高三数学考点-三角函数模型的应用

4.5三角函数模型的应用如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助 来描述.三角函数作为描述现实世界中现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行 而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.y=lsiml是以周期的波浪形曲线.太阳高度角0、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：.自查自纠1.三角函数2.周期函数拟合3.n4.h0=htan。。基础自测钮’已知某人的血压满足函数解析式ft）=24sin160nt+110.其中知）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳的次数为（）A.60 B.70C.80 D.90解：由题意可得f=T=罕=80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.j- 匕n愆（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数歹=3、苗（务+0+跟据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）怀水深An*时间/'hA.5 B.6C.8D.10解：由图知一3+4=2,k=5,_y=3sin（6x+0+5,.Vmax=3+5=8.故选C.0’电流/（A）随时间t（s）变化的函数关系式为/=5sin（100n•t+?），则当t=^s时，电流I为（）5A.5AB.2AC.2A D.-5AA1 n.n5解：当t=200s时，电流I为5sin&+矽=2（A）.故选B.©某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[n（X—6）]（x=1，2,3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C，12月份的月平均气温最低，为18°C，则10月份的平均气温为C.皿八“*, 28+18 28—18 ~ 「兀，、一角牛：题意知，a=2=23,A=2=5,所以y=23+5cos6（X—6）,当x=10时，y=23+5cos@X4）=20.5.故填20.5.

O一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间，(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间，(s)之间关系的一个三角函数关系式为 t/s 00102030405 06 07 08 y/cm .-1 ^28 . 00 . 28 .1 40 . 28 00 . —2.8 —4.0 解：设y=^sin(^-z+^)，则从表中可以得到A=4,7=0.8,2n2n5n 但，,\所以切=5=0"8=2，所以y=4sin"2t十切，, ，o n又由4sinQ=—4.0，得sin^=—1,取眩=一2,仇，河，5n故y=4sin^yt—刃=—4cos万t.故填y=_4coS^t2触矣旁遮类型一建立三角模型如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转周，它的最低点如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).求函数h=f(t)的关系式;画出函数h=f(t)的图象.解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则h=y+0.5.2—y^ZOO1A=0，则cose=—^-，y=—2cos6+2.2n nt又0=12,t=g，nt nt.(2)列表:t036912h0.52.54.52.50.5所以y=—2cos；+2，h(2)列表:t036912h0.52.54.52.50.5n描点连线，即得函数h=—2cos^t+2.5的图象如图所示:彳如图是弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动彳如图是弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动■1-CA/m 2.50.5 O3 6 9 \2盹【点拨】本题主要考查建模能力，考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解题的关键.得9=n得9=n4一2n5 5解：设函数解析式为y=Asin(/t+v)(A>0)，则A=2,由图象知，T=2X(0.5—0.1)=§，所以3=~^=2兀，2"n n 5n,n 5n,nAX0.1+v=2，所以9=4，所以函数的解析式为y=2sin^y/+4J.故填尸2sin=Y+办类型二根据解析式建立图象模型n已知电流I=Asin伽+9)(A>0,3>0，9|<2)在一个周期内的图象如图所示.根据图中数据求I=Asin伽+9)的解析式.\180解：由图象可知，A=300，周期T=2X^180+9qqJ=75，2n , △ 、，1,\一n所以3=t=150n，又由sin"150nX18。+时=0，且|9|<2,所以I=300sin(150nt+6)【点拨】由函数y=Asin(3x+9)的图象确定A，«，9的问题时，常常以“五点法"中的五个点作为突破口，要善于抓住特殊量和特殊点.M(经典题)弹簧挂着的小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之n间的函数关系式是h=2sin(2t—4)，作［0，+8).

以t为横坐标，力为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;小球开始振动的位置在哪里？⑶小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？小球经过多长时间往复振动一次？小球1s能振动多少次？解：(1)画出h=2sin(2t—额的简图(长度为一个周期).按五个关键点列表：tn3n5n7n9n2t-40n兀3n2n2sin(2t一额020—20描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h=2sin(2t—4j(t，0)在一个周期的简图，如图所示.(2)t=0时，h=2sin(—5=—寸2，即小球开始振动时的位置为(0,—寸2)(平衡位置的下方V2cm处).3n 7n 」3兀7n⑶,二~8+An(AEN)时，h=2;t=公+切:0EN)时，h=—2.即最高点位置烦8+kn，2，最低点位置烦8+kn，—2J，kEN，最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm.(4)小球往复振动一次所需时间即周期，2nT=5=n^3.14(s).A(5)小球1s振动的次数为频率，11 1 ,/=T=n^^^0.318(次/s).类型三三角函数拟合受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度》(米)是时间t(0WtW24，单位：时)的函数，记作y=f(t).下面是该港口在某季节每天水深的数据：t（时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式;(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？解：(1)根据数据画出散点图，根据图象，可考虑用函数y=/sin(/t+^)+h刻画水深与时间之间的对应关系，则周期T=12，振幅A=3，h=10，j6$1215IS2124f，， n， ，一一、所以y=3sin6，+10(0WtW24).n.一 n一1nn一(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)，即3singt+10N11.5,sin^/>2，2kn+gWgtW2kn+*n(k£Z),0W/W24，所以12k+1WtW12k+5(kEZ).在同一天内取k=0或1，则1WtW5或13W/W17.所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时.【点拨】(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式.住尹：已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0WtW24，单位：h)的函数，记作：y=f(t),下表是某日各时的浪高数据：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos3t+b.根据以上数据，求函数y=Acos^t+b的最小正周期乙振幅A及函数表达式；依据规定，当海浪高度高于1.25m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动.2n2nnTOC\o"1-5"\h\z解：(1)由题意知T=12，所以w=15=6.JL JL」由t=0，y=1.5得A+b=1.5;由t=3，y=1.0得b=1.0，八 1n,所以A=0.5，b=1，即y=2cos6t+1，tE[0，24].(2)由题意知，当y>1.25时才可对冲浪者开放，n n1所以=。0、t+1>1.25，cost>R.6 62~ nn,,n所以2kn—3<gt<2kn+3，kEZ，即12k—2<t<12k+2，kEZ.①因为0WtW24，故可令①中k分别为0，1，2,得0Wt<2或10<t<14或22<tW24.所以有8个小时的时间可供冲浪运动.阿揭示规律是皓方堵三角函数模型的三种模式在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述.如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等.研究这些应用问题，主要有以下三种模式：给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；

