2021-2022学年安徽省滁州市来安县第三中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年安徽省滁州市来安县第三中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M且，设抛物线的焦点为F，的面积为

A．5

B10

C．20

D．参考答案：答案：B2.集合，，若，则r的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C依题：圆须与可行域有交集，由图可知：当动圆与直线相切时，最小，为；当动圆过时，最大，为.

【命题意图】此题背景来自教材，从集合角度定义线性约束条件，考查了线性规划最优解，

结合了直线与圆的位置关系，一种临界是相切，转化到线心距等于半径.另一种临界就是两

点间距离.数形结合思想解题策略.3.已知数列中，，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（

）

参考答案：D4.已知等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，则“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分充分性和必要性考虑，注意q的范围q＞0且q≠1．解答： 解：等比数列{an}的公比为q，且a1＞0，为大前提，且q＞0，且q≠1，充分性：“q＞0”时，例如0＜q＜1，推不出“数列{an}为递增数列”，充分性不成立；必要性：“数列{an}为递增数列”，则q＞1，可推出“q＞0”，必要性成立；综上，“q＞0”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题考查充要条件，综合等比数列的相关知识求解．5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D略6.设复数满足，其中为虚数单位，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

本题考查了复数的运算，难度较小。

因为，所以.7.甲、乙两人射击，每人每射四次记录一次成绩，共记录了两人各自次这样的成绩，成绩如下（单位：环） 甲：，，，，，； 乙：，，，，，；

根据数据，分析下列说法中正确的是

（

）（A）甲比乙的平均水平高（B）乙比甲的平均水平高（C）甲、乙两人平均水平相当，但甲比乙稳定（D）甲、乙两人平均水平相当，但乙比甲稳定参考答案：D略8.若定义在上的函数满足，且，则对于任意的，都有是的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：解：，函数的对称轴为由，故函数在是增函数，由对称性可得在是减函数任意的，都有，故和在区间，反之，若，则有，故离对称轴较远，离对称轴较近，由函数的对称性和单调性，可得，综上可得任意的，都有是的充分必要条件，故答案为C．考点：充分条件、必要条件的判定．9.设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：C【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．【解答】解：向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），∴+=（﹣2，7），又+=λ（λ∈R），∴，解得λ=﹣，x=﹣14；∴λ+x=﹣﹣14=﹣．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与向量相等的应用问题，是基础题目．10.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．34π B． C． D．114π参考答案：C【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出直观图，求出三棱锥的外接球的半径，即可求出几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，设底面正△BCD外接圆的圆心O1，其半径；设侧面等腰△ACD外接圆的圆心O2，则在Rt△O2CH中，r2=O2A=O2C=4﹣O2H，由得，所以，则此三棱锥的外接球的表面积为，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则·的取值范围是

。参考答案：12.已知数列{an}的首项a1=t，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=n2+2n，若对?n∈N*，an＜an+1恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：（，）【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】n=1时，S1+S2=12+2×1，得到a2=3﹣2t，当n≥2时，推导出an+an+1=2n+1，n≥2，由a2+a3=5，得到a3=2t+2，由a3+a4=7，得到a4=5﹣2t，再由对?n∈N*，an＜an+1恒成立，列出不等式组，能求出实数t的取值范围．【解答】解：∵数列{an}的首项a1=t，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=n2+2n，∴n=1时，S1+S2=12+2×1，即a1+a1+a2=3，∴a2=3﹣2t，∵Sn+Sn+1=n2+2n，①当n≥2时，Sn﹣1+Sn=（n﹣1）2+2（n﹣1），②①﹣②，得：an+an+1=2n+1，n≥2．∴a2+a3=5，∴a3=5﹣a2=5﹣（3﹣2t）=2t+2，a3+a4=7，∴a4=7﹣a3=7﹣（2t+2）=5﹣2t，∵对?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴，即，解得，∴实数t的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查数列的通项与前n项和的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围_______________.参考答案：函数的定义域为，，由得，由得，要使函数在定义域内的一个子区间内不是单调函数，则有，解得，即的取值范围是.14.若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z=x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为

．参考答案：18【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用配方得到z的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：z=x2+y2+6x﹣2y+10=（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4=0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4=0的距离d==，则z=（）2=18，故答案为：18【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．15.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为_________.

参考答案：16.在边长为1的正三角形ABC中，，x>0，y>0，且x+y=1，则的最大值为

．参考答案：略17.如图是函数的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为，则

．

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.参考答案：(Ⅰ)由题设，，两式相减，由于，所以

…………6分（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.

………12分19.已知焦点在x轴的椭圆（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过右焦点F2，和椭圆交于A，B两点，且满足，直线AB的斜率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知焦点在x轴的椭圆（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，可得a，c，b．然后求解椭圆的标准方程．（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，利用△＞0．利用韦达定理设P（x1，y1），Q（x2，y2），设M为PQ的中点，求出M点的坐标，通过TF⊥PQ，直线FT的斜率为﹣m，写出方程为y=﹣m（x﹣2）．通过直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标代入，求出t．（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x=3上任意一点可得，点T点的坐标为（3，﹣m）．求出，|PQ|，化简利用基本不等式求出最值，然后求解T点的坐标．【解答】解：（1）由已知焦点在x轴的椭圆（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，可得a=，F2（c，0），直线AB过右焦点F2，和椭圆交于A，B两点，且满足，直线AB的斜率为．设A（），B（）．可得，解得，b2=2，c=2∴椭圆C的标准方程是．…（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．于是x1+x2=m（y1+y2）+4=．设M为PQ的中点，则M点的坐标为．因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为．将M点的坐标为代入，得．解得t=3．…（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x=3上任意一点可得，点T点的坐标为（3，﹣m）．于是，|PQ|=．所以==．当且仅当m2+1=，即m=±1时，等号成立，此时取得最小值．故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．…【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.各项均为正数的等比数列{an}中,,则_______.参考答案：9【分析】求出公比，根据等比数列的前项和公式即可求解.【详解】设等比数列{an}的公比为因为，所以，解得(舍)，，则故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前项和公式，属于基础题.21.如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．

参考答案：解：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

2）

（3）且

，，∴，即==略22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）试题分析：第一问应用题中所给的条件，设出相应的椭圆的方程，根据其短轴长，可以确定的值，根据焦点和短轴的端点为一个正方形的顶点，从而确定出，进一步求得的值，从而确定出椭圆的方程，第二问根据直线的斜率和过右焦点，将直线的方程写出来，与椭圆方程联立，应用点到直线的距离求得三角形的高，应用弦长公式求得三角形的底，应用面积