结构力学龙驭球完整版课件

结构力学

StructuralMechanics第一章绪论（Introduction)结构力学基础的任务研究问题的基本思路和方法与其它课程的关系“教”与“学”的方法杆件结构计算简图本课程讨论的主要结构形式§1-1

结构力学基础的任务结构：承受并传递荷载的骨架部分分类：杆系──平面，空间板壳实体任务：确定组成规律和合理形式解决杆件结构的强度和刚度古代建筑工程结构雅典神庙巴黎凯旋门隋朝河北赵州桥世界第一拱(钢结构跨径550m)水利工程中的拱坝研究问题的基本思路和方法基本思路：计算简图─实际结构抽象为计算简图，也称力学建模 原则：基本符合实际；尽可能简单。依据：力学知识+工程结构+实践经验循序渐进──由已知知识来解决未知问题方法：计算简图并考虑平衡+变形+应力应变关系（本构方程）与其它课程的关系

先修课数学：数学分析、线性代数、常微分方程理力：平衡、运动分析、虚位移与达朗伯尔原理、动力学普遍方程材力：截面法、变形体分析基本方法、微分关系、应变能等后续课结构课：建筑结构、刚结构、高层建筑结构、结构抗震、有限元法、计算机在工程中的应用等“教”与“学”的方法“教”──讲思路、要点和难点，引导讨论并总结“学”──预习、积极参与讨论、复习和练习，应注意培养自己的多种能力；要避免龙驭球先生所说的4种盲目性§1-2

结构的计算简图选择计算简图原则1）从实际出发－－反映实际结构的主要性能2）分清主次略去细节－－简图便于计算结点：铰结点；刚结点；组合结点（主内力、次内力）支座：可动、固定铰支座；固定端；定向支座；空间时球铰作用在轴线或结点计算简图(结点）铰结点刚结点计算简图（铰支座）滑动铰支座固定铰支座计算简图（定向、固定支座）计算简图（单层工业厂房）计算简图（管道）§1-3

杆件结构的分类1、结构分类梁、拱、桁架、刚架、组合结构平面结构、空间结构静定结构、超静定结构常见结构计算简图结构按几何特征分类（续）2、荷载的分类荷载是主动外力。按作用时间分：恒载（自重）、活载（时变）。活载又可分为：可动荷载、移动荷载（位变）。根据荷载作用性质分：

静力荷载：大小、方向、位置不随时间变化或变化极为缓慢，可忽略惯性力。

动力荷载：使结构产生显著振动。

广义荷载：温度变化、支座沉陷、制造误差、材料收缩、松弛、徐变、初应力、初应变等§1－4

结构力学的学习方法杆系结构力学以先修的理论力学、材料力学为基础，为后续的弹性力学和专业课程打基础。结构力学的任务（强、刚、稳）：

1）结构组成规律；2）计算结构内力和变形；3）研究结构稳定性和动力反应。计算应满足基本条件：平衡（连续、本构关系）学习方法：注意分析方法与解题思路。

融会贯通、熟能生巧！第二章几何构造分析

§2-1基本概念§2-2自由度计算§2-3几何不变体系的组成规律§2-4几何构造分析方法与实例§2-1基本概念1.几何不变体系和几何可变体系2.运动自由度s3.约束4.多余约束和非多余约束5.瞬变体系6.瞬铰和无穷远处的瞬铰7.思考与讨论几何不变体系和几何可变体系几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。图2-1a

图2-1b一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系。运动自由度sS：体系运动时可以独立改变的坐标的数目。图2-2a

(平面内一个点有两个自由度)图2-2b

(平面内一个刚体有三个自由度)约束减少体系自由度的装置。

图2-3a

S

由3个减少到2个一个支杆相当于一个约束图2-3b

S

由6个减少到4个一个简单铰相当于两个约束图2-3c

S

由6个减少到3个一个简单刚结相当于三个约束多余约束和非多余约束

不能减少体系自由度的约束叫多余约束。能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。图2-4a

链杆1或2能减少点

A的两个自由度，因此链杆1和2都是非多余约束。

多余约束和非多余约束

图2-4b

链杆1、2和3共减少点

A的两个自由度，因此三根链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多余约束。瞬变体系

图2-5a

图2-5b分析:(1)当链杆1和2共线时，圆弧Ⅰ和Ⅱ在

A点相切(图2-5a)，因此

A点可沿公切线方向做微小运动，体系是可变体系。(2)当

A点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系不再是可变体系。(3)点A在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后，

A点仍有一个自由度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。瞬变体系图2-5a

图2-5b总结:

本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。可以发生大位移的几何可变体系称为常变体系。可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束。瞬铰和无穷远处的瞬铰

两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰。图2-6a图2-6a中，链杆1和2交于

O点，刚片I可以发生以

O为中心的微小转动。

瞬铰和无穷远处的瞬铰图2-6b图2-6c图2-6b和图2-6c中，链杆1和2的交点在无穷远处，因此两根链杆所起作用的相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。在图2-6a、b、c各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。

