2015届高考数学文科一轮总复习资源4篇三角函数解三角形

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切知识梳理tan(α±β)＝

tan

α±tan

β1∓tan

αtan

β.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝

sin

αcos

β±cos

αsin

β

.cos(α∓β)＝

cos

αcos

β±sin

αsin

β

.1－tan2α.tan

2α＝

2tan

α

.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝

2sin

αcos

α

.cos

2α＝cos2α－sin2α＝

2cos2α－1＝

1－2sin2α3．有关公式的逆用、变形等

2

(2)cos2α＝1＋cos

2α，sin2α＝21－cos

2α.

(3)1＋sin

2α＝(sin

α＋cos

α)2，1－sin

2α＝(sin

α－cos

α)2，sin

α±cos

α＝

α±π2sin

4.(1)tan

α±tan

β＝

tan(α±β)(1 tan

αtan

β)

．4．函数

f(α)＝asin

α＋bcos

α(a，b

为常数)，可以化为

f(α)＝

a2＋b2asin(α＋φ)，其中tan

φ＝b.辨析感悟1．对两角和与差的三角函数公式的理解(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β

是任意的．(√)(2)存在实数

α，β，使等式

cos(α＋β)＝cos

α＋cos

β.

(√)(3)(教材练习改编)cos

80°cos

20°－sin

80°sin

20°＝cos(80°－20°)＝cos

60°＝1.

(×)21－tan

θ(4)(教材习题改编)1＋tan

θ

π

＝tan4＋θ.

(×)(5)(2014·湘潭月考改编)设tan

α，tan

β

是方程x2－3x＋2＝0

的两根，则

tan(α＋β)＝－3.

(√)2．对二倍角公式的理解2(6)cos

θ＝2cos2θ－1＝1－2θ2sin

2.(√)

3(7)(2013·江西卷改编)若

sin

α

，则2＝

3cos

α＝－31.(×)(8)y＝sin

2xcos2x

的最大值为1.(×)2(9)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)已知sin

2α＝3，

2

π1则cos

α＋4＝6.(√)[感悟·提升]一个防范

运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用．考点一

三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)(2012·重庆卷改编)sin

47°－sin

17°cos

30°cos

17°＝

.(2)cos2α－sin2α2tan4－αcos2π

π4－α＝

.解析

(1)sin

47°－sin

17°cos

30°

cos

17°＝＝sin(30°＋17°)－sin

17°cos

30°

cos

17°sin

30°cos

17°＋cos

30°sin

17°－sin

17°cos

30°

cos

17°cos

17°＝sin

30°cos

17°

1＝sin

30°＝2.(2)原式＝cos2α－sin2απ

2sin

－α

πcos4－α2

4

π

·cos

4－α＝cos2α－sin2α

π

π

2sin4－αcos4－α＝cos

2α

πsin2－2αcos

2α＝cos

2α＝1.答案

(1)12(2)1规律方法

(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．【训练

1】

(1)化简：[2sin

50°＋sin

10°(1＋

3tan

10°)]·

2sin280°＝(2)化简：

.θθ(1＋sin

θ＋cos

θ)sin

2－cos

22＋2cos

θ(0<θ<π)＝

；解析(1)原式＝2sin

50°＋sin

10°·cos

10°cos

10°＋

3sin

10°·2sin

80°＝2sin

50°＋2sin

10°·21cos

10°＋

3sin

10°2cos

10°·2cos

10°＝22[sin

50°·cos10°＋sin

10°·cos(60°－10°)]＝2

2sin(50°＋10°)＝2

2×23＝6.(2)原式＝22θθ

θ

θθ2sin

2cos

2＋2cos

sin

2－cos

24cos2θ2θ2θcos

sin

2－cos2θ

2

2＝cos

θ＝－θ

2

cos

·cos

θ

cos

θ2

2.θ

π

θ因为

0<θ<π，所以

0<2<2，所以

cos

2>0，所以原式＝－cos

θ.答案

(1)

