考研数学公式定理汇总2012完全版

反函数.𝑦=𝑓(𝑥)单调连续，则有𝑥=𝑓−1(x)存在,𝑦=𝑥3.幂函数𝑦=𝑥𝑎，指数函数𝑦=𝑎𝑥，对数函数𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥双曲正 ，双曲余 𝑒𝑥 𝑒𝑥双曲正 ，双曲余 𝑡ℎ𝑥 𝑒𝑥双曲𝑐ℎ2𝑥−𝑠ℎ2𝑥=1，𝑠ℎ2𝑥=2𝑠ℎ𝑥𝑐ℎ𝑥，𝑐ℎ2𝑥=𝑐ℎ2𝑥+函数极限定义：设函数𝑓(𝑥)在点𝑥0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定正数εδ0<|x𝑥0|𝛿x，对应的函数值𝑓(𝑥)|𝑓(𝑥)−A就叫函数𝑓(𝑥)x→𝑥0𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥)=定理（函数局部保号性：如果𝑙𝑖𝑚𝑥𝑥0𝑓(𝑥𝐴A>0（A<0），那么存在点𝑥0的某一去心邻定理：如果在𝑥0的某一去心邻域内𝑓(𝑥)≥0(𝑓(𝑥)≤0)且lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=𝐴A≥0(A≤), 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥)=𝑙𝑖𝑚

=𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0𝑔如果𝑙𝑖𝑚𝛽=0，𝛽是比𝛼高阶的无穷小，记为：𝛽=如果𝑙𝑖𝑚𝛽=∞，𝛽是比𝛼如果𝑙𝑖𝑚𝛽=𝑐≠0，𝛽与𝛼是同阶无穷小，记为：𝛽=如果𝑙𝑖𝑚𝛽=1，𝛽α是等价无穷小，记为：α~β⟺𝛽=𝛼+函数连续定义：设函数𝑓(𝑥)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数𝑓(𝑥)当𝑥𝑥0时极限存在，且等那么就称函数𝑓(𝑥)在点x0

𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0虽在𝑥=𝑥0有定义，但lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)虽在𝑥=𝑥0有定义，且lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)存在，但lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)≠𝑓(x0；m≤c≤M,则∃𝜀∈(ab)使𝑓(𝜀)=零值定理：若𝑓(𝑎)∙𝑓(𝑏)<0,则∃𝜀∈(𝑎𝑏)使𝑓(𝜀)=第一类间断点(可去、跳跃若lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=𝐴≠𝑓(𝑥0)或𝑓(𝑥0)不存在，则𝑥=𝑥0为可去间断点 若lim𝑥→𝑥−𝑓(𝑥)=𝐴lim𝑥→𝑥+𝑓(𝑥)=𝐵A≠B，则𝑥=𝑥 1

𝑠𝑖𝑛

1𝑙𝑖𝑚(1

)＝𝑒 =1或𝑙𝑖𝑚(1+𝑥)𝑥＝𝑒或𝑙𝑖𝑚(1

)

𝑥→0 𝑙𝑖𝑚∑

𝑖)

1=∫连续⃗⃗有界

𝑛 𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵=

𝐴+ 𝐴+

𝐴− 𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵=𝐴−

𝐴+ 𝐴+

𝐴−𝐴−𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐵=

𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑐𝑜𝑠𝐵=

𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵

sin(𝐴+𝐵)+sin(𝐴− 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵

sin(𝐴+𝐵)−sin(𝐴−𝐵)𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵

cos(𝐴+𝐵)+cos(𝐴− 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=

cos(𝐴+𝐵)−cos(𝐴−𝐵)等价无穷小常用量(𝑥→0时1𝑠𝑖𝑛𝑥~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥~𝑡𝑔𝑥~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥~𝑙𝑛(1+𝑥)~𝑒𝑥−1~𝑥,𝑙𝑛(1+𝑥)−𝑥~21

