高中数学-直线与平面垂直的判定教学课件设计

：直线与平面垂直的判定2.3.1返回目录学习要点1.

直线和平面垂直是怎样定义的?2.

用直线和平面垂直的判定定理证明线面垂直需要哪些条件?

问题1.

在你的感觉中,直线和平面垂直是怎样一种情况?你认为怎样定义直线与平面垂直恰当?

如果直线l

与平面a

内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l

与平面a

互相垂直,记作l⊥a,直线l

叫做平面a

的垂线,平面a

叫做直线l

的垂面.

线面垂直是线面相交的一种特殊情况,线面垂直,有且只有一个公共点,即交点,这个交点叫做线面垂直的垂足.

直线与平面垂直的定义:1.

直线与平面垂直的定义

画直线和水平平面垂直,

要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.

画直线和竖直平面垂直,

要把直线画成和表示平面的平行四边形的竖直边垂直.all⊥abmm⊥b

问题2:

已知平面a

和空间任意一点P,过点P能作a

的几条垂线?为什么?a·P

结论:

过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.如果有两条,PA⊥a,PB⊥a,只有一条.垂足分别为A,B.则PA,PB确定的平面与a

相交于一直线AB.AB于是PA⊥AB,PB⊥AB,则在平面PAB内过一点有两条直线和已知直线垂直,根据平面几何知识,这显然不对.

问题3.(1)请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内,另外一条直角边不在桌面内,请问这另一条直角边与桌面垂直吗?(2)用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上,看折痕是否垂直桌面?有不垂直的可能吗?

用定义判断线面垂直不太方便,怎样有较方便的方法判断线面垂直呢,我们先看下面的问题.ABCD当A、B、C不共线时,折痕DC垂直桌面;当A、B、C共线时,折痕DC不一定垂直桌面.2.

直线与平面垂直的判定

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:labal⊥a,l⊥b,aa,ba,a∩b,⇒

l⊥a.直线与平面垂直的判定定理:由线线垂直得线面垂直.

问题4.

一旗杆高8m,在它的顶端系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上).如果这两点与旗杆脚相距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?ABCD如图,AB=8,AC=AD=10,BC=BD=6,△ABC和△ABD的三边满足勾股定理,∴AB⊥BC,AB⊥BD,而BC、BD在地面内,C、B、D不在同一直线上,即BC,BD相交,由线面垂直的判定定理知旗杆垂直于地面.a例1.

如图,已知a∥b,a⊥a.求证:b⊥a.am证明:在a

内任作两相交直线m、n,∵a⊥a,ma,⇒a⊥m,a⊥n,∵b∥a,⇒

b⊥m,b⊥n,又m与n

相交,⇒

b⊥a.

结论:两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.bnna,

练习(补充).

已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线la.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(1)∵PQ⊥a,la.∴PQ⊥l.若l⊥PA,l⊥平面PQA.QA平面PQA,l⊥QA.

练习(补充).

已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线la.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQA证明:(2)∵PQ⊥a,la.∴PQ⊥l.若l⊥QA,l⊥平面PQA.PA平面PQA,l⊥PA.

练习(补充).

已知PQ是平面a

的垂线段,PA

是平面a

的斜线段,直线la.求证:(1)

若l⊥PA,则l⊥QA;(2)

若l⊥QA,则

l⊥PA.alPQAQ

为垂线段PQ

的垂足.A

为斜线段PA

的斜足.QA

为斜线PA

在平面a

上的射影.有三条线:①平面的斜线,②斜线在平面上的射影,③平面内的一条直线l.结论:如果l⊥斜线,则l⊥射影;如果l⊥射影,则l⊥斜线.(三垂线定理)

探究题.

如图,直四棱柱ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD

满足什么条件时,AC⊥BD?ABCDABCD分析:由题中定义知,侧棱AA⊥平面ABCD,从而AA⊥BD.又要使AC⊥BD,则需BD⊥平面AAC.所以需在平面AAC内另找一条直线容易考虑的是AC是否满足?要使AC⊥BD,四边形ABCD需满足:BA=BC,且DA=DC.与BD垂直且与AA相交.(改为如下的证明题,请同学们给出证明)

如图,直四棱柱ABCD-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,已知AB=BC,AD=DC,求证:BD⊥AC.ABCDABCD证明:连结AC,∵AB=BC,BD⊥AC,AA⊥平面ABCDAA⊥BD,

BD⊥平面AACC,BD⊥AC.(定义)(判定)(定义)AD=DC,AA∩AC=A,AC平面AACC,课堂练习:(课本67页)第1、2题.课堂练习:(课本69页)1.

如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.ABCV练习:(课本67页)证明:·D取AC边的中点D,连接VD,BD.∵VA=VC,VD⊥AC,VB=BC,BD⊥AC,AC⊥平面VDB,而VB平面VDB,∴AC⊥VB.2.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.ABCPOa解:(1)如图,PO⊥a,则∠POA=∠POB=∠POC=90,又

PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,得OA=OB=OC,又∠C=90,直角三角形到三顶点的距离相等的点是斜边的中点.中点2.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.Oa解:(2)由(1)得OA=OB=OC,中点到三角形三顶点的距离相等外ABCP的点是三角形的外心.2.

过△ABC所在平面a

外一点P,作PO⊥a,垂足为O,连接PA,PB,PC.

(1)

若PA=PB=PC,∠C=90,则O

是AB

边的

.(2)

若PA=PB=PC,则O

是△ABC

的

心.(3)

若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O

是△ABC的

心.Oa解:(3)中点外由

PA⊥PB,PA⊥PC,得PA⊥平面PBC,PA⊥BC.又由PO⊥a

得PO⊥BC,于是得BC⊥平面POA,BC⊥AO.同理可得AB⊥CO,∴O为△ABC的垂心.垂ABCP练习:(课本69页)

如图,正方形SG1G2G3中,E,F

分别是G1G2,G2G3

的中点,D

是EF的中点,现在沿SE,SF

及EF

把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3

三点重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EFG

中必有()(A)SG⊥△EFG所在平面