2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题07 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）（全题型压轴题） （解析版）

专题07一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）（全题型压轴题）利用导函数研究不等式有解（能成立）问题①已知函数在区间上存在单调区间②变量分离法③双变量型④最值法①已知函数在区间上存在单调区间1．（2022·全国·高三专题练习）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】B，∴在x∈上有解，即ax+0在x∈上有解，即a在x∈上有解．令g(x)，则g′(x)，∴g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，∴g(x)的最小值为g(e)=，∴a＞．故选：B．2．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．【答案】，则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，因为，且在上单调递减，所以当时，，所以.故答案为：3．（2022·福建龙岩·高二期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为___________.【答案】解：，因为函数在上存在单调递减区间，所以在上有解，即不等式在上有解，令，令，则，所以，即实数a的取值范围为.故答案为：.4．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是________．【答案】根据题意，函数，其导数，若函数在定义域内存在单调递减区间，则在上有解；若，变形可得，则在上能成立，设，则，则，则必有，故的取值范围为；故答案为：．5．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.【答案】，其中，则．由于函数存在单调递增区间，则，使得，即，，构造函数，则．，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，所以，，故答案为．6．（2022·山东泰安·高二期中）已知函数.(1)若在处有极大值，求的值；(2)若在存在单调递减区间，求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)因为，所以.当，即，或时，函数可能有极值.由题意，当时，函数有极大值，所以.

当变化时，，的变化情况如下表所示：单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，此时，所以.(2)由（1）可知：，当时，，或.由题意，在存在单调递减区间，所以在上有解，由（1）知，在上单调递减，所以，解得，或，即.综上所述，的取值范围是.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在的切线与直线垂直，函数．（1）求实数a的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；【答案】（1）；（2）（1）,又函数在的切线与直线垂直（2），函数存在单调递减区间，则在上成立,即在上成立（当且仅当时等号成立），检验当时函数在单增，不满足题意，②变量分离法1．（2022·山西大附中高二期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B∵在上有解，∴在上有解，令，，则即可．又，令，解得，∴当时，，则为减函数，当时，，则为增函数，∴当时，取得最小值．∴，则实数的取值范围是．故选：B．2．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D的定义域为，，∵当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，即，又∵存在，使得成立，∴，解得，则实数的取值范围为，故选：D.3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】A令得，∴，将化简得，令，则，令，∵，∴为增函数，当时，，为增函数，；当时，，为减函数，；因此最小值为1，从而，即．故选：A．4．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））若关于x的不等式在区间上有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D当时，不等式可化为令，则，令可得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，又，．由此可得函数的图象如下：由已知不等式在区间上有且只有一个整数解，∴∴，即实数k的取值范围为．故选：D.5．（2022·全国·高二）已知函数，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A由，得．设，则．令，得；令，得，则在上单调递增，在上单调递减，从而，故．故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）关于x的不等式有且仅有两个整数解，则正数a的取值范围是_______．【答案】设，，有，所以函数在上单调递减，上单调递增当时，；当时，，由题可得：，据此，作出函数，图象，如图．观察图象可知：若要使不等式有且仅有两个整数解，则满足，且解得．故答案为：7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2lnx，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是________.【答案】(－∞，e2－2]由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，，当x∈[1，e]时，，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.故答案为：(－∞，e2－2]8．（2022·全国·高二）对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数在上存在1级“平移点”，则实数的最小值为___________.【答案】由在上存在1级“平移点”，则有解，即：，得：，∴在上有解，令，，则，∴在上单调递增，则，∴，即.故答案为：9．（2022·全国·高三专题练习）如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为______．【答案】由题可知，在上，．因此函数在上单调递增，易知在上单调递增，不妨设，因为，所以，即．令，则，则函数在上存在增区间，则在上有解，即在上有解，所以．令，则，令，则，又，所以单调递增，所以，所以．所以实数的取值范围为故答案为：10．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知函数．(1)求的单调区间；(2)存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，见解析(2)(1)．当时，单调递增；当时，令，得．若单调递减，若单调递增．综上，当时，函数单调递增区间为，无减区间；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为上．(2)由题设，在上，，设，则．当时恒成立，所以在上单调递增，．于是，故．11．（2022·广东实验中学附属天河学校高二期中）已知函数.(1)求函数的极值；(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；【答案】(1)极小值为，无极大值(2)(1)∵，定义域为∴设，可得或（舍），由，得；由，得，所以的单调增区间为，单调减区间为；当x变化时，，的变化情况如下表：1-0+单调递减单调递增当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.(2)在内存在x，使不等式成立等价于，由（1）知所以，即a的取值范围为12．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数.(1)若，讨论函数的单调性；(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减(2)(1)函数的定义域是.当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减.(2)至少存在一个，使得成立，即当时，有解∵当时，，∴有解，令，则.∵，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴实数a的取值范围.③双变量型1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（）A． B．[，4]C． D．【答案】B解：的导函数为，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，，可得，解得．故选：B.2．（2020·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（文））已知函数f（x）＝x2﹣3x，g（x）＝mx+1，对任意x1∈[1，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），则实数m的取值范围为（

）A．[，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．[）【答案】A由题意在区间上的值域为,当时，的值域为，所以，无解;当时,显然不成立；当时，的值域为,所以,解得,综上.故选:.3．（2021·北京二中高一期末）已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】C当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[a+2,-a+2],因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],当a≥时，-a+2≤2a,由题得.当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，故选C.4．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，.若，使得，则实数的取值范围是（

） B． C． D．【答案】B当时，，，当，时，，当，时，.令，则，，当时，，；当时，，；综上所述，；由题意，得两个函数的值域的交集非空，所以，解得.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数满足，且当时，，，对任意，存在，使得，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A当时，，此时单调递减，所以，当时，在恒成立，此时单调递增，所以，在上的值域为，，，当时，，在上的值域为，为正实数，在上为增函数，在上的值域为，依题意，，解得，故a的取值范围是.故选：A.6．（2020·上海·模拟预测）已知函数（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是_______．【答案】由题意得故答案为：7．（2022·浙江省定海第一中学高一开学考试）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调．①当a=0时,，其图象如图所示，满足题意②当a<0时,函数y=−x2+2ax的对称轴x=a<0，其图象如图所示，满足题意③当a>0时,函数y=−x2+ax的对称轴x=a>0,其图象如图所示,要使得f(x)在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a<1,或，∴0<a<1或a>2，综合得a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞).8．（2020·黑龙江绥化·高一期末）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；【答案】(1)（0，+∞）

(2)[，+∞）解：（1）因为f（x）＞0⇔2x0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．∴实数x的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．∵f（x）＝2x在[1，+∞）上单调递增，又∴A＝[，+∞）．∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4．∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，即依题意可得A∩B≠，∴b+4，即b．∴实数b的取值范围为[，+∞）④最值法1．（2022·天津河东·高二期中）已知函数，实数.(1)讨论函数在区间上的单调性和极值情况；(2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)，，．(1)，x>0，令，可得，(舍．①当时，，在上，，f(x)单调递减；在上，，f(x)单调递增；f(x)有极小值，无极大值．②当时，，在上，，f(x)单调递减，f(x)无极值．综上，当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值；当时，f(x)在上单调递减，无极值．(2)，令，，则，，，，在递减，在递增，，依题意只需