瞬铰和无穷远处的瞬铰图2-6b图2-6c在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论：(1)每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。(2)不同方向上有不同的∞点。(3)各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。(4)各有限远点都不在∞线上。思考与讨论

1.有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。材料力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概念加以比较。2.“多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？(a)从对体系的自由度是否有影响的角度看；(b)从对体系的计算自由度是否有影响的角度来看；(c)从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；(d)从区分静定和超静定两类问题的角度来看。§2-2自由度计算1.实际自由度s和计算自由度w2.部件和约束3.平面体系计算自由度w的求法（1）4.平面体系计算自由度w的求法（2）5.思考和讨论实际自由度s和计算自由度wS=（各部件自由度总和

a）－（非多余约束数总和

c

）W=（各部件自由度总和

a）－（全部约束数总和

d）

S－W=(全部约束数总和

d)－(非多余约束数总和

c)=多余约束数

n

图3-1

S=1×2－2=0，

非多余约束数c=2，

多余约束数

n=2，

但是复杂情况难以找全多余约束。

实际自由度s和计算自由度w由S－W=(全部约束数总和

d)－(非多余约束数总和

c)=多余约束数

n

，得n=S－W

S≥W，即

W是自由度

S的下限；n≥－W，即－W是多余约束数

n的下限。部件和约束1.部件可以是点，也可以是刚片

在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束，在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。

图3-2a

n=0

图3-2b一根链杆

n=1部件和约束图3-2c

一个铰n=2

图3-2d

一个刚结n=3

部件和约束2.约束可分为单约束和复约束

在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。一般说来，联结

n个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。图3-3a

m=2,h=1S=3×2-2×1=4图3-3b

(图中复铰相当两个单铰)m=3,h=2S=3×3-2×2=5

部件和约束

图3-4a

m=2,g=1S=3×2-3×1=3

图3-4b

(图中复刚结相当两个单刚结)m=3,g=2S=3×3-2×3=3部件和约束一般说来，联结

n个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。

图3-5a

j=2,b=1S=2×2-1=3图3-5b(图中复链杆相当三个单链杆)j=3,b=3S=2×3-3=3

平面体系的计算自由度W

的求法(1)1.刚片系部件(约束对象)数：刚片数

m；约束数：单铰数

h，简单刚结数

g，链杆数

b。W=3m-2h-3g-b

例1.

求如下图示刚片系的计算自由度

图3-6a

m=7，h=4，g=2，b=6W=3×7-2×4-3×2-6=1>0

平面体系的计算自由度W

的求法(1)例1.

求如下图示刚片系的计算自由度图3-6b

m=5，h=4，b=6W=3×5-2×4-6=1>0

平面体系的计算自由度W

的求法(1)2.链杆系约束对象：结点数

j；约束数：链杆(含支杆)数

b。W=2j-b

例2.

求如下图示链杆系的计算自由度

图3-7

j=5，b=10

W=2×5-10=0

S=0

n=0平面体系的计算自由度W

的求法(2)3.混合系约束对象：刚片数

m，结点数

j约束条件：单铰数

h，简单刚结数

g，单链杆(含支杆)数

b

W=(3m+2j)-(3g+2h+b)m=2，h=1，g=0，j=2，b=8

W=(3×2+2×2)-(3×0+2×1+8)=0

S=0

n=0

图3-8

平面体系的计算自由度W

的求法(2)W的结果分析：W>0则

S>0

几何可变；W=0则

S=n

若

n=0

几何不变；W=0则

S=n

若

n>0

几何可变；W<0则

n>0

体系有多余约束,但不一定几何不变。结论：W≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。思考与讨论

如果已经算出体系的计算自由度W，而未进行几何构造分析，则对体系的自由度S和多余约束数

n能得出什么结论？如果再进一步已知体系为几何不变，则对n

能得出什么结论？§2-3几何不变体系的组成规律

1.二元体法则2.两刚片法则3.三刚片法则二元体法则一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图4-1

图4-1分析：

约束对象：结点

C与刚片I

约束条件：不共线的两链杆；

结论：几何不变且无多余约束图4-2

图4-2分析：

两链杆共线，

C点可垂直于AB做微小移动；

结论：瞬变体系。两刚片法则

1.两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。

图4-3

图4-4瞬变体系

图4-5瞬变体系(之二)

C可垂直于

BC做微小运动

(等效于图4-4)

两刚片法则2.两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束

图4-6

两刚片法则特殊情况：

三链杆共点

三链杆平行等长

三链杆平行不等长

图4-7瞬变体系图4-8常变体系图4-9瞬变体系三刚片法则

三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图4-10

图4-11三铰共线瞬变体系上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束§2-4构造分析方法与例题

