数值分析 常微分方程初值问题的

数值分析常微分方程初值问题的第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y

满足Lipschitz

条件，即存在与x,y无关的常数L

使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b

处的近似值节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=

h

(常数)。第一节求解初值问题数值方法的基本原理数值解(9-1)一、初值问题的数值解第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三求解(9-1)最基本的方法是单步法单步法:从初值开始,依次求出,后一步的值只依靠前一步的，是一种逐点求解的离散化方法。典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例9-1:求解常微分方程初值问题第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三x0x1向前差商近似导数记为二、构造初值问题数值方法的基本途径以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径1.数值微分法,用差商代替微商第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三1.数值微分法,用差商代替微商亦称为欧拉折线法2.Taylor展开法得到Euler公式忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三3.数值积分法区间

将区间积分第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三1、隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+由于未知数yi+1

同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式

/*implicit*/

欧拉公式，而前者称为显式

/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。三、Euler公式的改进及梯形公式第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三2、梯形公式/*trapezoidformula*/-------显、隐式两种算法的平均3、中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数x0x2x1第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三2、梯形公式/*trapezoidformula*/4、改进的欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用显式欧拉公式作预测，算出Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三此法亦称为预测-校正法

/*predictor-correctormethod*/。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例9-2用改进的Euler方法解初值问题

解：利用可得第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三四、单步法的误差分析和稳定性1.整体截断误差和局部截断误差整体截断误差:数值解和精确解之差

整体截断误差除与步计算有关外,还与的计算有关.分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为:其中称为增量函数。如对于Euler公式其增量函数第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开:欧拉法具有

1阶精度。第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

类似可以证明改进的Euler方法具有2阶精度第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三改进的Euler方法具有2阶精度第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三2.收敛性和整体截断误差定义9-2

若某算法对于任意固定的x

=x0+nh，当h0

(同时n)时有yn

y(xn

)，则称该算法是收敛的。例9-3：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为

欧拉公式为对任意固定的x=xn=nh

，有第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理定理9-1:对IVP(9-1)式的单步法若局部截断误差为,且函数对y满足Lipschitz条件,即存在L>0,使得对一切成立,则该方法收敛,且有

由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶

第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三对改进的Euler法,于是有

设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三3.稳定性一般分析时为简单起见，只考虑模型方程常数，可以是复数第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三一般分析时为简单起见，只考虑模型方程

当步长取为h

时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于绝对稳定，的全体构成绝对稳定区域。我们称方法A比方法B稳定，就是指A的绝对稳定区域比B的大。hlh=h第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例：考察显式欧拉法的稳定性

0-1-2ReImg例：考察梯形的稳定性

可见绝对稳定条件是：显式欧拉法的稳定性条件是第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三可见绝对稳定区域为：210ReImg注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法好。解：第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三两式相减，得第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三隐式欧拉公式是一阶方法第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三例：对于常微分方程初值问题证明隐式欧拉公式是一阶方法。解：隐式欧拉公式是一阶方法第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第二节高精度的单步法在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法一、基本原理第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三Runge-Kutta法的一般形式第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三二、二阶龙格－库塔方法第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三三、三阶龙格－库塔方法第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三四、四阶龙格－库塔方法第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三