椭圆方程及几何性质

椭圆方程及几何性质第一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三基础知识梳理

1．椭圆的定义(1)平面内一点P与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，即

若常数等于|F1F2|，则轨迹是

.若常数小于|F1F2|，则轨迹

．

注意：一定要注意椭圆定义中限制条件“大于|F1F2|”是否满足．|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|线段F1F2不存在第二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三

(2)平面内点M与定点F的距离和它到定直线l的距离d的比是常数e(0<e<1)的点的轨迹，即

定点F为椭圆的

，定直线l为椭圆的

．该焦点对应的准线焦点第三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三2．椭圆中的几何量(1)长轴|A1A2|＝

，短轴|B1B2|＝

，焦距|F1F2|＝

，且满足

.2a2ba2＝b2＋c22c第四页，共六十八页，编辑于2023年，星期三3．椭圆的几何性质条件{M||MF1|＋|MF2|＝2a，(2a>|F1F2|)}{M|＝＝e(0<e<1)}标准方程及图形(a>b>0)

(a>b>0)第五页，共六十八页，编辑于2023年，星期三顶点轴对称轴：

，长轴长：

，短轴长：

焦点准线方程A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)x轴、y轴|A1A2|＝2a|B1B2|＝2bF1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)第六页，共六十八页，编辑于2023年，星期三焦半径焦距离心率通径|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ey0|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2－b2e＝

(0<e<1)第七页，共六十八页，编辑于2023年，星期三强化训练1．(2009年陕西)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．答案：充要第八页，共六十八页，编辑于2023年，星期三2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________．第九页，共六十八页，编辑于2023年，星期三3．(08年浙江)已知F1、F2为椭圆＝1(5>b>0)的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解：由椭圆定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，

|BF1|＋|BF2|＝2a，所以|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴|AB|＝4a－(|F2A|＋|F2B|)＝4×5－12＝8.第十页，共六十八页，编辑于2023年，星期三4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为

.第十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三5（2010湖北）:已知椭圆的两焦点分别为,点满足,则||+||的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。第十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．椭圆的定义及应用考点一第十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三例1(09北京)椭圆＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__；∠F1PF2的大小为____．第十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期三【答案】

2

120°第十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期三【点评】椭圆的定义具有鲜明的特点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出现时，才会出现椭圆的定义，因此，能不能应用定义，也就应注意条件中是否出现椭圆上的点与焦点的连线这种条件．第十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期三椭圆中的最值问题考点二例2：求椭圆上的动点P到其中一个焦点F的距离的最大值和最小值。xyPF第十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习1：已知A(-1,1),B(1,0)

点P在椭圆上运动，求PA+2PB的最小值。

练习2：求PA-PB的范围。练习3：求PA+PB的最大值。第十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习4：求椭圆上的动点P到直线的距离的最小值。第十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期三例3：设P是椭圆在第一象限的点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。xyAOPB第二十页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习（2008全国卷）设椭圆中心在坐标原点，点是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于两点。（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．。第二十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三小结：椭圆中最值问题的求解策略：总方针：建立目标函数（或目标不等式）具体方法：（1）转化成二次函数的最值问题。（2）利用三角换元，转化成三角函数的最值问题。（3）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征求最值。（4）利用基本不等式放缩求最值。第二十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三

椭圆标准方程的求法(1)定义法；(2)待定系数法．若已知焦点的位置可惟一确定标准方程；若焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以直接设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，其中A，B为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系(如＝λ，λ>0)来求解，以避免讨论和繁琐的计算．椭圆的标准方程考点三第二十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三例4第二十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第二十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期三(2)由题意，可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，则有M(0，k)．设Q(x1，y1)，由于Q、F、M三点共线，且根据题意得(x1，y1－k)＝±2(x1＋1，y1)，第二十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期三据题意得(x1，y1－k)＝±2(x1＋1，y1)，解得k＝0，k＝±4，所以直线l的斜率为0或±4.第二十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期三【点评】求椭圆的方程，关键在于寻找到能求a2，b2的关系式或条件，观察图形，由条件转化是常用到的解题办法．第二十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习1(09年广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求△AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．第二十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第三十页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第三十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三(3)∵椭圆G与圆心Ak所在直线y＝2均关于y轴对称．∴不妨考虑k≥0的情形，此时，圆心Ak(－k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为∴点N(6,0)总在圆外；若k<0，由(－6)2＋0－12k－0－2＝15－12k>0，可知点(－6,0)在圆Ck外．所以任何圆Ck都不能包围椭圆．第三十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习2、（2010安徽理数）已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率0.5。(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求角F1AF2的角平分线所在直线的方程；(Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。第三十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．2．消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．直线与椭圆的关系考点四第三十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期三本类问题中主要是直线与椭圆相交的问题，可以分为两类：①直线过椭圆焦点（可以联想定义或焦半径等；②直线不过椭圆焦点．处理的办法也分为两种：①设而不求(点差法，涉及中点）；②直线与椭圆联立方程组，运用韦达定理处理．第三十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期三例5设F1、F2为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4.(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)过点P(0，)的直线与椭圆交于两点M、N，若以M、N为直径的圆通过原点，求直线MN的方程．第三十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期三【解】

(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.第三十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第三十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第三十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期三总结：直线与椭圆相交往往是联立方程组，利用韦达定理等知识，但某些条件的转化应用往往是解题的突破口和关键，如本题中向量数量积的应用，这就要求解题过程中对条件的分析要准确，与其它知识点的转化要熟练．第四十页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积与椭圆的长轴无关．第四十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第四十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第四十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习2第四十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期三(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．第四十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第四十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第四十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第四十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第五十页，共六十八页，编辑于2023年，星期三征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。第五十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三试卷18题第五十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三主要问题有两类，第一类根据椭圆方程研究椭圆的几何性质，第二类根据椭圆的几何性质，综合其他知识求椭圆方程或者研究其他问题，这一类利用性质是关键．椭圆的几何性质考点五第五十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三例6(1)求椭圆C的方程．(2)椭圆C上任一动点M(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为M1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．第五十四页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第五十五页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第五十六页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第五十七页，共六十八页，编辑于2023年，星期三∴3x1－4y1＝－5x0.∵点P(x0，y0)在椭圆C：＝1上，∴－2≤x0≤2，∴－10≤－5x0≤10.即3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．第五十八页，共六十八页，编辑于2023年，星期三总结：椭圆的几何性质如离心率题，范围问题都是常考的内容，本题中是利用椭圆上点的横纵坐标的范围来转化的，这是解决有关范围问题常用的一个方法，但并不是惟一的方法，题目设置的条件不同，采用的方法也会随之不同，因此，需要在平时总结不同的题型，以便归纳规律和方法．第五十九页，共六十八页，编辑于2023年，星期三练习：(2010年苏、锡、常、镇调研)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点E(3,0)，设点P、Q是椭圆C的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围．第六十页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第六十一页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第六十二页，共六十八页，编辑于2023年，星期三第六十三页，共六十八页，编辑于2023年，星期三规律方法总结1．椭圆的定义有两种形式，习惯上称为第一定义和第二定义．在第一定义中，描述椭圆为“到两定点的距离之