初中数学-2.1二次函数教学设计学情分析教材分析课后反思

§2.1二次函数所描述的关系课时安排：1课时授课人：课表分析及学情分析：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想．第一课时课题：§2．1二次函数所描述的关系教学目标：(一)教学知识点1．探索并归纳二次函数的定义．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．(二)能力训练要求1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题．(三)情感与价值观要求1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．教学重点：1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．教学方法五环节教学法讨论探索法．教具准备投影片二张第一张：(记作§2．1A)第二张：(记作§2．1B)教学过程Ⅰ．创设情境，感悟导入[师]给大家介绍一位新朋友（展示多媒体姚明图片），同学们认识他吗哦？[生]认识观课微视频[师]同学们视频和姚明说的话你能理解吗？[生]篮球运动员的投篮，篮球的运动轨迹是抛物线[师]很好，今天我们就一起学习探讨二次函数[师]对于"函数"这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗?[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．[师]能把学过的函数回忆一下吗?[生]可以，一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．反比例函数y=(A是不为0的常数)．[师]很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．Ⅱ．合作探究一、由实际问题探索二次函数关系投影片：(§2．1A)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．[师]请大家互相交流后回答．[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．(3)如果果园橙子的总产量为y个，则y=(x+100)(600-5x)＝-5x2+100x+60000．[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?[生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多?[师]请大家发表自己的看法．[生甲]在函数y=-5x2+100x+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数-5，因此当x越大时，y的值越大．[生乙]我不同意他的观点．因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此-5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大．[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下．我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．请大家先填表，再猜测．[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．三、做一做投影片：(§2.1B)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)，[师]首先我们要回顾一下有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗?[生]记得.本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的"报酬"，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间)．[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．[生]一年后的本息和为(100+100x・1)=100(1+x)．[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．[生]y＝100(1+x)+100(1+x)xxl=100(1+x)+100(1+x)x＝100(1+x)(1+x)=100(1+x)2=100x2+200x+100．[师]在这个关系式中，y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想．[生]因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数．再从函数的形式来看,y是x的二次函数．四、二次函数的定义[师]从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢?[生]一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadraticfunction)．[师]很好，上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．Ⅲ．巩固训练1.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=QUOTE1x21x2B.-x2C.y=x3+2x2+3D.y=QUOTEx2-2x+3x24.矩形的长为2cm,宽为1cm,如果将其长与宽都增加x(cm),则面积增加y(cm2),则y与x的关系是,y是x的函数.5.等边三角形的面积S与其边长a之间的函数关系式为6.随堂练习(P36)Ⅳ．课时小结本节课我们学习了如下内容：1.经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．Ⅴ．课后作业习题2．1ⅵ.板书设计§2．1二次函数所描述的关系一、1．由实际问题探索二次函数关系(投影片§2．1A)2．想一想3．做一做(投影片§2．1B)4．二次函数的定义二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业2．1二次函数学情分析1、学生在学习一次函数、反比例函数过程中，已经学会了用描点法画函数图象的方法，具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.2、我本学期所带的两个班级情况不同，九年级17班是新接手的班级，大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都还有所欠缺；学习积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，在教学中使养成良好的学习习惯。，九年级18班大多是我从七年级带上的学生基础较为扎实，在教学中我注重指导学生积极思维、主动获取知识，并逐步学会独立提出问题、解决问题。引导学生积极开动脑筋思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。2.1二次函数效果分析通过NBA中国球星姚明的投篮让学生寻找他们身边的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。学生通过开动脑筋，产生联想，寻找出生活中大量的类似抛物线的事物，再通过师生共同鉴定、修正，使学生获得大量对抛物线感性认识的经验。在利用生活中的实例讨论二次函数的特点时，让学生尽可能多地合作交流，从而使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的定义和特点．小组合作学习交流，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中能发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。让学生尽可能多地合作交流，使学生能够从多个角度看问题，进而培养学生全面思考问题的良好思维习惯。在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。另外，练习最后一题难度偏大，可根据学生的实际情况作取舍。微课的应用让学生对二次函数的定义有更深刻的影响和理解，节省了课堂时间提高了课堂效率。2.1二次函数教学反思通过本节课的教学，和其他老师的观课记录我有以下几点体会：1、这节课，我对教材的引入进行了修改能激发学生的兴趣与求知欲，在二次函数的学习中让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数的性质。小组合作是学生的知识扩展和系统性更强使课堂效率大大提高，所以，在以后的教学中要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的描述比较教条化的，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最重要的。如果牵强的引出来，不一定是好事。我觉得要想提高自己的教学水平，就要及时反思自己教学中存在的不足，在每一节课前充分预想到课堂的每一个细节，想好对应的措施，不断提高自己的教学水平。2、对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。3、学生画图象和计算是比较费时间，所以但是这个时间也是很必要的，这种感性认识为后部分总结规律上升到理性认识提供了良好的基础.所以在教学中反映出来的状况是，越是基础不扎实的同学，画图象的帮助越大.从图象中学生可以很快说出结论，反复应用这个结论去判断函数的图象可以加深认识与记2.1二次函数教材分析1.教材的地位和作用

二次函数是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型，应用非常广泛，许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.在历年来的中考题中二次函数也占有较大比例。在本节课之前，学生已经系统的学习过了反比例函数和一次函数。学生对两个变量之间的函数关系已经有一个基础的认识。本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，又是高中阶段进一步学习函数知识的基础。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。2.教学目标

知识技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

数学思考：通过用二次函数表述实际问题中的数量关系，体会模型思想，建立符号意识。

问题解决：能应用二次函数的相关知识解决简单的数学问题及实际问题

情感态度：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．

3.重难点

根据教学内容和学生的实际情况，将本节课的教学重点确定为：对二次函数概念的理解，初步学会用函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系．教学难点确定为由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.

