数制与码制逻辑代数基础

数制与码制逻辑代数基础第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第2页第一章逻辑代数基础

概述

-数制

-编码三种基本运算基本公式和常用公式逻辑函数及其表示方法公式化简法卡诺图化简法具有无关项的逻辑函数化简2023/6/102第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三数字信号和模拟信号模拟信号：表示模拟量的信号，如：热电偶的电压信号(温度变化时，电压随之改变)。数字信号：表示数字量的电信号1.1概述1.1.1数字量和模拟量模拟量：在时间上和数量上都是连续的物理量，如：温度、压力、距离和时间等。数字量：

在时间上和数量上都是离散的物理量，

如：自动生产线上的零件记录量，台阶的阶数2023/6/103第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第4页1.1.2数制和编码1.十进制：日常生活和工作最常使用的进位计数制，在十进制中，每一位有0∽9十个数码，所以计数的基数是十。超过9的数必须用多位表示，其中低位与相邻高位的关系是“逢十进一”。例：十进制数的一般形式：同样可得,N进制数的一般形式：Ni为第i位的权；ki为第i位的系数；N为计数基数。一、数制143.75=1×102＋4×101＋3×100＋7×10－1＋5×10－22023/6/104第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第5页

十六进制中有16个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；每位的权为16的幂

二进制中有2个数字：0、1；每位的权为2的幂101.11=1×22＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－22.二进制：

同一个数值的二进制表示比十进制位数多，故常采用八进制和十六进制。3.二进制的缩写形式：八进制和十六进制

八进制中有8个数字：0、1、2、3、4、5、6、7；每位的权为8的幂2023/6/105第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第6页1.非十进制换成十进制方法：展开相加即可2.十进制换成其他进制方法：整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。例1：

(1011.01)2=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=(11.25)10二、数制转换：例2：

(463)8=4*82+6*81+3*80=(307)10例3：

(2FA.2)16=2*162+15*161+10*160+2*16-1=(762.125)102023/6/106第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第7页1731286低位高位余数0.8125×2(1).6250×2(1).2500×2(0).5000×2(1).0000高位低位(173)10=(10101101)2(0.8125)10=(0.1101)2例4：(173.8125)10=（？）2243211052222221200110101=(10101101.1101)22023/6/107第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第8页5433616160低位高位余数0.39×16(6).24×16(3).84×16(13).44×16(7).04高位低位(54)10=(36)16(0.39)10=(0.63D7)16例5：(54.39)10=(？)16=(36.63D7)162023/6/108第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第9页3.二进制－八进制之间的转换方法：3位二进制数刚好等于1位八进制数（一）二进制转换成八进制例6

二进制：（110011101.011）2=（110011101.011）2=（635.3）8例7二进制（10011101.01）2=（010011101.010）2

=

（235.2）8（二）八进制转换成二进制例8八进制：（345.1）8=（011100101.001）22023/6/109第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第10页4.二进制－十六进制相互转换方法：4位二进制数刚好等于1位十六进制数例9二进制：（111101000.011）2=（000111101000.0110）2=（1E8.6）16（二）十六进制转换成二进制例10十六进制：（AF.26）16=（10101111.00100110）2（一）二进制转换成十六进制2023/6/1010第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第11页三、编码3.编码方法：方法很多，常用如下表所示。1.定义：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。2.BCD码（二－十进制编码）：用4位二进制数码表示十进制数的0～9十个数字的编码方法。2023/6/1011第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第12页(1)8421BCD码各位权值依次为8、4、2、1。特点：1010、1011、1100、1101、1110和1111为禁用码组。每个码组的二进制值与所表示的十进制一致。（直观）2023/6/1012第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第13页(2)2421BCD码特点：各位权值依次为2、4、2、1。2023/6/1013第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第14页(3)余3码特点：例11：5+8便于加法（∵自动进位）。无权码；每个码组的二进制值与所表示的十进制大3。8421BCD0101(5)+1000(8)1101(禁用码）（1）0011+0110（修正）进位结论：用电路实现时，余3码加法速度快（∵进位快)。(1)00111000（5）

+1011（8）进位余3码2023/6/1014第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第15页(4)余3循环码无权码；每个码组的循环码值与所表示的十进制（循环码）大3。例12：分别用各种BCD码表示（11011001）2（11011001）2=13×16+9=217=（1000010111）8421BCD=（1000011101）2421BCD=（010101001010）余3码=（011101101111）余3循环码特点：

相邻码组（包括0与9）只有一个码元发生变化。2023/6/1015第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第16页四、格雷码（循环码）四位格雷码如右表：1.特点：相邻码组（包括0与15）只有一个码元发生变化2.构成方法：镜像法1位格雷码

