课程数分课件bit101级数

例

2

计算曲线积分2222(

y

-

z

2

)dx

+

(z

2

-

x

)dy

+

(

x

-

y

)dzG其中G是平面x

+y

+z

=3截立方体:0

£

x

£

1,20

£

y

£

1,0

£

z

£

1的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向.解3取Σ为平面x

+y

+z

=2的上侧被G所围成的部分.则1n

=

3

{1,1,1}zxyoSnG即3cosa

=

cos

b

=

cosg

=

1

,dS¶x

¶y

¶zy2

-

z2

z2

-

x2

x2

-

y2\

I

=

S3¶3¶3¶1

1

1S3=

-

4

(

x

+

y

+

z)dS3 2

S3

Dxy=

-

4 3

dS

=

-223dxdy

=

-

9

.2(在S上x

+y

+z

=3)Dxy2x

+

y

=

32x

+

y

=

1定理1

设空间开区域

G

是一维单连通域，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G

内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分G

Pdx

+Qdy

+Rdz在G

内与路径无关（或沿G

内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式¶P

=¶Q

,¶Q

=¶R

,¶R

=¶P

在G

内恒成立．¶y

¶x

¶z

¶y

¶x

¶z空间曲线积分与路径无关的条件¶P

=¶Q

,¶Q

=¶R

,¶R

=¶P

在G

内恒成立．¶y

¶x

¶z

¶y

¶x

¶z定理2

设区域

G

是空间一维单连通域，

函数P(

x,

y,

z)、Q(

x,

y,

z)、R(

x,

y,

z)

在

G

内具有一阶连续偏导数，则表达式

Pdx

+

Qdy

+

Rdz在

G

内成为某一函数

u(

x,

y,

z)

的全微分的充分必要条件是等式Pdx

+

Qdy

+

Rdz且

u(

x,

y,

z)

=(

x

,

y

,z

)0

0

0(

x

,

y

,z

)+=zz0+

R(

x,

y,

z)dz.yyxQ(

x,

y,

z

)dy00用定积分表示为u(

x,

y,

z)xP(

x,

y0

,

z0

)dx0其中M

(x0

,y0

,z0

)为G

内某一定点，点M

(x,y,z)˛

G.M0

(

x0

,

y0

,

z0

)M1

(

x,

y0

,

z0

)M2

(

x,

y,

z0

)M

(

x,

y,

z)zxyO三、物理意义---环流量与旋度1.环流量的定义:.称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分设向量场C

CG

=

A

dl

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz

A(

x,

y,

z)

=

P(

x,

y,

z)i

+

Q(

x,

y,

z)

j

+

R(

x,

y,

z)k2.旋度的定义:(rotA)

.¶

为向量场的旋度

i

j

k¶¶x

¶y

¶zP

Q

R称向量¶9-4

6（1）121),

B(这里A(-1,-,

0),

C(0,1)L是有向折线ABCxdy

-

ydx

x2

+

y2L例1 求I

=¶Q

y2

-

x2

¶P解

=

=¶x

x2

+

y2

¶y\积分与路径无关可选路径AEFC，则110222-111+

x1+

y1+

xL-1xdy

-

ydx

=

dxx2

+

y2dy-dxI

=++

1102054=

5=

5

arctan

x

|

=1+

xdxp请思考：能否取折线ADCx

yx2

y2

z2例2求

1dydz

+1

dzdx

+1

dxdy

,S

:

椭球面

+

+a2

b2

c2z=1的外侧(a

>0,b

>0,c

>0)S12z

z

zS

SS解

此题不可用高斯公式,因为不满足公式条件.设S1

,S2为上半椭球面的上侧和下半球面的下侧,x2

y2则两曲面在xOy面上投影域为

+

£1.a2

b2

1dxdy

=

1dxdy

+

1dxdyx2

y22dxdyx2

y21-

-a2

b2=c+

£1a2

b2200x2aa

dy2cx2

y2b

1-4

dx=c21-

-a2

b24pabcx20b

1-a220=

8ab

1-x2

ydx

=a

arcsinc

b2dzdx

=

4pabc

.xa2yS

Sdydz

=

4pabc

,类似地,有a2

b2

2c

\

原式

=

4pabc

1

+

1

+

1

.r

(x,

y,

z

)点O

(0,

0,

0)到平面P

的距离,求

z

dS.22

2x2

y2例3

设S为椭球面

+ +

z

=

1的上半部分,点P

(x,y,z

)˛

S

,P

为S在点P处的切平面,r

(x,y,z

)为S22

2x2

y2解

S

:

+ +

z

=

1

,n

=

(x,

y,

2z).过点P(x,y,z)的切平面为x(

X

-

x)

+

y(Y

-

y)

+

2z(Z

-

z)

=

0.注意到

x2

+

y2

+

2z2

=

2上述方程写成

xX

+

yY

+

zZ

=12

2原点到此平面的距离为22

2x2

y2代入z

=

1-

-

,则4

-

x2

-

y2

dxdy

x2

y2

2

1-

2

+

2

dS

=1-222+

z2

,r(x,

y,

z)

=4x

+

y

44

-

x2

-

y212r(x,

y,

z)

=,4

4x2

y21-

-=

x2

y2

22,

D

:

x

+

y

£

2

又

z

=

1-

2

+

2

2

x2

y2

r

(x,

y,

z

)4

-

x2

-

y24

-

x2

-

y2ds

x2 2

=

DS\

2

1-+

y

2

2

z

dS1-

2

+

2

2214(4

-

x-

y

)dxdyD=2p001422

2

3(4

-

r

)rdr

=

pdq=我国早在魏晋时代(公元200-350年)，刘徽已经用无穷级数的概念来计算圆的面积了。直到18世纪，瑞士数学家和物理学家欧拉开辟了无穷级数的理论研究。Leonhard

Euler

(1707-1783)一、问题的提出1.计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积a1a1

+

a2a1

+

a2

+

+

an正3

·

2n

形的面积即

A

»

a1

+

a2

+

+

an++

+

+1

=

3

+

3

33

10

100

100010n32.从上例可知：无限和可能存在（例1、2），可能不存在（例3），无限和是与

有限和有重大区别的新概念．那么，在什么条件下无限和是一个确定的数？在什么条件下无限和不是一确定的数，这就构成了研究数项级数最基本的问题．3.

1+

2

+3

++

n

+

=

+¥二、级数的概念1.级数的定义:¥

un

=

u1

+

u2

+

u3

+

+

un

+n=1(数列项)无穷级数一般项部分和数列s1

=

u1

,

s2

=

u1

+

u2

,i=1nsn

=

u1

+

u2

+

+

un

=

ui级数的部分和s3

=

u1

+

u2

+

u3

,,sn

=

u1

+

u2

+

+

un

,2.级数的收敛与发散:¥当n无限增大时,如果级数

un

的部分和n=1nfi

¥数列sn

有极限s,

即

lim

sn

=

s

则称无穷级数¥

¥

un

收敛,这时极限s

叫做级数

un

的和.并n=1

n=1写成

s

=

u

1

+

u

2

+

+

u

n

+

¥如果sn

没有极限,则称无穷级数

un

发散.n=1即

数项级数收敛(发散)nfi

¥lim

sn

存在(不存在)余项¥rn

=

s

-

sn

=

un+1

+

un+2

+

=

un+ii

=1即nfi

¥sn

»

s

误差为rn

(lim

rn

=

0)无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程设三角形第一次分叉：9312

1面积为

A

=

A

+

3

1

A

;2

1周长为

P

=

4

P

,依次类推3

;4周长为P1

=3,1面积为

A

=播放n-1P

=

(4)

P n

=

1,2,n

3

111[( )n-1

A

]}9n-2An

=

An-1

+

3{41121

11n-1

A+

+

3

4n-2

(

)9919=

A

+

3

1

A

+

3

4

(

)

An

=

2,3,周长为面积为(

)

]}3

91

43

3

9

3

9n-221=

A

{1

+[1

+

1

(4)

+

1

(4)

+

+第n

次分叉：于是有nfi

¥lim

Pn

=

¥4131

-

9lim

A

=

A

(1

+n

1nfi

¥53

.51)

=

A

(1

+

3)