基本分析方法(1)基本分析方法(2)约束等效代换考虑体系与地基关系的方法复杂体系(1)复杂体系(2)复杂体系(3)基本分析方法(1)一.先找第一个不变单元，逐步组装

1.先从地基开始逐步组装

例1

图5-1a，图5-1b图5-1a

图5-1b

基本分析方法(1)

2.先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装

例2

图5-2a，图5-2b图5-2a

图5-2b

基本分析方法(2)

二.去除二元体

例3

图5-3a，图5-3b图5-3a

图5-3b

约束等效代换

1.曲(折)链杆等效为直链杆2.联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰例3

图5-4a分析:

1.折链杆

AC与

DB用直杆2、3代替；

2.刚片

ECD通过支杆1与地基相连。

结论：若杆1、2、3交于一点，则

整个体系几何瞬变有多余约束；

若杆1、2、3不交于一点，则

整个体系几何不变无多余约束。

约束等效代换例4

图5-4b分析:

1.刚片Ⅰ、Ⅱ、地基Ⅲ由铰

A与瞬铰

B、C相连。

2.A、B、C不共线。

结论：整个体系几何不变无多余约束。

考虑体系与地基关系的方法

1.体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。

图5-5a

考虑体系与地基关系的方法2.体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。

图5-5b

复杂体系(1)

1.通常要运用瞬铰并使对象拉开距离

图5-6

例5

分析：

1.体系W=0。

2.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由1、2杆连于瞬铰

A。

4.刚片Ⅱ、Ⅲ由3、4杆连于瞬铰

B。

5.刚片Ⅰ、Ⅱ由5、6杆连于铰

C。

结论：体系几何不变,无多余约束。复杂体系(1)“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。

图5-6b

图5-6c实铰

A、CⅠ、Ⅱ及Ⅰ、Ⅲ均未拉开距离实铰

A、CⅠ、Ⅲ未拉开距离复杂体系(1)图5-7

例6

分析：

1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连；

2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连；

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C,无穷远)相连。

结论:A、B、C三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。

复杂体系(2)

2.三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变，反之几何可变。

图5-7a

图5-7b

复杂体系(2)图5-8

例7

分析：

1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰B)相连

。

2.刚片Ⅱ、Ⅲ由铰A相连。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰C)相连。

4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。

结论:几何不变无多余约束。复杂体系(2)图5-9

例8分析：

1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连。

2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C)相连。

4.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成大刚片，再与地基相连。

结论:几何不变无多余约束。

复杂体系(3)

3.三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处，若此两瞬铰在不同方向，则几何不变。

图5-10几何不变

复杂体系(3)4.三刚片由三瞬铰两两相连，若三瞬铰均在无穷远处,则体系几何可变

图5-11a几何可变(瞬变)例9

无穷远处所有点均在一无穷远直线上

曲率

k=1/R

R—>∞

k—>0直线

复杂体系(3)图5-11b几何可变(常变)图5-11c几何可变(瞬变)第三章静定结构的受力分析

§3-1梁的内力计算回顾§3-2多跨静定梁§3-3静定平面刚架§3-4静定平面桁架§3-5组合结构§3-1梁的内力计算回顾内力的概念和表示内力的计算方法内力图与荷载的关系分段叠加法画弯矩图内力的概念和表示

在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力FN

、剪力FQ和弯矩M(图3-1)。轴力----截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。弯矩----截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正作图时，轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号

内力的计算方法

梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用以下六个字描述：1.

截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。2.

代替----用相应内力代替该截面的应力之和。3.

平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。内力的计算方法利用截面法可得出以下结论：1.

轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和；2.

剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；3.

弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。内力图与荷载的关系

1.

弯矩、剪力与荷载的微分关系

对于分布荷载

q

，则分布区域内的剪力

FQ

对长度的一阶导数为

q

，弯矩对长度的一阶导数等于剪力。2.

内力图与荷载的关系

无荷载的区段弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线。有均布荷载的区段，弯矩图为曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一直线。在集中力作用处，剪力在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力的大小，弯矩图则出现尖角。在集中力偶作用处，弯矩在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力偶矩的大小，剪力不发生变化。分段叠加法画弯矩图

1.叠加原理

几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。

=

+

分段叠加法画弯矩图=+

分段叠加法画弯矩图上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。

2.分段叠加原理

例：下图为一简支梁，AB

段的弯矩可以用叠加法进行计算。（1）（2）（3）（4）§3-2多跨静定梁

多跨静定梁的受力特点多跨静定梁的实例分析多跨静定梁的受力特点1.多跨静定连续梁的实例

现实生活中，一些梁是由几根短梁用榫接相连而成，在力学中可以将榫接简化成铰约束,这样由几个单跨梁组成的几何不变体，称作为多跨静定连续梁。下图为简化的多跨静定连续梁。

