专题67-费马点中三线段模型与最值问题(原卷版)_第1页
专题67-费马点中三线段模型与最值问题(原卷版)_第2页
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专题67费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【精典例题】1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A． B． C． D．2、如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________3、如图，四边形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．4、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.EEADBCNM⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转

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