湖南省2022-2023学年高三数学上学期第一次联考试题

Page10湖南省2022-2023学年高三上学期第一次联考数学试题总分：150分时量：120分钟留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不属于x-23A.x3 B.6x2C.2.已知集合A={x|f(x)≤a},BA.[3,+∞) B.(-∞,1]∪[3,+∞) C.[21163.已知复数z1,z2,z3，z1则2|z2-A.5B.6C.7D.84.已知△ABC三边a,b,c所对角分别为A,BA.-1B.0C.1D.以上选项均不正确5.已知正项数列{an}满足a1=1，且1an+1-1A.7B.6C.5D.46.长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范高校第一附属中学（华一）、河南省试验中学（省试验）三校参与华中名校杯羽毛球团体赛.这时候有四位体育老师对最终的竞赛结果做出了猜测：罗老师：雅礼是其次名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或其次名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；关老师：省试验不是第一名；其中只有一位老师猜测对了，则正确的是（）A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师7.若a=1100e5,bA.aB.bC.aD.b8.已知双曲线x2-y2a2=1A.(213,+∞) B.(1,213) C.(1,二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.长沙市有橘子洲，岳麓山，天心阁，开福寺四个景点，一位游客来长沙市巡游.已知该游客巡游橘子洲的概率为23，巡游其他景点的概率都是12.该游客是否巡游这四个景点相互独立，用随机变量X记录该游客巡游的景点数，下列说法正确的是（A.游客至多巡游一个景点的概率为1C.PB.PD.E10.假如一个无限集中的元素可以依据某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为a1,a2,A.NB.ZC.QD.R11.已知某四周体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是（）A.若a=2且该四周体的侧面存在正三角形，则B.若a=3且该四周体的侧面存在正三角形，则四周体的体积C.若a=4且该四周体的对棱均相等，则四周体的体积D.对任意a>1，记侧面存在正三角形时四周体的体积为V1，记对棱均相等时四周体的体积为12.已知函数f(x)=exA.当a>-3B.对于∀a∈RC.当a=-1D.∃a∈R，使函数f三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知cos(α+β)=14.已知向量e1与e2的夹角为π4，且e1=1，e2=15.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F116.若不等式lnx≤1a四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义Tn（1）证明：T（2）解方程：818.已知单调递减正数列an，n≥2时满足an2(an-1+1)+a（1）求an（2）证明：S19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB(1)求证：平面PAD⊥平面PBC(2)若二面角P-AB-D的余弦值为3320.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行其次轮注射，再次检验．假如被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为p(0<（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含p的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数X的数学期望为E(X)21.已知平面直角坐标系中有两点F1-2,0，F22,0（1）求曲线C1（2）设曲线C2：y2k+x2=1（k>1）与C122.已知函数fx=a（1）若a=1，且fx在R上单调递增，求（2）若fx图象上存在两条相互垂直的切线，求a 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不属于x-A.x3 B.6x2 C.12x 解析：开放式中x2的系数应为-6，故2.已知集合A={x|f(x)≤a},B={x|f(f(x))≤a},a∈R.其中A.[3,+∞) B.(-∞,1]∪[3,+∞) 设A=[x1,x2]将以上条件整理得f(x)∈A的解集应当含于[x即且x1,x由根的分布规律可得a故选C3.已知复数z1,z2,z3，z1则2|zA.5 B.6 C.7 D.8解析：本题考察复数和椭圆的学问，依据复数和椭圆的基本学问可得，2z2-z故选D4.已知△ABC三边a,b,c所对角分别为A,B,C，且3a2A.-1 B.0 C.1 D.以上选项均不正确解析：将3a2由正弦定理得sinA+sinB变形得2tanB-tan故选B5.已知正项数列{an}满足a1=1，且1A.76<S100<6解析：令n=1，则可得a2=将1an+1-1an=1an(依据等比数列求和公式得S综上，546.长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范高校第一附属中学（华一）、河南省试验中学（省试验）三校参与华中名校杯羽毛球团体赛.这时候有四位体育老师对最终的竞赛结果做出了猜测：罗老师：雅礼是其次名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或其次名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；关老师：省试验不是第一名；其中只有一位老师猜测对了，则正确的是（）A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师依据假设法推理，可得贾老师猜测正确，选择C选项7.