多跨静定梁的受力特点2.多跨静定连续梁的受力特点和结构特点

结构特点：图中

AB

依靠自身就能保持其几何不变性的部分称为基本部分，如图中AB

；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中CD。

多跨静定梁的受力特点受力特点：作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此，多跨静定梁的解题顺序为先附属部分后基本部分。为了更好地分析梁的受力，往往先画出能够表示多跨静定梁各个部分相互依赖关系的层次图（b）。因此,计算多跨静定梁时,应遵守以下原则:先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。多跨静定梁的实例分析

画出下图所示多跨梁的的弯矩图和剪力。多跨静定梁的实例分析(1)结构分析和绘层次图

此梁的组成顺序为先固定梁

AB

,再固定梁

BD

,最后固定梁

DE

。由此得到层次图。

多跨静定梁的实例分析(2)计算各单跨梁的支座反力

计算是根据层次图，将梁拆成单跨梁（c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨亮的支反力。

多跨静定梁的实例分析(3)画弯矩图和剪力图

根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图。剪力图

弯矩图

§3-3静定平面刚架

刚架的特点和分类刚架的支座反力刚架内力图刚架内力图实例分析刚架的特点和分类

刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。下图所示为一平面刚架

当B、C处为铰结点时为几何可变体，要是结构为几何不变体，则需增加杆AC或把B、C变为刚结点。

刚架的特点和分类刚架的特点:1.

杆件少，内部空间大，便于利用。2.

刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。3.

刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。4.

刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。刚架的特点和分类刚架在工程中得到广泛的应用，静定平面刚架的类型有：

1.

悬臂刚架：常用于火车站站台（图（1））、雨棚等。2.

简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图（2））；3.

三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图（3））。（1）（2）（3）刚架的支座反力

刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。

以下以三铰刚架来分析刚架支座反力的求法。三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。三铰刚架一般由两部分组成(如图所示),整体共有四个约束反力:FxA、FyA、FxB

、FyB。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零，就可以全部求解。刚架的支座反力

1.

利用两个整体平衡方程求FYA、FYB

刚架的支座反力2.

利用铰C处弯矩等于零的平衡方程求FxA取左半部分：3.

利用整体的第三个平衡方程求FxB

刚架内力图

1.

刚架的内力计算

刚架中的杆件多为粱式杆，杆截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与粱完全相同。只需将刚架的每一根杆看作是粱，逐杆用截面法计算控制截面的内力。

计算时应注意：(1)内力的正负号(2)结点处有不同的杆端截面(3)正确选取隔离体(4)结点处平衡刚架内力图2.

刚架中杆端内力的表示

由于刚架的内力的正负号与粱基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端。如：MAB

表示

AB

杆

A

端截面的弯矩,MBA

则表示AB杆端

B截面的弯矩。3.

刚架内力图的画法

弯矩图：画在杆件的受拉一侧，不注正、负号。剪力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。轴力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。剪力的正负号规定：剪力使所在杆件产生顺时针转向为正，反之为负。轴力的正负号规定：拉力为正、压力为负刚架内力图实例分析

例：作出下图所示简支刚架的内力图。

(1)求支反力以整体为脱离体ΣMA=0

FyB=75kN(向上)ΣMB=0

FyA=45kN(向上)

ΣFX=0

FxA=10kN(向左)

刚架内力图实例分析弯矩图(2)作弯矩图逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律和叠加法作弯矩图。AC杆：MAC=0

MCA=40kN•m（右侧受拉）AC杆上无荷载，弯矩图为直线。CD杆：MDC=0

MCD=20kN•m（左侧受拉）CD杆上无荷载，弯矩图为直线。CE杆：MCE=60kN•m（下侧受拉）

MEC=0kN•mCE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线。利用叠加法求出中点截面弯矩MCE中=30+60=90kN•m刚架内力图实例分析剪力图

(3)作剪力图利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。QCD=10kN

QCA=10kN

QCE=45kN

QEC=-75kN

QEB=0kN

剪力图一般为直线,求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC杆上无荷载，剪力为常数。CE杆上有均布荷载，剪力图为斜线。刚架内力图实例分析轴力图

(4)作轴力图利用平衡条件，求各杆端轴力。NCA=NAC=-45kN

NEB=NBE=-75kN各杆上均无切向荷载，轴力均为常数。刚架内力图实例分析(5)校核

结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件：ΣMC=60-20-40=0ΣFX=10-10=0ΣFy=45-45=0同理，结点E处也满足平衡方程。§3-4静定平面桁架

静定平面桁架的特点结点法（1）结点法（2）结点法（3）结点法（4）截面法（1）截面法（2）联合法静定平面桁架的特点

1.

静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；(3)荷载和支座反力都作用在结点上。2.

桁架的受力特点桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。静定平面桁架的特点3.

桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图1、2）联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不变体。（图3）复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图4）图1图2图3图4结点法(1)结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。

结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。常见的以下几种情况可使计算简化：1.不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零，F1=F2=0。结点法(1)2.由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时，则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同,F1=F2，F3=0

3.由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同，在无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反，F3=-F4

。结点法(1)4.由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线，在无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同，F1=F2，F3=F4

。结点法(2)

利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。由于静定桁架的自由度为零，即W=2j-b=0于是：b=2j。因此，利用j个结点的2j个独立的平衡方程，便可求出全部b个杆件或支杆的未知力。

在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力

F分解为水平分力

Fx

和竖向分力Fy

。此三个力与杆长l及其水平投影lx和竖向投影ly

存在以下关系：结点法(3)

实例分析分析时,各个杆件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。例：求出下图所示桁架所有杆件的轴力。

结点法(3)解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称的，故计算半个桁架的内力即可。

（1）计算支座反力V1=V8=10KN(2)计算各杆内力

由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依次进行。结点法(3)结点1如图所示，列平衡方程：

由比例关系可得：

结点法(3)结点2，列平衡方程：

结点法(3)结点3，列平衡方程：

再利用比例关系，可求：

（为什么、可考虑结点4）

结点法(3)校核：利用结点4

讨论：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零？最终只求几根杆即可？结点法(4)

结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆外,其余杆件均共线。

单杆结点主要有以下两种情况：1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。性质及应用：1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。2、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。（内力为零）3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。截面法(1)

截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。例题分析：求出图示杆件1、2、3的内力。截面法(1)1.求支反力：

由于对称性，FRA

=FRB

=30kN

2.将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替，列平衡方程：

截面法(1)3.校核：

计算结果无误!问题：如果用左半部分如何计算？

截面法(2)

截面单杆的概念:如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件外,其余各杆都汇交于一点(或平行),此杆称为该截面的单杆.

截面单杆在解决复杂桁架时,往往是解题的关键,要学会分析截面单杆。

截面单杆主要在以下情况中:1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是截面单杆。2、截面所截杆数大于3，除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平行），则这根杆为截面单杆。性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。（平衡方程的选取：坐标轴与未知力平行、矩心选在未知力的交点处。）截面法(2)以下几种情况中就是几种截面单杆的例子

联合法

在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。

如图所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解，其余各个结点均包含有三个未知杆件，不能利用结点法进行求解，但是，m-m截开后，由三根截面单杆，可利用截面法直接求解，当求出这三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。

§3-5组合结构

1.组合结构:由链杆(只受轴力)和粱式杆(受轴力外,还受弯矩作用)组成的结构。

以上两个结构均是组合结构,它们在结点荷载作用下,由二力杆、粱式杆组成。

问题：哪些是粱式杆？哪些是二力杆？

应用截面法时，要区别杆件是粱式杆还是链杆，因为二者的内力不同，粱式杆的内力有：轴力、剪力、弯矩。学习此部分时应注意几何组成分析和结构特点，充分利用平衡方程的可解条件。§3-5组合结构2.下图所示一组合结构，根据分析画出内力图。

1.支反力可直接计算（如图）分析：

§3-5组合结构分析：

2.由于AE、CE、BG、CG

不是链杆，A、B点是不可直接计算。为了求解，根据对称性，取半结构，以

C

为矩心可直接求出

DF杆内力。依次求各杆内力，计算方法与以前所讲相同。§3-5组合结构弯矩图剪力图轴力图第四章静定结构总论

§4-1隔离体方法及其截取顺序的优选§4-2几何构造分析与受力分析之间的对偶关系§4-3刚体体系的虚功原理§4-4静定结构的一般性质§4-5各种结构形式的受力特点§4-1隔离体方法及其截取顺序的优选一.

隔离体的形式、约束力及其平衡方程

静定结构的内力分析的关键是选取适当的隔离体，利用静定平衡方程进行求解。

1.

隔离体的形式

隔离体的形式有：结点（铰结点、刚结点、组合结点）、杆件、刚片、杆件微单元。桁架的隔离体：一个结点、多个结点。刚架的隔离体：杆件、刚结点、铰结点。2.

约束力的类型

截断链杆

----->

一个轴力截断简单铰结

----->

两个约束反力截断刚结点

----->

三个约束反力§4-1隔离体方法及其截取顺序的优选3.

平面可解条件(1)

独立方程的个数等于隔离体的自由度的个数。(2)

n

个未知力，但有

n

-1个未知力汇交于一点或者平行，可求出第

n

个力。此两条是优先选择隔离体的关键，应当正确理解和掌握。二.

计算的简化和隔离体的截取顺序

1.

直接能够利用方程求解。2.

选择合理的矩心和坐标轴，避免联合求解，矩心选在未知力的交点处，作标轴与未知力平行或垂直。3.

简化杆件的受力，合理的判断出二力杆、零杆。4.

利用对称结构的计算。5.