6 (2)－cos

θ考点二

三角函数的给角求值与给值求角问题

βα

π

1

2【例2】(1)已知0<β<2<α<π，且cosα－2＝－9，sin2－β＝3，求cos(α＋β)的值；21(2)已知

α，β∈(0，π)，且

tan(α－β)＝1

tan

β＝－

，求

2α，

7－β

的值．π解

(1)∵0<β<2<α<π，π

α

π

π

β∴－4<2－β<2，4<α－2<π，

∴cos2－β＝

1－sin2α

α

2－β

＝

53，

βsinα－＝2

β1－cos

α－

＝4

52

9，∴cos2α＋β2

β

α

2

2

＝cosα－

－

－β

β

α

β

α

2

2

2

2

＝cosα－

cos

－β＋sinα－

sin

－β

1

5

4

5

2

7

5＝－9×

3

＋

9

×3＝

27

，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β－1＝22

×72923949×5－1＝－729.tan(α－β)＋tan

β(2)∵tan

α＝tan[(α－β)＋β]＝1－tan(α－β)tan

β＝1－12

711＋2×711＝3>0，∴0<α<π2，

2tanα又∵tan

2α＝1－2tan

α12×331－

23＝

1

＝4>0，∴0<2α<π2，tan

2α－tan

β∴tan(2α－β)＝1＋tan

2αtan

β＝3

14＋731－4×71＝1.∵tan

β＝－7π1<0，∴

<β<π，－π<2α－β<0，2∴2α－β＝－3π4

.规律方法

(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、

π2余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，，选正、余ππ2

2弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－，，选正弦较好．1cos(α－β)＝13π14，且0<β<α<2，【训练2】已知cos

α＝7，求tan2α

的值；求β.解

(1)∵cos

α＝17π2，0<α<

，∴sin

α＝4

37，∴tan

α＝4

3，∴tan

2α＝

2tan

α1－tan2α2×4

3＝

1－48

＝－

478

3.(2)∵0<β<α<ππ2，∴0<α－β<2，∴sin(α－β)＝3143，∴cos

β＝cos[α－(α－β)]＝cos

αcos(α－β)＋sin

αsin(α－β)1

13

4

3

3

3

1＝7×14＋

7

×

14

＝2.∴β＝π3.考点三

三角变换的简单应用【例3】已知f(x)＝1＋

1

tanx2

π

π4

4sin

x－2sinx＋

·sinx－

.(1)若tan

α＝2，求f(α)的值；

π

π12

2(2)若

x∈

，

，求

f(x)的取值范围．2

π解

(1)f(x)＝(sin

x＋sin

xcos

x)＋2sinx＋4·

πcosx＋4＝1－cos

2x

21

π＋2sin

2x＋sin2x＋2＝1

12＋2(sin

2x－cos

2x)＋cos

2x＝1

12(sin

2x＋cos

2x)＋2.2sin2α＋cos2α

tan

α＋1由

tanα＝2，得sin

2α＝

2sin

αcosα

＝

2tan

α

＝54.cos2α－sin2αcos

2α＝sin2α＋2cos

α1－tan2α＝

＋21 tan

α3＝－5.所以，f(α)＝1

n

2α2(si＋cos

2α)＋2＝51

3.(2)由(1)得

f(x)＝1

n

2x＋cos

2x)＋12(si2π

2

1＝

2

sin2x＋4＋2.由x∈12

π

π，，得2x＋∈，π

5π

5π2

4

12 4

.

2

π∴－

2

≤sin2x＋4≤1，∴0≤f(x)≤

2＋12，所以f(x)的取值范围是0，

2＋12.规律方法

(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α

化为关于正切tanα的关系式，为第(1)问铺平道路．(2)把形如

y＝asin

x＋bcos

x

化为

y＝

a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

π【训练3】已知函数f(x)＝4cos

x·sinx＋6－1.(1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在区间－6，4上的最大值和最小值．

π解

(1)因为

f(x)＝4cos

xsinx＋6－1＝4cos

x

31

2

2sin

x＋

cos

x－1＝

3sin

2x＋2cos2x－1＝

3sin

2x＋cos

2x

π＝2sin2x＋6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π

π

π

π

2π

6≤x≤4，所以－6≤2x＋6≤

3

.π

π于是，当2x＋6＝2，6π即x＝时，f(x)取得最大值2；π

π当2x＋6＝－6，即xπ＝－6时，f(x)取得最小值－1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．教你审题3——三角函数求值中的变角问题

π4【典例】(2012·江苏卷)设α

为锐角，若cosα＋6＝5，则

π

sin2α＋12的值为

．[审题]

π4一审条件：cosα＋6＝5，α

为锐角，二审问题：sin

12

2α＋

π

＝？

ππ

π

π

π三找关系：2α＋12＝2α＋3－4＝2α＋6－4，解题变得明朗化！

π4解析

∵α

为锐角且

cosα＋6＝5，ππ

2π∴α＋6∈6，

3

，

π3∴sinα＋6＝5.

π

π

π∴sin2α＋12＝sin2α＋6－4

π＝sin2α＋6cosπ4

π6－cos

2α＋

sinπ4＝

2sin

α6

π

π6＋

cos

α＋

－2

22