数值分析 一元插值

数值分析一元插值第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期三第十二讲

插值与逼近

第五章插值与逼近第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期三插值和逼近是解决什么问题的？用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期三(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算;(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法;(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;插值方法的应用:3/18第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期三

例如：在工程实践和科学实验中，经常需要建立函数关系，即y=f(x)。但通常只能观测到它的部分信息，这些值构成了观测数据：而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。

xi

x1

x2…

xnf(xi)f(x1)f(x2)…f(xn)第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期三插值的任务就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x)

，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。oxy●●●●●

y0

x1

x2

xn

y1

y2

yn

x0y=f(x)g(x)第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期三

机翼断面的下轮廓线如图所示，下表给出了下轮廓线上的部分数据。用程控铣床加工时，每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。例如，如果工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位，这时就需要求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。试完成加工所需的数据，画出曲线。

例：机床加工

xi035791112131415

yi01.21.72.02.12.01.81.21.01.6第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期三第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期三插值法:由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x)

在互异点x0,x1,...,xn

处的值y0,y1,…,yn

构造一个简单函数F(x)

作为函数y=f(x)

的近似表达式

y=f(x)F(x)使F(x0)=y0,F(x1)=y1,,F(xn)=yn(a)这类问题称为插值问题。f(x)

称为被插值函数，F(x)

称为插值函数，x0,x1,...,xn

称为插值节点。(a)式称为插值条件。

函数插值的基本问题第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期三插值函数的类型第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期三第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期三代数插值一元函数插值（一元Lagrange插值）二元函数插值（二元Lagrange插值）Hermite插值样条插值第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期三解法：设所求n次多项式为pn(x)=a0+a1x+…+anxn,由pn(xk)=yk

我们有问题:给定n+1对互异的点对(xi,yi)

i=0,1,2,…,n，求一个次数不高于n的多项式pn(x)，使得pn(xi)=yi,i=0,1,2,…,n一元函数插值第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期三ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式

由于xi互异，所以上式右端不为零，从而方程组的解a0,a1,…,an

存在且唯一。

但遗憾的是方程组是病态方程组时,阶数n越高，病态越严重。为此我们从另一途径寻求获得Pn(x)的方法----Lagrange插值和Newton插值。（这两种方法称为基函数法）。第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期三函数组在点集上线性无关的概念：设函数组{φk(x),k=1,2,…}是次数不高于n的多项式组，称在点集{x0,x1,x2,…,xm}(n<=m)上线性无关，如果向量组线性无关。第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期三问题的严格数学提法:

给定n+1对互异的实数点{xk,k=0,1,2,…,n}，实值函数f(x)在包含{xk,k=0,1,…,n}的某个区间[a,b]内有定义。设函数组{φk(x),k=0,1,…,n}是次数不高于n的多项式组，且在点集{xk,k=0,1,…,n}上线性无关。问题：在次数不高于n的多项式集合

Dn=Span{φ0,φ1,…,φn}中寻求次数不高于n的多项式pn(x)=c0φ0(x)+c1φ1(x)+…+cnφn(x)，使其满足条件

pn(xk)=f(xk),k=0,1,2,…,n此问题称为一元代数插值问题。{xk,k=0,1,…,n}

称为插值节点；f(x)称为被插值函数；{φk(x),k=0,1,…,n}称为插值基函数；pn(xk)=f(xk),k=0,1,2,…,n称为插值条件；满足插值条件的多项式称为插值多项式。第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期三插值多项式的存在唯一性:给定n+1个互异的实数点{xk,k=0,1,2,…,n}，实值函数f(x)在包含{xk,k=0,1,…,n}的某个区间[a,b]内有定义。设函数组{φk(x),k=0,1,…,n}是次数不高于n的多项式组，且在点集{xk,k=0,1,…,n}

上线性无关，那么在多项式集合Dn=Span{φ0,φ1,…,φn}中满足插值条件

pn(xk)=f(xk),k=0,1,2,…,n的次数不高于n的多项式pn(x)=c0φ0(x)+c1φ1(x)+…+cnφn(x)

是唯一的。第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期三不同的插值基函数确定f(x)不同的插值；由于n次多项式空间的基不是唯一的，因此对同一函数f(x)我们会有不同的表达形式；但由于n次多项式空间的基是相互等价的，不同的插值表达式是相互等价的！因此，我们可以选择一组特殊的基，使得插值多项式容易获得！第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期三容易证明下列多项式系都是n维多项式空间的线性无关的一组基：第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期三一般的求解过程：设由插值条件：第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期三对第一类基：导致需要求解上述线性方程组，其系数矩阵为范德蒙行列式。第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期三对第二类基：第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期三形于上式的插值多项式称为Lagrange插值多项式；{lk(x),k=0,1,…,n}称为Lagrange插值基函数，并称这种构造n次插值多项式的方法为Lagrange插值法。第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期三线性插值(n=1)

求次数≤1的多项式L1(x).

满足条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,y=f(x)y=L1(x)x0x1xy第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期三第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期三令L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2二次插值(n=2)

求次数≤2的多项式L2(x),

使其满足条件L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期三特点：构造容易，L-型插值基函数理论上有意义，但增加节点要重新计算，不适合编程计算。实际应用：只用低次插值。第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期三对第三类基：f[x0,x1,…,xk]称为k阶差商第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期三形于上式的插值多项式称为Newton插值多项式；{ωk(x),k=0,1,…,n}称为Newton插值基函数，并称这种构造n次插值多项式的方法为Newton插值法。特点：每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了

Lagrange插值的缺点，适合编程计算。实际应用：适合高次插值。第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期三0－阶差商1－阶差商2－阶差商k－阶差商第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期三差商表xf(x)—零阶一阶二阶三阶四阶x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期三

定理1:差商具有如下性质

(1)差商与函数值的关系为(2)差商与结点排列顺序无关第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期三

例:给定f(x)=lnx的数据表

xi

2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.写出四次Newton插值多项式N4(x)

解:1.差商表第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期三P4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）

-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)2.第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期三定理：设x0,x1,…,xn

是n+1个互异的实数，对于给定