2023年高考数学一轮复习（基础版）10-5 抛物线（精讲）（基础版）（解析版）

10.5抛物线（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一抛物线的定义及应用【例1-1】（2022·北京·高三开学考试）已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则____________．【答案】2【解析】抛物线的焦点为，准线为，因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，所以，得，故答案为：2【例1-2】（2022·广西贵港）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.【一隅三反】1．（2022·河北）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．【答案】5【解析】由题意，知抛物线的准线方程为，点A到准线的距离为，因为点在抛物线上，故的长度等于点A到准线的距离，所以,故答案为：52．（2022·吉林）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.【答案】【解析】设，则，因为，所以，当时取得最小值4，故答案为：43．（2022·河南）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．【答案】

【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．故答案为：；．考点二抛物线的标准方程【例2-1】（2022·湖南）顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______．【答案】【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为，因为通径长为6，所以，所以，所以所求抛物线方程为．故答案为：．【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．【答案】【解析】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，在直角三角形中，因为，，所以，从而得，设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.故答案为：.【一隅三反】1．（2022·西藏）已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______．【答案】或【解析】∵抛物线过点，且点在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．若开口向右，则设方程为，∵过点，∴，∴抛物线的标准方程为；若开口向下，则设方程为，∵过点，∴，∴抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．2．（2022北京）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．【答案】或【解析】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，于是，代入，得，解得或，故该抛物线的标准方程为或．故答案为：或．3．（2022·全国·课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为．【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选．若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为．若选①⑤，设焦点，，，，由，得，解得，故抛物线的方程为．由④可知，故还可选择①④．故答案可为①③或①⑤或①④．故答案为：①③（答案不唯一）考点三直线与抛物线的位置关系【例3】（2022·西安）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程，消去并整理，得．当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；当时，，解得或．综上，，故选：A．【一隅三反】1．（2022·黄石市）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（）A． B．2 C． D．-2【答案】BD【解析】设直线的方程为，联立得，所以,，，,由题得.因为，所以.满足.故选：BD2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则(为坐标原点)的面积是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，所以为坐标原点)的面积是.故选：A.3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（）A． B．3 C．27 D．【答案】A【解析】抛物线，即，故，设两点的坐标为，则有，整理得，同理故直线的方程为，由得，故，因为点到直线的距离为，故三角形的面积为故选：.考点四弦长【例4-1】（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则由得：，所以，，所以，故选：D.【例4-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，所以．故选：C．【一隅三反】1．（2021·江苏扬州·高三月考）直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.【答案】8【解析】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以.故答案为：8.2．（2021·全国高三（理））已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，则，，则，，，则故选：D3．（2022·云南）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.(1