—R2=0P点在圆弧外侧时，那么OP大于圆弧半径R,即：X2+Y2>，或X2+Y2-R2>0P点在圆弧内侧时，那么OP小于圆弧半径R,即：X2+Y2V,或X2+Y2-R2<0B(Xe,Ye)一\F>0图2-15第一象限逆圆插补图用F表示P点的偏差函数，并定义为：F=X2+Y2-R2那么当F=0时，P点在圆弧AB上；F>0时，P点在圆弧人8外侧；F<0时，P点在圆弧AB内侧。〔2〕进给当F=0时，规定刀具向一X方向前进一步;当F>0时，控制刀具向一X方向前进一步;当F<0时，控制刀具向+Y方向前进一步。刀具每走一步后，将刀具新的坐标值代入f=X2+Y2-R2中，求出新的F值，以确定下一步进给方向。

〔3〕偏差计算因为采用公式F=X2+y2.R2计算偏差值时，要进行二次乘方的计算，比拟费时，实际计算时作如下变换。设某一时刻刀具运动到点P(X,y)，该点的偏差值为：iiiF=X2+y2—R2iiiTOC\o"1-5"\h\z假设F三0时，沿一X方向前进一步，到达〔X_1,y)点，i ii如图2-16〔a〕所示，新的偏差值为：F=(X_1)2+y2_R2i+1 i—X2_2X+1+y2_R2

ii i(X2+y2(X2+y2_R2)_2X+1ii iii图2-16圆弧插补坐标变换=F_2X+1假设FVO时，沿+Y方向前进一步，到达［X,y+1)点，i ii如图2-16b所示，新的偏差值为：F=X2+(y+1)2_R2i+1 ii=X2+y2+2y+1_R2

ii i=(X2+y2_R2)+2y+1ii i-F+2Y+1ii上面导出了第一象限逆圆插补的偏差值递推出计算公式。与偏差值直接计算式F=X2+Y2.R2相比，递推计算只进行加、减法运算〔乘2运算可采用移位法实现〕，防止了乘方运算，计算机容易实现。逐点比拟逆圆插补的计算过程归纳如表2-4。表2-4逆圆插补计算过程偏差判别进给方向偏差计算坐标计算F三0i-XF=F—2X+1i+1 i iX=X—1Y=Yi+1 i 'i+1 iF<0iYF=F+2Y+1i+1 i iX=XY=Y+1i+1 i'i+1i同理可以推出第一象限顺圆弧插补偏差值的计算公式，此处不再表达，读者可自行完成。第一象限顺圆插补的计算过程如表2-5。表2-5顺圆插补计算过程偏差判别进给方向偏差计算坐标计算F三oi—YF=F—2Y+1i+1 i iX=XY=Y-1i+1 i'i+1iF<oi+XF=F+2X+1i+1 i iX=X1,Y=Yi+1 i i+1i〔4〕终点判别与直线插补的终点判别一样，设置一个长度计数器，取X、Y坐标轴方向上的总步数作为计数长度值，即N=lX—X1+1Y—YIe 0 e0无论X轴还是Y轴，每进一步，计数器减1,当长度计数器减到零时，插补结束。也可以设置两个长度计数器N和Ny,N存放乂方向进给总步数，Ny存放丫方向进给总步数。在X方向进给一次，N减1,在Y方向进给一次，Ny减1,直到Ne和Ny都减为零时，插补结束。例2-2加工第一象限的一段圆弧AB如图2-17所示，起点A的坐标值为x=4,y=3,终点B的坐标值为x=0,y=00 ee5。试用逐点比拟法进行圆弧插补。Y,E(0,5)A(4,3)O X图2-1273圆歹弧2-细迹解：因从起始点A[4,3)开始插补，故初始插补的偏差值为：F=00计数长度 N=|X—X|+|Y—Y|e 0 e0=|0一4|+|5—3|=6插补的运算过程如表2-6,第一象限逆圆插补流程如图2-18所示。表2-6例2-2插补过程

序号偏差判别进给偏差计算终点判别0F0=0 X=4 Y=3N=61F0=0-xF1=F0—2X1=—7,X=4—1=3,Y=3N=52F1<0+YF2=F12Y1=0,X=3,Y=31=4N=43F2=0-xF3=F2-2X1=-5,X=3-1=2,Y=4N=34F3<0+YF4=F32Y1=4,X=2,Y=41=5N=25F4〉0-xF5=F4-2X1=1,X=2-1=1,Y=5N=16F5>0-xF6=F5-2X1=0,X=1-1=0,Y=5N=0〔5〕其它象限的圆弧插补上面讨论的是第一象限的圆弧插补方法。实际上圆弧所在象限不同，进给方向不同，所以圆弧插补有八种形式。用SR1、SR2、SR3、SR4代表一、二、三、四象限的顺圆弧，NR1、NR2、NR3、NR4表示四个象限中的逆圆弧。如图2-19所示。

图2-19四个象限的圆弧由图可知，第一象限逆弧〔NR1〕插补运动，使加工点坐标X的绝对值减小，坐标