2019年新课堂高考总复习数学文科第七章3讲圆方程配套课件

第3讲

圆的方程考纲要求考点分布考情风向标2012年新课标第20题考查直线、圆与抛物线的综合应用；2013年新课标Ⅰ第21题考查直线、圆、椭圆的综合应用；2014

年大纲第16

题考查切线的性质及三角函数的运算、新课标Ⅰ第20题考查求圆的方程、新课标Ⅱ第12题考查直线与圆的位置关系及数形结合；2015

年新课标Ⅰ第14

题、北京第2题考查圆的标准方程；2017年新课标Ⅲ第20题(2)考查求圆的方程本节内容具有承前启后的作用，既与前面的直线相联系，也为后面学习圆锥曲线做准1.掌握确定圆的几何要素.备.高考中对此部分内容的考查主要呈现以下几个特点：2.掌握圆的标准一是重基础知识和基本技方程与一般方能，主要考查了直线、圆的程.方程，直线与圆的位置关系，3.初步了解用代圆与圆的位置关系；二是重数方法处理几在知识的交汇处命题，把解何问题的思想析几何初步与集合、向量、函数等知识结合命题，注重考查学生综合运用知识解决问题的能力圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.圆的标准方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程.特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为

.x2＋y2＝r23.圆的一般方程2

2

D2

E2方程

x

＋y

＋Dx＋Ey＋F＝0

可变形为x＋

2

＋y＋2

＝D2＋E2－4F4.故有：2

2DE(1)当

D

＋E

－4F＞0

时，方程表示以－

2

，－2为圆心，以D2＋E2－4F2为半径的圆；2

2DE(2)当D

＋E

－4F＝0时，方程表示一个点－2

，－2；(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形.4.点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系点M

在圆内点M

在圆上点M

在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；x＋y＋Dx0＋Ey0＋F

>

0.1.(2015

年北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D

)解析：由题意可得圆的半径为r＝

2，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选D.2.若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN

的中点，则弦MND

)所在直线的方程为(A.2x＋y－3＝0C.x＋2y－3＝0B.x－2y＋1＝0D.2x－y－1＝0b＝(3.若直线y＝x＋b

平分圆x2＋y2－8x＋2y＋8＝0

的周长，则D

)A.3C.－3B.5D.－54.(2017

年广东广州一模)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y

＝x＋3

相切，则该圆的标准方程是.x2＋(y－1)2

＝2解析：抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1).圆的半径为r＝|0－1＋3|2＝

2.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.考点1求圆的方程例1：(1)求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程；(2)设圆上的点

A(2,3)关于直线

x＋2y＝0

的对称点仍在这个圆上，且圆与直线

x－y＋1＝0

相交的弦长为

2 2

，求圆的方程；(3)(2017

年广东茂名一模)已知直线x－2y＋2＝0

与圆C

相切，圆C

与x

轴交于两点A(－1,0)，B(3,0)，求圆C

的方程.解：(1)方法一，从数的角度，选用标准式.设圆心P(x0，y0)，则由|PA

|＝|PB|，得

(x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.又2x0－y0－3＝0，两方程联立，得x0＝4，y0＝5.∴|PA|＝

10.∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.方法二，从数的角度，选用一般式.∴圆的方程是x2＋y2－8x－10y＋31＝0.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

DE则圆心坐标为－2

，－2.∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0，32＋22＋3D＋2E＋F＝0，

D

E2×－

2

－－2－3＝0.D＝－8，解得E＝－10，F＝31.方法三，从形的角度.线段AB

为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P

应在线段AB

的垂直平分线x＝4

上，则由x＝4，得2x－y－3＝0，

x＝4，y＝5，即圆心P(4,5).∴半径r＝|PA|＝

10.∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10.(2)设点A

关于直线x＋2y＝0

的对称点为A′，∵AA′为圆的弦，∴A

与A′的对称轴x＋2y＝0

过圆心.设圆心

P(－2a，a)，半径为

R，则

R＝|PA|＝ (－2a－2)2＋(a－3)2.又弦长

2

2＝2

R2－d2，d＝2|－2a－a＋1|，∴R2＝2＋(3a－1)22，即4(a＋1)2＋(a－3)2＝2＋(3a－1)22.∴a＝－7，或a＝－3.当a＝－7

时，R＝

244；当a＝－3时，R＝

52.∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52

或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.(3)∵圆C

与x轴交于两点A(－1,0)，B(3,0)，∴由垂径定理，得圆心在x＝1

这条直线上.设圆心坐标为C

(1,

b)，圆半径为r，则C

到切线x－2y＋2＝0

的距离等于r＝|CA|.解得b＝－1

或b＝－11.∴圆C

的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或(x－1)2＋(y＋11)2＝125.∴|1－2b＋2|52

2

2＝

2

＋b

.即b

＋12b＋11＝0.【规律方法】研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.的方程为

.【互动探究】1.(2016

年天津)已知圆C

的圆心在x

轴的正半轴上，点M(0，5)在圆

C

上，且圆心到直线

2x－y＝0

的距离为4

5

C5

，则圆(x－2)2＋y2＝95解析：设

C(a,0)，a>0，则|2a|

4＝55⇒a＝2，r＝22＋(

5)2＝3，故圆C

的方程为(x－2)2＋y2＝9.考点2与圆有关的最值问题例2：已知实数x，y

满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：yx的最大值和最小值；y－x

的最小值；x2＋y2的最大值和最小值.解：(1)方法一，如图D39，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以