通过几何组成分析，正确理解结构的组成规律，选择合理的解题顺序，解题顺序与组成顺序相反。§4-2几何构造分析与受力分析之间的对偶关系

从计算自由度

W

得力学含义和几何含义看对偶关系:

计算自由度

W

=

各部件的自由度总数

-

全部约束数由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系：计算自由度

W

=

各部件的平衡方程数

-

未知力总数（重点理解）因此，可得到一下结论：(1)

W

>

0，结构为几何可变体系.(2)

W

<

0，结构为超静定，平衡方程组有解，则解为无穷多个。(3)

W

=

0，平衡方程数等于未知力个数平衡方程的解有方程组的系数行列式

D

决定：

D

<>

0

，方程有唯一的解，结构为几何不变体，且无多余的约束。

D

=

0

，方程在一般荷载下无解，在特殊情况下有无穷多个解，结构为瞬变体系。§4-3刚体体系的虚功原理

虚功原理

虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下：设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。本节是利用假设的位移进行求解未知力。特点:1.

位移是假设的；2.

解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系；3.

采用几何几何的方法求解静力平衡问题。§4-3刚体体系的虚功原理下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理：

右图是一几何可变体系，已知力

P

，为了平衡是求力

F

的大小。虚设一位移状态，位移的假设应与荷载相一致。根据虚功原理,可以通过以下计算求出力

F

:§4-4静定结构的一般性质

一.

温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力。由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起结构形状的改变，因此不引起内力。

二.

静定结构的局部平衡特性

在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。§4-4静定结构的一般性质三.

静定结构的荷载等效性

当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。

四.

静定结构的构造变换特性

当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。

§4-5各种结构形式的受力特点

考虑结构的受力特点，应主要从结构的轴力和弯矩进行分析，在无弯矩的情况下，轴力在截面上时均匀分布，能够充分利用材料的强度；而弯矩产生的应力在截面上为三角形分布，没有充分利用材料的强度，因此，在结构的受力特点分析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值。

经过计算，在相同跨度和相同荷载下，简支粱的弯矩最大，伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之，而桁架结构的弯矩为零，基于此在工程中简支粱多用于小跨度结构；伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于较大跨度的结构；而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。

在实际工程中，除考虑受力特点之外，还应考虑结构的施工、几何特点、构造本身，如：简支粱结构简单，施工方便，桁架结构便于进行安装，但杆件较多，结点构造比较复杂。

第五章影响线

§5-1移动载荷和影响线的概念§5-2静力法作简支粱的影响线§5-3结点荷载作用下粱的影响线§5-4静力法作桁架的影响线§5-5机动法作影响线§5-6影响线的应用§5-1移动载荷和影响线的概念

一.移动荷载

结构所承受的荷载作用点在结构上是移动的。桥梁上承受火车、汽车和走动的人群等荷载；厂房中的吊车粱承受的吊车荷载等都是移动荷载。二.影响线的概念

工程中的移动荷载是多种多样的，不可能针对每一个结构在各种移动荷载作用下产生的效果进行一一的分析，研究移动荷载对结构各种力学物理量的变化规律。一般只需研究具有典型意义的一个竖向单位集中荷载FP=1沿结构移动时，某一量值（内力、支反力等）的变化规律，再利用叠加原理，求出移动荷载对结构某一量值的影响。

影响线：单位移动荷载作用下，结构上某一量值Z的变化规律的图形称为该量值

Z

的影响线。§5-2静力法作简支粱的影响线

支座反力的影响线剪力影响线弯矩影响线支座反力的影响线

现先研究如何确定右图所示简支粱支座反力的影响线。以粱的支座

A

为原点，以荷载的作用点到

A

的距离为变量。由图可知，当荷载由一端

A

移到另一端B时，变量由

0

变到

l

。由平衡方程求支反力的大小：

FRA

与FP正比，比例系数

(l-x)/l

称为

FRA的影响系数，用

表示，即：

利用函数关系画出支座

A

的支反力的影响线。剪力影响线

由于移动荷载有可能在截面的左侧，也可能在截面的右侧，因此，应对以上两种情况分别进行考虑。

1.移动荷载在截面的左侧

2.移动荷载在截面的右侧

特点：影响线由两段平行线组成，在截面C处产生突变，平行线的端点应注意虚线部分。弯矩影响线

分析方法与剪力影响线的方法相同，主要考虑移动荷载的位置。

1.移动荷载在截面的左侧

2.移动荷载在截面的右侧

特点：影响线由两段组成，形成一个三角形，在截面处形成一个极大值，说明移动荷载移动到截面C时，

C

截面的弯矩最大。

§5-3结点荷载作用下粱的影响线下图所示为一桥梁结构承载示意图,荷载直接作用在纵粱上,不论纵粱受何种荷载,而主粱只在结点出承受集中力,因此,主粱承受的是结点荷载。

1.

支反力和结点处弯矩的影响线与简支粱相同（为什么？）2.

