高考数(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座：函数的奇偶性与周期性(人教A)

2014届数学一轮知识点讲座：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1B.2C.3分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝eq\r(x)＋eq\f(1,x)；(3)f(x)＝eq\r(x－2)＋eq\r(2－x)；(4)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(5)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x)).解析(1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．C．x＝eq\f(1,2) D．x＝－eq\f(1,2)解析：选A.∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)关于直线x＝1对称．3．函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3 B．0C．－1 D．－2解析：选B.f(a)＝a3＋sina＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.4．函数f(x)＝1－eq\f(2,1＋2x)(x∈R)()A．既不是奇函数又不是偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数但不是奇函数D．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f(x)＝1－eq\f(2,1＋2x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，∴f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)．又其定义域为R，∴f(x)是奇函数．5．定义在R上的偶函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈(0,1]时单调递增，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜f(－5)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜f(－5)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜f(－5)D．f(－5)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))解析：选B.∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2为周期的函数，又f(x)是偶函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(－5)＝f(5)＝f(4＋1)＝f(1)，∵函数f(x)在(0,1]上单调递增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜f(1)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜f(－5)．二、填空题6．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.答案：－17．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(eq\r(－x)＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(eq\r(－x)＋1)＝－eq\r(－x)－1.答案：－eq\r(－x)－18．(2013·大连质检)设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－4)＝2，则f(2014)＝________.解析：由已知f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋6)＝－eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6.∴f(2014)＝f(335×6＋4)＝f(4)＝－f(－4)＝－2.答案：－2三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3x>0，,0x＝0，,－x2－2x－3x<0.))解：(1)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0.∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)①当x＝0时，－x＝0，f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．②当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)．③当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．由①②③可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．10．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．解：∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2,－2≤1－m2≤2))，解得－1≤m≤eq\r(3).①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，即－2<m<1.②综合①②可知，－1≤m<1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝eq\f(ex－e－x,2)，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C和D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B.令f(x)＝x3－x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝0,1，－1，因为0≤x＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x轴的交点个数为2.因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x＜4,4≤x＜6上也分别有两个零点，由f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，知x＝6也是函数的零点，所以函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.二、填空题3．若f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(1,2－x－1)＋a＝eq\f(－1,2x－1)－a，得：2a＝1，a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．(2013·长春质检)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为________．①f(4)＝0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于x＝1对称；④f(x)的图象关于x＝2对称．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4，②正确．∵f(x)为奇函数，∴f(4)＝f(0)＝0，即①正确．又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴③正确，又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图象不关于x＝2对称，∴④错误．答案：①②③三、解答题5．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，求f(x)的最小值．解：(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时，f(x)为偶函数．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x≤a时，f(x)＝x2－x＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋a＋eq\f(3,