数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期三第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期三4，5，6，7，8，9，10

从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？1----2----3----4----5----6----7----想一想第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期三15,5,16,16,28,32从1984到2004年金牌数

奥运

之光第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

在本章我们将学习数列的知识，学完后解决这类问题那是小菜一碟，我们拭目以待。。。第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期三2.1数列的概念与简单

表示法第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

教学目标

（1）理解数列的概念及数列的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）,能用函数的观点认识数列;

（2）了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意一项;

（3）知道递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.知识与能力第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期三过程与方法（1）培养观察能力，推理能力，发展有条理地逻辑能力；（2）经历探索数列的递推公式的的过程，体会利用递推公式获得数列每一项的过程．第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期三情感态度与价值观（1）经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；（2）让学生在民主、和谐的氛围中感受学习的乐趣；（3）在探索求数列通项公式及其运用的过程中，培养一定的逻辑关系.第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

重点：数列的概念及数列的通项公式，数列递推公式的概念.教学重难点

难点：各项的特点找出规律写出前n项的通项公式.根据递推关系求通项公式.第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力.有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。学习中应注意应用“联系”的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法．考点分析及学法指导第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

请观察:(1)2,3,4,5,6,(2)

1，3，32

，33，34，…(3)0,10,20,30,…,1000(5)-1,1,-1,1,-1,…(4)….(6)66,56,34,21,11…第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

向上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫数列.

数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项，······

数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…

其中an是数列的第n项。简记为{an}.第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期三数列的分类(1)按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列.有穷数列:项数有限的数列无穷数列:项数无限的数列第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期三(2)按的增减性分类：递减数列:从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.摆动数列;如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列.常数列:如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列.递增数列:从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列.第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

上述6个数列中的项与序号的关系有没有规律？如何总结这些规律？

数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数.如数列（1）序号12345项23456←←←←←

如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1，2，3，….代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项.第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＊（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数自变量从小到大一次取值时对应的一列函数值，且数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列可以用图像来表示：（见下页）

注意:图像上这些点都是孤立的！第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期三anOn123456710987654321数列图象是一些点an=n+1的图象第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.也满足时，才是数列的通项公式.注意：只有当a1第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期三注意:有些数列的通项公式并不唯一，如数列(5)并不是所有的数列都有通项公式，如数列(6)第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

数列通项公式an=2n-1（n≤64),只要依次用n=1，2，3，4，…64代替公式中的n，就可以求出各项，也就是说，a1=1,a2=2=2a1

a3=4=2a2……a64=263=2a63即：a1=1,an=2an-1(2≤n≤64)递推公式第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

向上面那样，如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期三题型1

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系．同时.要善于利用我们熟知的一些基本数列，建立合理的联想，转化而达到问题的解决．第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期三例1

观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：（1）（）,（2）1，2，4，8，（），32第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期三答案（1）括号内填，通项公式为:an=（2）括号内填16，通项公式为:an=2n-1分析

（1）根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改成以12为分母的分数.

（2）一看都是2的倍数，则要分析是2的几次幂.第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期三例2(1)3，8，15，24，…-1,3,-6,10,…1,0,0,0,…6，66，666，6666，…

写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期三例2解析:(1)注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6

所以an=n(n+2)。

本小题也可以与数列4，9，16，25，…(n+1)2比较，得出：an=(n+2)2-1=n(n+2).第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期三(2)各项的公共特点是负正相间。观察各项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，可将各项绝对值试迟疑序号：=1===2==所以：=于是an=(-1)n●第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

数列分子是1，0重复变化，可看成是数列1，-1，1，-1…对应项和的组成的新数列，分母是自然数列的各项，故所给数列的通项公式是(3)所给数列可改写为…an=第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期三(4)

将题设数列与数列9，99，999，9999，99999，……an=10n-1总结评述

已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路.相比较，可得an=(10n-1)第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期三常见数列的通项公式：（1）-1，1，-1，1，-1，1…，an=(-1)n（2）1，2，3，4，5，…，an=n（3)2，4，6，8，10…，an=2n（4）1，3，5，7，9…，an=2n-1（5）1，4，9，16，25…，an=n2(6)9，99，999，9999…，an=10n-1第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期三

此题型大致分两类。一类是根据前几项的特点归纳猜想出的表达式。然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列(等差或差比)方法求算通项．题型2

已知数列的递推关系求数列的通项第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期三例3

已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。a1=0，an+1=an+(2n-1)解:∵a1=0，an+1=an+(2n-1)∴a2=a1+(2×1-1)=1a3=a2+(2×2-1)=4a4=a3+(2×3-1)=9a5=a4+(2×4-1)=16∴数列{an}为：0，1，4，9，16，…∴an=(n-1)2第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期三例4

已知数列{an}满足a1=2，a2=5，a4=23，且an+1=Xan+Y,求实数X、Y的值.分析：通过地推公式求出a2，a4，解方程组，即求出未知数X、Y.解：由已知可得a2=Xa1+Y即：5=2X+Ya3=Xa2+Y=5X+Ya4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y即：23=5a2+Xa+Y①②第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期三联立①、②得方程组2X+Y=55a2+Xa+Y=23解之得：X=2Y=1

或X=-3Y=11第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期三1、数列的概念

数列是按照一定次序构成的一列数，其中数列中数的有序性是数列的灵魂.2、数列的通项公式

并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的.课堂小结

如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期三3、数列的分类按项分类：有穷数列：项数有限无穷数列：项数无限按的增减性分类：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期三如何求数列{an}的通项公式an的最大值？﹖探索延拓创新一◆第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期三思路一思路二

数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方法去求解数列中的最值问题.利用数列的单调性求解.

判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性.第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期三思路三利用an最大的一个必要条件

首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值.an≥an-1an≥an+1求解.第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期三◆﹖数列的通项公式an与前n项和公式sn探索延拓创新二第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期三an=S1

，n=1Sn-Sn-1

，n≥2an

与前n项和Sn之间的关系式为：值得注意的是，

由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n≥2两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示.第四十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期三探索延拓创新三斐波那契数列指的是这样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、……

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）.第四十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期三有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的.

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）（√5表示根号5）

第四十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期三随堂练习

一、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，9，1