𝑎𝑥−1=𝑒𝑥𝑙𝑛𝑎−1~𝑥𝑙𝑛𝑎其精度取决于林展

1−𝑐𝑜𝑠𝑥

(1+𝛼𝑥)𝛽−1~𝛼𝛽𝑥(𝛽>2lim∆𝑦=lim𝑓(𝑥0𝑥)𝑓(𝑥0)=lim𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)=lim𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)=∆𝑥→0 𝑥−存在，则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0可导，记为导数存在的充要条件:导数存在3.导数的几何意义，曲线𝑦=𝑓(𝑥)M(𝑥0,𝑦0𝑦−𝑦0=𝑓′(𝑥0)(𝑥−04.微分：𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的微分为𝑑𝑦|𝑥=𝑥=0∆𝑦=𝑑𝑦𝑜(𝑑𝑦)，𝑑𝑦为∆𝑦 可导⃗连续⃗极限存(𝐶)’= (𝑒𝑥)′= (𝑎𝑥)′= (𝑙𝑛𝑥)′=

𝑥)′=(sin𝑥)’=cos (cos𝑥)′=−sin (𝑡𝑎𝑛𝑥)′= (𝑐𝑜𝑡𝑥)′=−𝑐𝑠𝑐(𝑠𝑒𝑐𝑥)′=𝑠𝑒𝑐𝑥∙ (𝑐𝑠𝑐𝑥)′=−𝑐𝑠𝑐𝑥∙

(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)’=

(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥)’=

(𝑙𝑛(x+√𝑎2+𝑥2))′ (𝑠ℎ𝑥)’= (𝑐ℎ𝑥)’=

1( =

𝑛

(𝑙𝑛𝑥)(𝑛)=(−1)𝑛−1𝑛−

(𝑒𝑥)(𝑛)= (𝑎𝑥)(𝑛)=𝑎𝑥𝑙𝑛𝑛(𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥)(𝑛)=𝑘𝑛sin(𝑘𝑥+𝑛∙ (𝑥𝑚)(𝑛)=𝑚(𝑚−1)(𝑚−2)⋯(𝑚−𝑛+

求导 (𝑛−1) 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 𝑣+𝑛𝑢 𝑣+

𝑣++𝑛(𝑛−1)⋯(𝑛−𝑘+1)𝑢(𝑛−𝑘)𝑣(𝑘)+⋯+𝑢𝑣(𝑛)=∑𝐶𝑘𝑢(𝑛−𝑘)

𝑢′

(u±𝑣)′=𝑢′± (𝑢𝑣)′=𝑢′𝑣+ ()′

幂指函数求 𝑢=𝑢(𝑥)>0,𝑣=𝑣(𝑥),𝑢(𝑥)≠

(𝑢𝑣)′=(𝑒𝑣𝑙𝑛𝑢)′=𝑢𝑣[𝑣′𝑙𝑛𝑢 ′′方法一:𝐹=𝐹(𝑥𝑦)𝑦′′方法二:𝑥𝑦𝑥 𝑑𝑦=𝑦′𝑑𝑦2切线方程 𝑦−𝑦0=𝑓′(𝑥)(𝑥−𝑥0|𝑦′′

|𝜑′𝜓′′

′ 𝐾= 参数式:𝐾= 3 极坐标式:𝐾=

(1+𝑦′2

(𝜑′

+𝜓′2

+𝑟′2曲率半径 𝑅= 如果𝑓′(𝑥)=0，则𝑥为函数𝑦=𝑓(𝑥 𝑓′(𝑥)=0，𝑓′′(𝑥)>0 𝑓′(𝑥)=0，𝑓′′(𝑥)<0 =拐点求法𝑓′′(𝑥)=𝑓′′(𝑥0)lim𝑥𝑓(𝑥)=𝑦0,则𝑦=𝑦0𝑦=𝑓(𝑥)lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=∞,则𝑥=𝑥0𝑦=𝑓(𝑥)