若a=1100e5,b=eA.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a解析：由e=2.71828...得e2<7.5，故e由常用数据得ln5≈故选D8.已知双曲线x2-y2aA.(213,+∞) B.(1,213解析：过(2,2)能作两条切线说明该点在双曲线外部，且不在该双曲线渐近线上临界状况时，点(2,2)在双曲线上，代入得e=21当渐近线经过点(2,2)时，e=综上，e∈二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.长沙市有橘子洲,岳麓山,天心阁,开福寺四个景点，一位游客来长沙市巡游.已知该游客巡游橘子洲的概率为23，巡游其他景点的概率都是12.该游客是否巡游这四个景点相互独立，A.游客至多巡游一个景点的概率为14B.C.P(X解析：略择选ABD选项10.假如一个无限集中的元素可以依据某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为a1A.N B.Z C.Q D.R解析：令a0=0,a1=1,...an对于Q，由于其区间(-∞,+∞)令a0=0，当分母为1时，分子只有一种取值，故记作a综上，集合Q可标号表示为a0,a故选ABC11.已知某四周体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是（）A.若a=2且该四周体的侧面存在正三角形，则bB.若a=3且该四周体的侧面存在正三角形，则四周体的体积VC.若a=4且该四周体的对棱均相等，则四周体的体积VD.对任意a>1，记侧面存在正三角形时四周体的体积为V1，记对棱均相等时四周体的体积为V2解析：A只需推断临界状况，易得A正确,同理，易得B错误，应为V对于C，可将四周体补体成为一个长宽高分别为b2,b2,对于D，同C可得V2=b同时易得(V1)max=13∙3综上，选ACD12.已知函数f(x)=ex+aA.当a>-3时，函数B.对于∀a∈RC.当a=-1时，，函数D.∃a∈R解析：易得ABD错误，选择ABD选项。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知cos(α+β)=cos解析：依题可变形得cos即圆x2+y运用点到直线距离公式可得cos14.已知向量e1与e2的夹角为π4，且e1=1，e2=解析：依题，(λe1+3e2)(2e综上，解得λ15.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点A,B解析：设A(x0,y0),c=a∵F1A=AB∴B(2x0两边平方得4b∵A在双曲线上，所以x02a将x02=a化简得3a2+4ab-b216.若不等式lnx≤1解析：原不等式可变形为lnx-1x≤1a(x-ab)，故ab四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义T（1）证明：T（2）解方程：8解析：（1）cosnθ=cosn而cosn-2θ联立eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)两式可得cosnθ=2cosn-1θ即T（2）留意到8若x2+2=0若x2+2记ff则fx在-∞,而f∴fx有且仅有三个零点，8x3记三个实根分别为cos由（1）知cos3∴cos3解得cos综上所述，方程的解集为218.已知单调递减正数列an，n≥2时满足an2(a（1）求an（2）证明：S（1）由a得(即a由an单调递减得则an-故1a则1an（2）要证S只需证a即证1即证2即证4即证4而此式为明显.证毕19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB(1)求证：平面PAD⊥平面PBC(2)若二面角P-AB-D的余弦值为33（1）由面面垂直的性质得到PB⊥平面PAD（2）过D作DH⊥PA，DO⊥AB，垂足分别为H，O，连接HO，由几何法可证∠DOH即为二面角P-AB-D的平面角，过O(1)由于平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB=PA，PA⊥PB，所以PB⊥平面PAD，又由于PB⊂平面PBC，所以平面PAD⊥(2)过D作DH⊥PA，DO⊥AB，垂足分别为H，由于平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB=PA，DH⊥PA，DH⊂平面PAD，所以DH⊥平面PAB，又又DO⊥AB，且DO∩DH=D，DO，DH⊂平面DHO由于HO⊂平面DHO，所以AB⊥HO，即∠不妨设AB=4，则可知AD=CD=BD=2，且AO=1，OD=3由于cos∠DOH=33，所以过O作OM⊥平面PAB，以OA则D0,1,2，P-1,2,0，所以PD=1,-1,2设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则令x=1，则y=-1，z=0，所以设直线PD与平面PBC所成角为，则sinθ=直线PD与平面PBC所成角的正弦值为220.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行其次轮注射，再次检验．假如被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为p(0<p<1).（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含p的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数X的数学期望为E(X（1）易得P(X=10)=（2）由（1）得P(X=10)=当k=2,3,...,10时，P(X=10+k)=由此可得E(X)=10P(X=