2.1二次函数测评练习（30分钟50分）一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=QUOTE1x21x2B.-x2C.y=x3+2x2+3D.y=QUOTEx2-2x+3x22.某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y与x的函数关系式为()A.y=-QUOTE1212x2+10x+1200(0<x<60)B.y=-QUOTE1212x2-10x+1250(0<x<60)C.y=-QUOTE1212x2+10x+1250(0<x<60)D.y=-QUOTE1212x2+10x+1250(x≤60)3.如图,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E,F怎样动,始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是()A.y=x+1B.y=x-1C.y=x2-x+1D.y=x2-x-1二、填空题(每小题4分,共12分)4.矩形的长为2cm,宽为1cm,如果将其长与宽都增加x(cm),则面积增加y(cm2),则y与x的关系是,y是x的函数.5.等边三角形的面积S与其边长a之间的函数关系式为.6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,点E,F分别在线段AD,DC上(点E与点A,D不重合),若∠ABC=60°,∠BEF=120°,AE=x,DF=y,则y关于x的函数关系式为.三、解答题(共26分)7.(8分)如图,某小区广场要设计一个矩形花坛,花坛的长、宽分别为30m,20m,花坛中有一横一纵的两条通道,余下部分种植花卉,横、纵通道的宽度均为xm.(1)求两条通道的总面积S与x的函数关系式,不要求写出自变量x的取值范围.(2)当种植花卉面积为551m2时,求横、纵通道的宽度为多少m?8.(8分)如图,在△ABC中,BC=5cm,S△ABC=6cm2,一直线EF从A点开始以每秒1cm的速度开始向下移动,且EF∥BC,直到EF与BC重合为止.如果设运动了xs时夹在AB,AC之间的线段EF长为ycm.(1)求y与x的函数关系式,并求x的取值范围.(2)写出梯形EBCF的面积S与x的函数关系式.【拓展延伸】9.(10分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的关系式为y=-QUOTE4343x+QUOTE163163,点A,D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为S(不能构成△OPQ的动点除外).(1)求出点B,C的坐标.(2)求S随t变化的函数关系式.答案解析1.【解析】选B.-x2+y=3变形为y=x2+3,符合二次函数的定义.2.【解析】选A.由题意得:y=(210-150-x)QUOTE20+x220=-QUOTE1212x2+10x+1200(0<x<60).3.【解析】选C.∵∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角.∴∠BAE=∠FEC.∴△ABE∽△ECF,那么AB∶EC=BE∶CF,∵AB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y.∴AB·CF=EC·BE,即1×(1-y)=(1-x)x.∴y=x2-x+1.4.【解析】y=(2+x)(1+x)-2×1=x2+3x是二次函数.答案:y=x2+3x二次5.【解析】∵三角形的高为a·sin60°=QUOTE3232a,∴S=QUOTE1212a·QUOTE3232a=QUOTE3434a2.答案:S=QUOTE3434a26.【解析】在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,∴∠A=∠D=120°,AE=x,DE=6-x,又∵∠AEB+∠DEF=180°-∠BEF=60°,∠AEB+∠ABE=180°-∠A=60°,∴∠ABE=∠DEF,∴△ABE∽△DEF,∴QUOTEABDEABDE=QUOTEAEDFAEDF,∴QUOTE66-x66-x=QUOTExyxy,∴y=-QUOTE1616x2+x(0<x<6).答案:y=-QUOTE1616x2+x(0<x<6)7.【解析】(1)S=20x+30x-x2=-x2+50x.(2)因为横、纵通道的宽度均为xm,所以根据题意,列方程得:(30-x)(20-x)=551.解这个方程得:x1=1,x2=49(不符合题意,舍去).答:横、纵通道的宽度为1m.【归纳整合】实际问题中二次函数自变量的取值范围在实际问题中的二次函数关系,由于受实际问题的要求和限制,其自变量的取值范围一般不是全体实数,如长度、时间、重量等均为正数,人数、车辆数等均为正整数.8.【解析】(1)∵EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,∴△AEF∽△ABC,∵BC=5cm,S△ABC=6cm2,∴△ABC的BC边上的高为QUOTE125125cm,由题意知△AEF的高为xcm,∴QUOTEEFBCEFBC=QUOTEx125x125,∴QUOTEy5y5=QUOTEx125x12∴y=QUOTE25122512xQUOTE0≤x≤1250≤x≤12(2)∵梯形EBCF的高为QUOTE125125-x,∴S=QUOTE1212(BC+EF)QUOTE125-x125-x=QUOTE1212(5+y)QUOTE125-x125-x=QUOTE125+2512x=-QUOTE25242524x2+6QUOTE0≤x≤1250≤x≤12【拓展延伸】9.【解析】(1)把y=4代入y=-QUOTE4343x+QUOTE163163,得x=1.∴C点的坐标为(1,4).当y=0时,-QUOTE4343x+QUOTE163163=0,∴x=4,∴B点的坐标为(4,0).(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.∴BC=QUOTECM2+BM2=QUOTE42+324∴sin∠ABC=QUOTECMBCCMBC=QUOTE4545.①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,则QN=BQ·sin∠ABC=QUOTE4545t.∴S=QUOTE1212OP·QN=QUOTE1212(4-t)×QUOTE4545t=-QUOTE2525t2+QUOTE8585t(0<t<4).②当4<t≤5时(如备用图1),连接QO,QP,作QN⊥OB于N.同理可得QN=QUOTE4545t.∴S=QUOTE1212OP·QN=QUOTE1212×(t-4)×QUOTE4545t=QUOTE2525t2-QUOTE8585t(4<t≤5).③当5<t≤6时(如备用图2),S=QUOTE1212×OP×OD=QUOTE1212(t