初三复习专题几何探究题复习夏胜利

几何探究题思考及备考建议

光谷二初·夏胜利

目前我们的教学现状与学生学习的困难.教师：教得累；不讲白不讲，讲了等于白讲.

“对牛弹琴”学生：学得累；“对，牛弹琴”.我为什么选择这个话题几何探究CONTENTS01重视分类讨论ADDYOURTITLEHERE02加强几何作图ADDYOURTITLEHERE03注重解题规律ADDYOURTITLEHERE04专题复习建议ADDYOURTITLEHERE

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纵观近几年武汉市中考数学试卷，几何探究题不再是定格在“条件—演绎—结论”这样封闭的固定模式中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去推导不明确的结论，或由结论去探索未给予的条件，或探究结果存在的各种可能性.这其中，探索图形的运动、变化规律更是中考的热点题型.备考复习中，有些教师选择从探究的类型上对几何题进行归类，交给学生各种各样的解题方法来处理此类习题.我个人认为：快速准确的解决此类问题，数学思想的合理应用起着关键性的作用，一道几何探究题的顺利解答也往往涉及到几种数学思想方法的交织应用.因此,我结合了近五年的武汉市调考、中考试题谈一谈自己对几何探究题的认识，并提出几点复习建议，仅供各位同仁参考.

例题1.（2016·武汉中考10）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的C的个数是（）A.5B.6C.7D.8武汉市中考、调考试题带给我的启示:【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形的性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；作AB的中垂线.如图，一共有5个C点，注意，与B点重合及与AB共线的点要排除.

分类讨论思想是数学中最重要的思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行具体的讨论，另外由于题意复杂，包含情况较多也需要分门别类解答.分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是将复杂问题简单化，抽象问题具体化.分类的标准必须周全，做到不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个确定标准；（3）分类讨论应逐级进行.一.在常规教学中重视“分类讨论思想”的数学渗透

例题2.（2017·武汉中考10）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A.4B.5C.6D.7【考点】等腰三角形的判定与性质【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于H，则△ACH是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形；⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，则△BCK是等腰三角形.【解答】如图：图6图7故选D.

在初中数学教学中，学生往往感到困难重重的往往是几何题，数学学习的好坏往往就取决于几何成绩的好坏.自从进入八年级，教师教的很累，学生学得也很辛苦.一节课下来，教师可能感觉到教学很被动很低效，其原因是什么呢？原因肯定是多方面的，就我认为：几何作图教学的不到位是造成这种尴尬局面的主要原因之一.二.

在常规教学中加强“几何作图的训练，提高学生的思维能力”

例题3.（2012·武汉中考12）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为（）A.

B.C.D.或或【考点】平行四边形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质【专题】计算题；分类讨论【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，又求出CE和CF的值，相加即可得出答案.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，

①如图：由平行四边形面积公式：BC×AE＝CD×AF＝15，求出AE＝，AF＝3

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB²＝AE²＋BE²，

求出AB＝5，AE＝代入求出BE＝，

同理DF=，即F在DC的延长线上（如上图），

∴CE＝，CF＝，

即CE＋CF＝，

②如图：

∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，

同理DF＝，

由①知：CE＝，CF＝，

∴CE＋CF＝，故选D.【点评】本题是将之前连续三年中考的四边形结论题首次改为求平行四边形中线段长问题；这个题型在2000年之前经常以填空题形式出现；这道题放在选择题中难度无疑下降了许多；相比多结论选择题在难度上更是下降了很多；但是当时得学生很难适应这种变化，这种题目由于没有图形的限制通常是多解；从选项就可以知道题目有两解；学生只需要画图，通过条件发现30°这个结论；再计算会简单得多；当年有许多学生掉入陷阱因为不能准确画图，从而不易发现垂足是在延长线；在紧张的考场上又忘记比较和5的大小；直接拿5－来表示线段长，从而丢分.