主要考虑D截面弯矩的影响线的画法。§5-3结点荷载作用下粱的影响线(1)

假设移动单位荷载直接作用在主粱

AB

上，则

MD的影响线为一三角形,顶点坐标为:

(2)

按比例计算出

C、E两点的竖距：

(3)

将

C、D两点的竖距连一直线，即得到结点荷载作用下的

MD

影响线

§5-3结点荷载作用下粱的影响线结论：1.

在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为直线。2.

先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影响线。利用本结论可做出

CE

之间任何截面的剪力影响线，请自己练习。§5-4静力法作桁架的影响线

本节主要是利用截面法和结点法，在充分利用平衡条件的基础上，结合实际例子来分析桁架的影响线。下图为一桁架结构，下面主要分析上弦杆、下弦杆的影响线。

1.上弦杆bc的轴力影响线

§5-4静力法作桁架的影响线影响线画法的关键是利用荷载的移动选取不同的截面，欲求bc杆的轴力，作截面m-m，以C点为矩心，列平衡方程即求得。

如单位荷载在C的右侧，取截面m-m的左侧为隔离体，得

如单位荷载在C的左侧，取截面m-m的右侧为隔离体，得

利用支反力的影响线为直线的性质，得到bc杆轴力的影响线，其特点是一三角形§5-4静力法作桁架的影响线2.下弦杆CD轴力的影响线

利用截面m-m右侧隔离体水平方向的平衡条件即可得到下弦杆CD轴力的影响线。

结论分析：上弦杆、下弦杆轴力的影响线均为三角形状，顶点的竖标可表示为：§5-5机动法作影响线

机动法作影响线的概念和步骤机动法作简支梁的影响线机动法作多跨粱的影响线机动法作影响线的概念和步骤1.虚功原理与机动法

欲求图5-6（a）所示简支粱支座

B反力Z的影响线。将与Z

相应的约束---支杆

B去掉，用未知量Z代替，使结构成几何可变体，再使结构产生虚位移，粱绕A点转动，

B点的位移为δZ

。列虚功方程：于是：

机动法作影响线的概念和步骤1.虚功原理与机动法

当

Fp

=1移动时，位移δP

随之变化，应为荷载位置

x的函数。δZ为常量。

则式可表示为：

表示

Z的影响线函数；

表示荷载作用点的竖向位移。

δP(x)由此，可得

Z的影响线与荷载作用点的竖向位移成正比，即位移图δp

就是影响线的轮廓。当

δZ

=

1

时，就得到在形状和数值上完全确定的影响线。

机动法作影响线的概念和步骤2.正负号规定当

δZ

为正时，Z

与δp

的正负号正好相反，以δp向下为正。因此，位移图在横坐标轴的上方，影响系数为正。3.机动法作影响线的步骤1.

撤去约束，用未知量

Z代替。2.

使体系沿Z的正方向发生位移，得出荷载作用点的竖向位移图，由此可得出影响线的轮廓。3.

令δZ

=1，进一步可得影响线的数值。4.

横坐标以上的图形影响系数为正，反之为负机动法作简支梁的影响线例1.利用机动法做右图所示简支粱弯矩和剪力的影响线。（1）C

截面弯矩Mc的影响线

撤去与弯矩相对应的约束----将C截面改为铰结,代以一对等值反向力偶Mc。给体系一虚位移，注意这里的位移是铰C两侧截面的相对转角。利用几何关系可知：BB1=bδZ

C截面的竖向位移为：

这样得到的位移图就是

C截面弯矩的影响线的轮廓。为了求得影响系数的数值，将位移图中的数值除以δZ，即得到图示的影响线。机动法作简支梁的影响线（2）C截面剪力影响线

撤去截面

C处相应与剪力的约束，代以剪力

FQC

，得如图所示的机构。发生虚位移，在C截面处产生相对竖向位移δZ，注意不发生相对转角和水平位移。令δZ=1，由几何关系求得影响线的数值。机动法作多跨粱的影响线例2.

用机动法画出图5-8(a)所示多跨粱截面C弯矩及支反力B的影响线。

(1).截面C处弯矩影响线将截面C加铰，发生虚位移，于是可得影响线。(2).支座B反力的影响线将支座

B去掉，发生虚位移，于是可得影响线。结论：从影响线中可以看出，在多跨静定粱中，基本部分的内力影响线是布满全粱的，而附属部分内力的影响线则只在附属部分不为零。§5-6影响线的应用求各种荷载作用下荷载的影响求荷载的最不利位置临界位置的判断求各种荷载作用下荷载的影响

