数值分析 第一章 误差

数值分析第一章误差1第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三教材丁丽娟，程杞元，《数值计算方法》，北京理工大学出版社2第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%)实验作业：下列1和2选择一个,希望选21.课本每章后的一个数值实验题2.结合所学专业自选题(1)叙述实际问题(2)建立数学模型(解常微分方程组，数据拟合等)(3)设计计算方法(4)程序(matlab)(5)计算结果及分析3.交打印文件或电子文档(一次交齐,最迟结课后一周交)4.注意完全重复的实验作业没有实验作业成绩3第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三数值分析是做什么用的？数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解4第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三研究对象那些在理论上有解而又无法手工计算的数学问题例解300阶的线性方程组求6阶矩阵的全部特征值5第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三主要内容

数值代数近似求解线性方程组(直接解法,迭代解法)矩阵特征值的计算数值逼近：插值法，函数逼近数值微分与数值积分微分方程近似求解非线性方程求解常微分方程数值解法偏微分方程数值解法6第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第一章误差§2绝对误差、相对误差和有效数字§3数值计算中误差的传播§4数值计算中应注意的几个问题§1误差的来源7第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三§1误差的来源误差按来源可分为：模型误差观测误差截断误差舍入误差8第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

模型误差数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差.观测误差数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差.

截断误差求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差.9第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有：这里产生误差(记作R5)截断误差例如，利用ln(x+1)的Taylor公式计算ln2,10第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

舍入误差由于计算机只能对有限位数进行原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差。等都要按舍入运算，在运算中像在数值分析中，均假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，只讨论截断误差和舍入误差对计算结果的影响.11第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三设x*是准确值x的一个近似值，记e=xx*称e为近似值x*的绝对误差，简称误差.绝对误差一般很难准确计算,但可以估计上界.绝对误差e>0不唯一，当然e越小越具有参考价值.则称为近似值x*的绝对误差限，简称误差限.若满足§2绝对误差、相对误差和有效数字12第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例用毫米刻度的米尺测量一长度x,如读出的长度是x*=765mm,由于误差限是0.5mm,故准确值精确值x

,近似值x*和误差限

之间满足：通常记为

13第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏，如测量100m和10m两个长度，若它们的绝对误差都是1cm，显然前者的测量结果比后者的准确.因此，决定一个量的近似值的精确度，除了要看绝对误差外，还必须考虑该量本身的大小.14第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三称er为近似值x*的相对误差.

记由于x未知，实际使用时总是将x*的相对误差取为相对误差称为近似值x*的相对误差限.15第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例设x*=1.24是由精确值x经过四舍五入得到的近似值,求x*的绝对误差限和相对误差限.由已知可得:所以

=0.005,解一般地,凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.16第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三有位有效数字，精确到小数点后第位有效数字

若近似值x*满足则称x*准确到小数点后第n位.并把从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.例：问：有几位有效数字？解：4317第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例已知下列近似值的绝对误差限都是0.005,问它们具有几位有效数字?

a=12.175,b=－0.10,c=0.1,d=0.0032由于0.005＝0.5×10－2,解所以a有4位有效数字1,2,1,7;b有2位有效数字1,0;c有1位有效数字1;d没有有效数字.18第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三数x*总可以写成如下形式x*

作为x的近似值,具有n位有效数字当且仅当其中m是整数,ai是0到9中的一个数字,由此可见,近似值的有效数字越多,其绝对误差越小.

有效数字的另一等价定义19第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三故取n=6，即取6位有效数字.此时x*=1.41421.解则近似值x*可写为由于令例为了使的近似值的绝对误差小于10－5，问应取几位有效数字？20第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

相对误差限与有效数字之间的关系.

有效数字

相对误差限已知x*=0.a1a2…an×10m有n位有效数字，则其相对误差限为21第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字.22第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三基本运算中()的误差估计问§3数值计算中误差的传播如23第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例计算A=f(x1,x2).如果x1,x2的近似值为x1*,x2*,则A的近似值为A*=f(x1*,x2*),用多元函数微分近似公式可以得到绝对误差e运算可近似看成微分运算.24第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三由此可以得到基本运算中()的误差估计,

和差的误差限不超过各数的误差限之和.25第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

乘法相对误差限不超过各数相对误差限之和.26第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和.27第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关系.解所以xn的相对误差是x的相对误差的n倍.x2的相对误差是x的相对误差的2倍,的相对误差是x的相对误差的1/2倍.28第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三算法的数值稳定性

一种数值算法,如果其计算舍入误差积累是可控制的,则称其为数值稳定的,反之称为数值不稳定的.29第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三利用分部积分法可得计算In的递推公式例计算积分算法1：由此递推计算I1,I2,…,I9.解30第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三取近似值由此计算I8,I7,…,I0.并将计算公式改写为算法2：此时31第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160－0.72807.5520算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091632第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

对任何n都应有In>0,但算法1的计算结果显示I8<0,可见,虽然I0的近似误差不超过0.5×10－4,但随着计算步数的增加,误差明显增大.这说明算法1给出的递推公式是数值不稳定的.

而对于算法2,虽然初始给出的I9没有一位有效数字,但算至I6已有4位有效数字.这说明算法2中误差随着计算过程的深入是逐步递减的，因而是数值稳定的.33第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三和可得可见,随着计算步数的增加,误差迅速放大，使结果失真.由对于算法1：例计算积分34第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三算法2的计算公式为类似地可得可见，近似误差

是可控制的，算法是数值稳定的.例计算积分35第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三§4数值计算中应注意的问题如果x,y

的近似值分别为x*,y*，则z*=x*－y*

是z

=x－y的近似值.此时，相对误差满足估计式

可见，当x*与y*很接近时，z*的相对误差有可能很大.为了减少舍入误差的影响，设计算法时应遵循如下的一些原则.1.避免两个相近的数相减36第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例如在数值计算中，如果遇到两个相近的数相减，可考虑改变一下算法以避免两数相减.37第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例求方程x2－64x+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字.由求根公式有对两个相近的数相减，若找不到适当方法代替，只能在计算机上采用双精度进行计算，以提高精度.解若由仅有两位有效数字，但若采用则有四位有效数字.38第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三2.防止大数“吃掉”小数因为计算机上只能采用有限位数计算,若参加运算的数量级差很大，在它们的加、减运算中，绝对值很小的数往往被绝对值较大的数“吃掉”，造成计算结果失真.39第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例用八位十进制浮点计算A=26358713+0.8+0.2按照加法浮点运算的对阶规则，应有A=0.26358713×108+0.000000008×108+0.000000002×108由于采用八位数运算,于是有A=26358713若改变计算顺序，计算0.2+0.8+26358713，则有A=0.00000001×108+0.26358713×108=26358714在求和或差的过程中应采用由小到大的运算过程.40第四十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三3.绝对值太小的数不宜作除数由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现象.另外,设x

,y

的近似值分别为x*

,y*，则z*=x*/