012位格雷码

01镜面100011（0）（1）（2）（3）3位格雷码

00011110镜面1011010000001111（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2023/6/1016第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第17页3.二进制与格雷码的转换二进制Bn-1Bn-2…B0;格雷码Rn-1Rn-2…R0.（1）二进制---格雷码例13：（1011）2=（？）G10111110（1011）2=（1110）G（2）格雷码---二进制例14：（1110）G=（？）211101011（1110）G=（1011）22023/6/1017第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第18页1.2

逻辑代数中的三种基本运算变量取值：命题正确1；命题错误0.二、逻辑函数定义：复杂的逻辑命题，逻辑函数取值受（多输入）逻辑变量控制。即Y=F（A,B,C…).一、逻辑变量定义：简单的逻辑命题,内容可对可错，但不能模棱两可。设定变量：逻辑代数定义的变量，并用字母A、B、C、表示例：“开关S断开”为逻辑命题。“开关S可能断开”就不是逻辑命题2023/6/1018第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第19页三、逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）1、逻辑与（逻辑乘）：AB+Y_定义：定义：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。条件：开关A合上（变量A）、开关B合上（变量B）结果：灯Y亮（Y是A、B的函数）真值表表达式：“与”运算规律与门ABY&国标ABY国外常用2023/6/1019第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第20页2、逻辑或（逻辑加）：定义：定义：在决定事物结果的诸条件中只要有一个或一个以上满足，结果就会发生。条件：开关A合上（变量A）、开关B合上（变量B）结果：灯Y亮（Y是A、B的函数）真值表表达式：“或”运算规律或门+_ABYABY1国标ABY国外常用2023/6/1020第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第21页3、逻辑非：定义：定义：只要条件具备了，结果便不会发生。而此条件不具备时，结果一定发生条件：开关A合上（变量A）结果：灯Y亮（Y是A的函数）真值表表达式：“非”运算规律非门AY1国标AY国外常用A+Y_E2023/6/1021第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第22页四、几种常用的逻辑运算2.“或非”运算：1.“与非”运算：3.“与或非”运算：ABYABY1AB&CDY1ABY&国标ABY国外常用2023/6/1022第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第23页AB&CDY12023/6/1023第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第24页4.“异或”运算：表达式：真值表：逻辑符号特性（1）奇校验:变量值是1的变量个数为奇数ABY=1ABY2023/6/1024第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第25页5.“同或”运算：表达式：真值表：逻辑符号特性（1）“0”的偶校验变量值是0的变量个数为偶数Y=A⊙BABY=ABYY=A⊙B⊙C2023/6/1025第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第26页1.3基本公式和常用公式1.3.1基本公式返回2023/6/1026第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三2023/6/10第27页基本公式验证方法：真值表例：证明反演律结论：变量A、B的任意取值组合，等式两边均相等，所以等式成立。2023/6/1027第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第28页1.3.2若干常用公式公式证明一、式21:=A二、式22：=A+B分配律三、式24:返回2023/6/1028第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第29页1.4逻辑代数的基本定理1.4.1

代入定理:1、含有变量A的等式所有变量A，用函数Y代替新的等式成立2、应用：反演律的扩展用Y=B+C代替结论：2023/6/1029第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第30页1.4.2

反演定理:求反函数函数Y反函数原变量反变量，反变量原变量用反演律：用反演定理：注意运算次序：如上例，若不注意，会得到错误结果避免方法：加括号原变量：A,B,C…反变量：概念：2023/6/1030第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第31页1.4.2

对偶定理函数Y变量名不变新函数等式的对偶等式成立注意运算次序一、对偶函数Y与互为对偶函数例：Y=A+BC=A（B+C）二、

对偶定理：乘对加分配律：加对乘分配律：互为对偶等式前面介绍的基本公式和常用公式都是成双成对：对偶2023/6/1031第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第32页四种表示方法：真值表，函数式，逻辑图，卡诺图1.5逻辑函数及其表示方法+－ABCY等效电路图1.5.1逻辑函数

例举重裁判电路，规则：在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判）认定运动员动作合格，试举才算成功。逻辑抽象：

输出：指示灯Y，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯亮.