给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题；搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题.三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题，其解题流程大致是：审读题目，理解题意一设角，建立三角函数模型一分析三角函数的性质一解决实际问题.其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.将图象和性质赋予实际意义在解决实际问题时，要具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的图象和性质，将图象和性质赋予实际意义.课时作业，拓展延伸课时作业，拓展延伸函数y=|sim|的最小正周期是（）n n4 B.2 C.兀D.2兀解：y=|sim|是以n为周期的波浪形曲线.故选C.电流强度/（安）随时间，（秒）变化的函数I=Asin（3，+G（A>0，3>0，0W<）的图象如图所示，^如=（）A.100n B.100C.200n D.2004 1、 12n2n解：由图知7=2(300—300)—50，3=~T=了=100n.故选A.50（2015-湖北模拟）某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈fx）=Asin（弥+9）+B（A>0，3>0，以<堂）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定fx)的解析式是()."兀，兀、，，~~fx)=2sin|jx+4J+5(1WxW12，x^N*)~、_."nfx)=7sin(4x—4j+5(1WxW12，x^N*)nfx)=7sin(4x+4j+5(1WxW12，x^N*)TOC\o"1-5"\h\zn n、fx)=2sin|jx—4J+5(1WxW12，x^N*)当x=3时，2sin傅X3+«+5=当x=3时，2sin傅X3+«+5=解：根据题意，T=2X(7—3)=8,3=〒=元，由｛ 1 得｛T4 I—A+B=3, |B=5,

7,得9=—%所以fx)=2sin(Jx—哥+5.故选D.如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心。距离水面2m,已知水轮自点Q开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系y=Asin（^x+^）+2（A>0）,则有（ ）A.C.A.C.2n3=15,A=32n3=15,A=515B.3=—,A=3

2n15D.3=—,A=52n户0I兀.n\A.尸sin户0I兀.n\A.尸sinlj?+6j,秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）(nnC.尸sin"一孙+6*x令y=sin22,则y与时间t(0WtW1,单位:AABCD8n2n一.解：因为水轮上最高点距离水面,+2=5m,即A+2=5，所以A=3.又因为水轮每秒钟旋转60=15rad，所以2兀，・解：角速度3=詈.故选A.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P（x,y）.若初始位置为见1、2，2TOC\o"1-5"\h\z（ 兀 兀）B.y=sin"一而，一刁（兀 兀）D・y=sinL矿R2nn n £\解：由题意，函数的周期为7=60，所以刃=60=拓.设函数解析式为y=sin"—孙+时"0<9<刃（秒针是顺时针走动）.因为初始位置为P0（33,9，所以t=0时，y=；.所以sin^=2，9可取^.所以函数解析式为y=sin（—30t+n）故选C.（2016•厦门模拟）如图，已知/1±/2，圆心在«上，半径为1m的圆O在t=0时与12相切于点A,圆。沿«以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x=1—（1—，）2=—，2+2，（0W，W1）.故选B.已知某种交流电电流/（A）随时间«s）的变化规律可以拟合为函数/=5寸2、"100心一额，花［0,+8）,则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为次._, 1 3100n解：因为f=T=2n=IT=50，所以0.5s内往复运动的次数为0.5X50=25.故填25.（北京海淀2017届期中）去年某地的月平均气温代C）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsinEx+9（a，b为常数）.若6月份的月平均气温约为22C,12月份的月平均气温约为4C,则该地8月份的月平均气温约为C.（兀，兀、6好6/nn当x=8时，^=13—18sin^6x8+6j=31.故填31.9.画出函数y=|cosx|的图象并观察其周期.解：函数图象如图所示.从图中可以看出，函数v=|cosx|是以n为周期的波浪形曲线.我们也可以这样进行验证：|cos（x+n）|=|—cosx|=|cosx|,（2）写出这段曲线的函数解析式.解：（1）由图可知：这段时间的最大温差为30—10=20（°C）.（2）从图可以看出：从6〜14时的图象是y=^sin（^x+^）+b的半个周期的图象，TOC\o"1-5"\h\z~T ~所以2=14—6=8，所以T=16.因为丁=音，所以刃=?•30—10 30+10又因为A= =10，b= =20，a a所以y=10sin（8x+）+20，将点（6，10）代入得sin俘+J=—1，3n 3n所以~4+^=2kn+^，kEZ，3n 3n所以9=2kn+~4,kEZ,取(p=~4,所以y=10sin&x+苧)+20,6WxW14.11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商