3

为半径的圆.图D39y设x＝k，即y＝kx，当圆心(2,0)到y＝kx

的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大值或最小值.k2＋1|2k－0|由 ＝

3，得

k2＝3，解得

k＝±

3.x∴

max＝y

yx3，

min＝－

3.方法二，由平面几何知识，有OC＝2，|PC|＝

3，∠POC＝60°，直线OP

的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°，则

max＝tan

60°＝y

yx

x3，

min＝tan

120°＝－

3.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b

与圆切于第四象限时，纵轴截距b

取得最小值.由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝

3，即

b＝－2±

6.故(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2

是圆上点与原点距离的平方，如图D34，OC

与圆交于点B，其延长线交圆于点C′，则(x2＋y2)

＝|OC′|2＝(2＋

3)2＝7＋4

3，max(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－

3)2＝7－4

3.【规律方法】方程x2＋y2－4x＋1＝0

表示以点(2,0)为圆心，x－x

可看作直线y＝x＋b

在y

轴上的截距，x2＋y2

是圆上一点与原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解.以3为半径的圆.y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：x－a①形如u＝y－b形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by

形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2

形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.图D40【互动探究】2.(2017

年重庆四校模拟)设

P

是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4

上的动点，Q

是直线

x＝－3

上的动点，则|PQ|的最小值为(

B

)A.6

B.4

C.3

D.2解析：如图D40，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.3.已知实数x，y

满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y

的最大值为 ，最小值为解析：令b＝2x－y，则b

为直线y＝2x－b

在y

轴上的截距的相反数.当直线2x－y＝b

与圆相切时，b

取得最值.由|2×2＋1－b|5＝1，解得

b＝5±

5.所以

2x－y

的最大值为

5＋

5，最小值为5－5.5＋

55－

5

.考点3圆的综合应用例3：(1)(2014年大纲)直线l1

和l2

是圆x2＋y2＝2

的两条切线，若l1

与l2

的交点为(1,3)，则l1

与l2

的夹角的正切值等于

.答案：43图7-3-1|OP|解析：如图7-3-1，sin∠OPB＝|OB|＝102

＝

55

，cos∠OPB＝2

551，tan∠OPB＝2，所以12×221－

24tan∠APB＝tan

2∠OPB＝

1

＝3.(2)(2017

年江苏)

在平面直角坐标系

xOy

中，A(－12,0)

，B(0,6)，点

P在圆

O：x2＋y2＝50

上，若P→A·P→B≤20，则点

P的横坐标的取值范围是

.解析：设P(x，y)，由P→A·P→B≤20，易得2x－y＋5≤0，由2

2可得2x－y＋5＝0，

x＝－5，或x＝1，x

＋y

＝50

y＝－5，

y＝7.由2x－y＋5≤0

表示直线2x－y＋5＝0

以及直线上方的区域，结合限制条件－5

2≤x≤5

2，可得点

P

横坐标的取值范围是[－5

2，1].答案：[－5

2，1]【互动探究】4.(2015年新课标Ⅱ)已知三点

A(1,0)，B(0，

3)，C(2，

3)，则△ABC

外接圆的圆心到原点的距离为(

)A.53B.

213C.253D.43答案：B3)，C(2，3)，得线段BC

的垂直平分解析：由点

B(0，线方程为

x＝1.

①由点A(1,0)，B(0，3)，得线段

AB

的垂直平分线方程为

3

3

1y－

2

＝

3

x－2，

②联立①②，解得△ABC

外接圆的圆心坐标为1，2

33.2其到原点的距离为

1

＋322

3

213＝

.故选B.思想与方法⊙利用函数与方程的思想求圆的方程例题：(2017

年新课标Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l

交C

于A，B

两点，圆M

是以线段AB

为直径的圆.(1)证明：坐标原点O

在圆M

上；(2)设圆M

过点P(4，－2)，求直线l

与圆M

的方程.(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由x＝my＋2，2y

＝2x2可得y

－2my－4＝0，y1y2＝－4.y22

2又x1＝

1，x2＝

2，x1x2＝y2

y2

y22

21×

2＝

1

2(y

y

)24＝4，－4因此

OA的斜率与

OB

的斜率之积为y1·y2＝

＝－1，x1

x2

4所以OA⊥OB.故坐标原点O

在圆M

上.(2)解：由(1)，可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，(m2＋2)2＋m2，故圆心为M(m2＋2，m)，圆的半径为r＝圆M过点P(4，－2)，因此A→P·B→P＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)，可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0.解得m＝1

或m＝－21

.当

m＝1

时，直线

l

的方程为

x－y－2＝0

，圆

M

的圆心坐标为(3,1)，半径为

10，则圆M

的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.21当

m＝－

时，直线

l

的方程为

2x＋y－4＝0

，9

14

2圆

M

的圆心坐标为

，－

，半径为

85

4，圆M

的方程为