=

2雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．例1

讨论等比级数(几何级数)¥aqn

=

a

+

aq

+

aq2

+

+

aqn

+

(a

„

0)n=0的收敛性.解如果q

„1时2

n-1sn

=

a

+

aq

+

aq

+

+

aq1

-

qa

-

aqn=a

aqn-

,=

1

-

q

1

-

q当q

<1时,lim

qn

=

0

\nfi

¥1

-

qanlim

s

=nfi

¥当q

>1时,lim

qn

=

¥

\nfi

¥nfi

¥lim

sn

=¥

发散收敛如果q

=1时当q

=1时,当q

=-1时,sn

=

na

fi

¥发散级数变为a

-a

+a

-a

+nfi

¥\lim

sn不存在发散¥当q

‡1时,发散综上

aq

n

当q

<1时,收敛n=0n=1

n例

2

证明：调和级数

1

lim

1

0nfi

¥

n¥虽有

=

，但是它是发散的.调和级数部分和证

我们利用定积分的几何意义加以证明.nn

S

=k

=11k，如图所示.考察曲线y

=1

,x

=1,x=n

+1和y

=0所x围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系，Oy11/21

2

3

4n

n+1x可以看到阴影部分的第一个矩形面积A1

=1，第二个矩形面积A2

=1

2，第三个矩形面积A3

=1

3，……，第n个矩形面积An

=1

n

，所以阴影部分的总面积为nn

A

=k

=1nk

=1nA

=1+1

2

+1

3

++1

n

=1k，它显然大于曲边梯形的面积S

，即有=

ln(n

+1)

，dx

=

ln

x1xn+11n+11A

>A

=nk

=1kn而lim(n

+1)=¥

，表明An

的极限不存在，所以该级数nfi

¥发散.¥¥根据定义来讨论无穷级数

an

的敛散性,n=1将面临部分和数列Sn

的计算(即n

项求和问题).于是研究出不从定义出发(从而回避Sn的计算)讨论级数

an

的敛散性的方法就成为研究无穷级数n=1问题的关键.为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质从上面例子可知:三、基本性质¥n=1¥n=1性质1

如果级数

un

收敛,则

kun

亦收敛.¥

¥性质2

设两收敛级数s

=

un

,s=vn

,n=1

n=1¥则级数(un

–vn

)收敛,其和为s

–s

.n=1结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.例

3

求级数¥1

n=1

+5nn(n

+

1)

2的和.解¥1

=

5n=1

+n¥n=15n(n

+

1)¥n=1+21n¥¥n

+

1-

1

1=

5n(n

+

1)

25n=1n=1

nn(n

+

1)k

+

1

=

5(1

--nnk

=1

k

1

1令g

=

5),n

+

11)

=

5,n

+

11=

5

lim(1

-nfi

¥n\

lim

gnfi

¥2是等比级数,1¥n=1n公比q

=1<1,首项是2，12nfi

¥¥1n=1

2=

5

+

1

=

6.51

+¥n=1

nn(n

+

1)

2故=

1,21

-

1\

n

=

lim

hn

=12¥

¥性质

3

若级数

un

收敛,则

un

也收敛n=1

n=k

+1(k

‡1).且其逆亦真.证明uk

+1

+

uk

+2

+

+

uk

+n

+sn

=

uk

+1

+

uk

+2

+

+

uk

+n=

sn+k

-

sk

,n

n+k

knfi

¥

nfi

¥

nfi

¥=

lim

s

-

lim

s则limsk=

s

-

s

.类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质

4

收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明

(u1

+

u2

)

+

(u3

+

u4

+

u5

)

+

s1

=

s2

,

s2

=

s5

,

s3

=

s9

,则limsm

=

lim

sn

=

s.mfi

¥

nfi

¥,

sm

=

sn

,注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.例如

(1

-

1)

+

(1

-

1)

+

收敛1

-

1

+

1

-

1

+推论

如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.发散四、收敛的必要条件nfi

¥级数收敛的必要条件:当n无限增大时,它的一般项un趋于零,即级数收敛

lim

un

=

0.证明¥

s

=

un则

un

=

sn

-

sn-1

,n=1\

lim

un

=

lim

sn

-

lim

sn-1

=

s

-

s

=

0.nfi

¥

nfi

¥

nfi

¥注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;+

-

+

(-1)

+1

2

3

n2

-

3

4

n

+