影响线是单位移动荷载对某一量值的影响，利用叠加原理，可求其他荷载作用下产生的影响。

(1)对于一组集中荷载

如图所示一简支粱作用一组荷载，FP1，FP2，FP3,简支粱某一截面C弯矩的影响线如图所示，影响线在荷载作用点的竖距分别是y1、y2、y3

。利用叠加原理，可求出这组荷载作用下C截面的弯矩为：

求各种荷载作用下荷载的影响(1)对于一组集中荷载

一般来讲，设有一组集中荷载

FP1，FP2

，···，FPn

加于结构，而结构某量Z的影响线在各荷载作用处的竖距为y1，y2，···，yn，则求各种荷载作用下荷载的影响(2)对于分布荷载

如图所示，对于均布荷载，可利用下式进行计算：

A0

是影响线的图形在受载段AB的面积，在这里应注意面积的正负号。

求荷载的最不利位置

在结构设计中需要求出某一量值的最大值或最小值作为设计的依据，为此就必须确定使其发生最大值的荷载最不利位置。

原则：

数量大、排列密集的荷载放在影响竖距较大的部位。

几种简单的情况----请认真思考。(1)单个集中荷载，则最不利位置是集中荷载作用在影响线的竖距最大处。(2)如果移动荷载是均布荷载，且可以是任意分布长度，则最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正值)，或在负号部分布满荷载(求其最大负号值)。(3)如果移动荷载是一组集中荷载，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。临界位置的判断

对于移动荷载是一组集中荷载，要确定某量值Z的最不利荷载位置，通常分以下三个步骤：(1)求出某量值Z达到极值的荷载位置。这种位置称为荷载的临界位置。(2)从荷载的临界位置中选取荷载的最不利位置。(3)利用叠加原理求出最不利荷载位置时该量值的大小。如图，一组间距不变的移动荷载，要使量值

Z的值达到极值，则必有一荷载作用在影响线顶点。是否任意荷载作用在顶点都可以使

Z

达到极值？则需要进一步的判定。

临界位置的判断当荷载作用在顶点时，量值达到极值，则此荷载称为临界荷载，以下是判定荷载

Fpk

是临界荷载所满足的条件：

上式中FP左是

FPk

左边位于影响线范围各力的合力，FP右是

FPK右边位于影响线范围各力的合力。结论：临界位置的特点是有一集中荷载位于影响线的顶点，将此荷载计入哪一侧（左侧或右侧），则哪一侧荷载的平均集度就大。第六章结构的位移计算

§6-1应用虚力原理求刚体体系的位移§6-2变形体的虚功原理§6-3结构位移计算的一般公式§6-4荷载作用下的位移计算§6-5图乘法§6-6温度改变时的位移计算§6-7互等定理§6-1应用虚力原理求刚体体系的位移结构位移计算概述虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理结构位移计算概述位移的概念：

结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。

结构的位移通常有两种：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。

结构位移计算概述结构位移计算的目的：

(1)验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。(2)为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。产生位移的原因：

(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座的沉降和制造误差。虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理

虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。

例.如图所示的静定粱，支座C向上移动了一个已知距离c1,现在求B处的位移Δ。

利用虚功原理可得：

结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。

§6-2变形体的虚功原理

变形体的虚功原理变形体虚功原理的表达式变形体的虚功原理

1、虚功原理是力学中的一个基本原理，它有两个基本形式：

虚力原理、虚位移原理变形体的虚功原理可表述为：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内力虚功

Wi

。可简单写成：外力功W=内力功Wi

2、变形体虚功原理的应用条件

（1）力系应当满足平衡条件----力系是平衡的；

（2）位移应当符合支承情况并保持结构的连续性-----变形符合约束条件，且是微小连续的。

虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。变形体虚功原理的表达式

如果力系是给定的，位移是虚设的，则上式为变形体的虚位移方程，可用于求力系中的某未知力。如果位移是给定的，力系是虚设的，则上式为变形体的虚力方程，可用于求给定变形状态中某未知位移。§6-3结构位移计算的一般公式

单位荷载法位移计算的一般步骤广义位移和虚设状态单位荷载法根据虚力原理的基本表达式：

为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载

P

。这样上式就变成：

进一步令P=1，便有：

位移计算的一般步骤

求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：

(1)虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。(2)在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。(3)利用公式：可求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。

广义位移和虚设状态

实际结构荷载

求A点的水平方向线位移，在A

点沿水平方向加一单位集中力本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载：

广义位移和虚设状态

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力

求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力求B点的角位移,应在B点加一单位力偶

求A、B两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B两点沿连线方向加一对反向单位集中力广义位移和虚设状态

求B点的竖直方向线位移，在B点沿竖直方向加一单位集中力

求A、B两截面的相对转角，在A、B

两截面加一对反向单位力偶§6-4荷载作用下的位移计算

各种结构位移计算公式梁的位移计算实例桁架的位移计算实例各种结构位移计算公式根据虚功原理和单位荷载法，对于位移计算可以得出以下结论：

利用材料力学中内力与应变的关系：

各种结构位移计算公式将上两个结论：进行统一，可得出荷载作用下弹性位移的一般公式

内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定两者的乘积的正负