输入：主裁判开关A、两名副裁判开关分别B、C；开关闭合变量取1，开关断开变量取0.显然，Y是A、B、C的函数：Y=F(A,B,C)2023/6/1032第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第33页逻辑函数式：Y=A(B+C)三、逻辑图1.5.2

逻辑函数及其表示方法一、真值表输入输出

YABC00000010010001101000101111011111二、表达式灯亮两个条件：1、B和C至少有一个合上：B+C2、A合上：AABCY≥1&“或”关系必须同时满足“与”关系2023/6/1033第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第34页四、各种方法间的相互转换1、从真值表写出函数式：输入输出

YABC000000100100011010001011…1101…1111…方法：找出真值表中使Y＝1的变量输入组合（Y＝1的条件）写出表达式：上述条件只要一个满足，Y＝1。“或”关系A=1、B=0、C=1：A=1、B=1、C=0：A=1、B=1、C=1：其它的方式的转换呢2023/6/1034第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第35页1.5.3逻辑函数的两种标准形式：最小项之和与最大项之积(1)定义：一、最小项与最大项1.最小项

设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的与项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。例：三变量A、B、C，八个与项为三变量的八个最小项。而不是三变量的最小项。(2)表示方法：最小项记作mi,其中i=0～(2n-1)。i取值：最小项取值为1时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号。对于n个变量来说，可有2n个最小项；ABC取值为101，例：使为1时，记为m5所以2023/6/1035第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第36页任意两个最小项之积为0；即：(3)真值表：以三变量为例ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001(4)性质：只有一种变量取值使mi=1；全体最小项之和为1；2023/6/1036第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第37页（5）用最小项表示逻辑函数(逻辑函数的标准形式)输入输出

YABC0000f(0)0010f(1)0101f(2)0111f(3)1001f(4)1010f(5)1100f(6)1111f(7)（6）逻辑函数的通式：n个输入变量X=i时的函数值最小项例对应左边的真值表：最小项之和与真值表关系2023/6/1037第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第38页2.最大项(1)定义：

设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的或项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个或项为最大项。例：三变量A、B、C，共有而不是三变量的最大项。(2)表示方法：最大项记作Mi,其中i=0～(2n-1)。i取值：最大项取值为0时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最大项的编号。对于n个变量来说，可有2n个最大项；例：使为0时，ABC取值为010，所以记为M2八个与项为最大项。2023/6/1038第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第39页任意两个最大项之和为1；即：(3)真值表：以三变量为例ABC0000111111100110111111010110111110111110111110011110111101111110111101111110111111111110(4)性质：只有一种变量取值使Mi=0；全体最大项之积为0；2023/6/1039第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第40页（5）用最大项表示逻辑函数(逻辑函数的标准形式)输入输出

YABC0000f(0)0010f(1)0101f(2)0111f(3)1000f(4)1011f(5)1101f(6)1111f(7)（6）逻辑函数的通式n个输入变量X=i时的函数值最大项例对应左边的真值表：最大项之积与真值表关系2023/6/1040第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第41页例23.最大项与最小项的关系Mi与mi互补关系4.逻辑函数的两种标准形式的相互转换，

例3例12023/6/1041第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第42页1.6逻辑函数的公式化简法1.6.1逻辑函数的最简形式一.化简目的：简化电路。例：与是同一逻辑函数。显然实现后者电器简单得多。二.逻辑函数的最简“与或”形式与项最少，而且与项中的因子最少。三.逻辑函数的最简“或与”形式或项最少，而且或项中的因子最少。2023/6/1042第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第43页1.6.2常用的公式化简方法例1.6.7：例1.6.9：公式法化简的缺点：1.难；2.难以判断是否最简。解决方法：卡诺图法。2023/6/1043第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第44页图2三变量的卡诺图图3四变量的卡诺图图1二变量的卡诺图1.7逻辑函数的卡诺图化简法1.7.1逻辑函数的卡诺图表示法一、卡诺图1.结构：正方形或矩形格雷码坐标每个小方格代表1个mi或Mi。2023/6/1044第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第45页2.卡诺图特点：（1）优点：几何相邻逻辑相邻逻辑相邻：两个mi或Mi只有一个变量发生变化。

发生变化的变量是互补，因此逻辑相邻的mi或Mi是可合并，例：ABC与是逻辑相邻，可合并AC.几何相邻：相接：相对:相重:五变量和六变量卡诺图时介绍。（2）缺点：最多只能适用六变量。和m15（ABCD）例m13和m10例m82023/6/1045第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第46页二、用卡诺图表示逻辑函数例：最小项卡诺图最大项卡诺图10xx=（8，9，10，11）01x0=（4，6）1x11=（11，15）m12023/6/1046第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第47页1.7.2用卡诺图化简逻辑函数一、合并最小项的规则1.若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子。2.若四个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去二个因子。2023/6/1047第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期三第48页3.若八个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去三个因子。1总结：若2n个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去n个因子。二、卡诺图化简逻辑函数步骤：函数的标准形式卡诺图合并最小项最简式合并最小项（画圈）原则：1、乘积项个数最少（圈的个数最少）检查方法：