例题4.（2012·武汉中考24）已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6.（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）【考点】作图；相似变换【专题】作图题【解答】（1）①△AMN∽△ABC，∴，∵M为AB中点，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，∴MN＝3；②△AMN∽△ACB，∴，∵BC＝6，AC＝，AM＝，∴MN＝1.5；（2）①如图所示：②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个.【点评】主要考查相似作图和全等作图；注意相似作图及解答有多种情况.本题是当年数学试卷中的亮点同时也是丢分的重灾区；试题设计起点很低；但是坡度很大.第一问2种情况都不难；第一是构造平行相似；一种是构造交叉相似（实质是割线定理）第二问是利用勾股进行画图难度不大；难就难在画出相似且面积最大的图形；要使得面积最大，那么相似比也应该最大；因此新三角形的最长边也应该最大；由于10×10的正方形的最长边的对角线；且原三角形的最长边为；所以相似比为.所以余下边为；；再用勾股定理即可得出图形，利用对称可以找到8个这样的点.

正确作出几何图形，是几何证明中的重要环节，在学习过程应该给予足够的重视与关注，必须使学生懂得，要学好几何，就必须掌握几何基本作图方法，知道作图的基本原理，注意作图的严谨性.1.传统的东西在逐步丢失，教师、家长包办得太多.学生作图现状：能力欠缺，训练太少.1．重视学生自行作图，提高思维能力

2.教学评价压力大，教师课堂教学必须大容量、快节奏.因而出现了：提前在黑板上画好图，在评讲试卷时提前在几何画板上准备好现成的满足条件的图形，命题试卷题题配图（没有起到示范作用），被资料绑架（图已经画好了）等等现象.而我们的学生在思考、在做作业时形成了思维定式：有图是应该的，没有图形那才是奇怪呢.殊不知，自己按照题意准确的做出图形，对理解题意、分析问题大有帮助.有时由于作图不好，给领会题意、寻找等量关系带来不便，这也是形成几何证明困难的一大原因.所以，在常规教学中把握好作图关的确不容忽视.一线三等角三.在常规教学中注重解题规律小结，重视基本图形的研究-----相似三角形判定的基本模型A字型

X字型

反A字型

反8字型母子型旋转型双垂直三垂直ADEBCABCDEA字型ABCEDMNX字型EGFEGFM练习、添平行线构造相似三角形的基本模型--A型若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.图形演变ADEBC图形演变DABEC反A型A型ABCEDABCEDMNMN图形演变

X字型（8字型）反8字型ABD

C(E)图形演变ACDE母子型B反A字型图形演变DCBAADCB双垂直母子型ADCBFE三垂直--一线三等角图形演变构造相似图形间接求已知相似图形直接求相似基本图形的运用方程思想分类思想整体思想转化思想归纳小结学会从复杂图形中分解出基本图形.

例题5.（2017·武汉中考23）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；（2）如图2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）图1图2图3【考点】相似形综合题【分析】（1）只要证明△EDC∽△EBA（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G.想办法求出EB，AG即可求出△ABE的面积；（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH等于3，作AG⊥DF于点G，设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，只要证明△AFG∽△CEH，可得，即，求出a即可解决问题；【解答】（1）如图1中，∵∠ADC＝90°，∠EDC+∠ADC=180°，∴∠EDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴ED·EA＝EC·EB.图1（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G.在Rt△CDF中，cos∠ADC＝，∴，∵CD＝5，∴DF＝3，∴CF＝＝4，∵S△CDE＝6，∴·ED·CF＝6，∴ED＝＝3，∵∠BAC＝120°，∠G＝90°，∠G＋∠BAG＝∠ABC，∴∠BAG=30°，∴在Rt△ABG中，BG＝AB＝6，AG＝＝，∵CF⊥AD，AG⊥EB，∴∠EFC＝∠G＝90°，∵∠E＝∠E，∴△EFC∽△EGA，∴，∴，∴EG＝，∴BE＝EG－BG＝－6，∴S四边形ABCD＝S△CDE－S△CDE＝(－6)×－6＝75－.图1（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3，∴tan∠E＝，作AG⊥DF于点G，设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，易证△AFG∽△CEH，∴，∴，∴，∴AD＝5a＝.图3

例题6.（2016·武汉中考23）在△ABC中，P为边AB上一点．(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；(2)若M为CP的中点，AC＝2，①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，勾股定理.【答案】（1）证△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝；②【解析】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝；

即BP＝；②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝，设P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，∴MP·P0C＝＝AP0∙BP＝x（