若lim𝑥→∞𝑓(𝑥)=𝑎≠0,lim𝑥→∞(𝑦−𝑎𝑥)=

则𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑓(𝑥)函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎𝑏]上连续，在开区间(𝑎𝑏)内可导，且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏),则∃ξ∈(𝑎,𝑏),使𝑓′(ξ)=函数𝑓(𝑥)在闭区间[𝑎𝑏]上连续，在开区间(𝑎𝑏)内可导，则∃ξ∈(𝑎𝑏)𝑓(𝑏)−𝑏− =函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)在闭区间[𝑎𝑏]上连续，在开区间(𝑎𝑏)内可导，且𝑔’(𝑥)≠0,则∃ξ∈(𝑎𝑏)𝑓(𝑏)− 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)=零值定理：如果函数𝑓(𝑥)I上的导数≡0，那么𝑓(𝑥)I若𝑓(𝑥)在点𝑥0的某一领域内具有直到𝑛+1阶导数,𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0 (𝑥−𝑥0)

(𝑥−𝑥0)2+⋯

𝑓(𝑛)(𝑥0 (𝑥−𝑥0)𝑛+𝑅𝑛(𝑥)𝑅𝑛(𝑥)

(𝑛+

(𝑥−𝑥0 (ξx与𝑥0之间此式称为带有日余项的n林𝑓(𝑥)=𝑓(0)

𝑥

𝑥2+⋯

𝑥𝑛

(𝑛+

(ξ0与𝑥之间7.函数单调性判定法：𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]上连续，在(𝑎𝑏)如果在(𝑎𝑏)内，𝑓’(𝑥)>0，则𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]如果在(𝑎𝑏)内，𝑓’(𝑥)<0f(x)在[𝑎𝑏]定理（必要条件：设函数𝑓(𝑥在点𝑥0处可导，且在𝑥0处取得极值，则𝑓′(𝑥0)=即：可导函数𝑓(𝑥)的极值点必是它的驻点.但函数的驻点不一定是极值点曲线的凹凸定义：设𝑓(𝑥)II上任意两点𝑥1，𝑥2𝑓(𝑥1+𝑥2)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2 则称𝑓(𝑥)I𝑓(𝑥1+𝑥2)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2 则称𝑓(𝑥)I定理：设𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]上连续，在(𝑎𝑏)若在(𝑎𝑏)内𝑓′′(𝑥)0，则𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]若在(𝑎,𝑏)内𝑓′′(𝑥)<0，则𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]11.设𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0𝑛𝑓’(𝑥0)=𝑓′′(𝑥0)=⋯=𝑓(𝑛−1)(𝑥0)=0 𝑓(𝑛)(𝑥0)≠0(𝑛≥n为偶数且𝑓(𝑛)(𝑥0<0则𝑓(𝑥0){n为偶数且𝑓(𝑛)(𝑥0>0则𝑓(𝑥0)为极小值若n为奇数，则𝑓(𝑥0)必定不是极值2原函数的定义，连续函数一定有原函数(但不一定能积出来，如：𝑒𝑥2∫其中记号 ∫𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥=𝑢𝑣−∫基本积分（积分表－共32个积分1∫0𝑑𝑥=𝐶 ∫𝑘𝑑𝑥=𝑘𝑥+𝐶 ∫𝑥𝑢𝑑𝑥𝑢+

1𝑥𝑢+1+𝐶 ∫𝑑𝑥=ln|𝑥|+∫𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑒𝑥+𝐶 ∫𝑎𝑥𝑑𝑥=𝑙𝑛𝑎+𝐶 ∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶,∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥+∫𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥=−ln|𝑐𝑜𝑠𝑥|+𝐶 ∫𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥=ln|𝑠𝑖𝑛𝑥|+∫𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥=𝑡𝑎𝑛𝑥+𝐶,∫𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑡𝑥+∫𝑐𝑠𝑐𝑥𝑑𝑥=ln|𝑐𝑠𝑐𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑥|+𝐶 ∫𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥=ln|𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑥|+∫𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑐𝑥+𝐶 ∫ =√𝑎2−

+𝐶 =𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥+√1− 𝑥− 𝑥+∫𝑎2+𝑥2=𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑎+𝐶 ∫𝑥2−𝑎2=2𝑎ln |+𝐶 ∫1+𝑥2=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑥+ ∫ =𝑙𝑛(𝑥+√𝑥2+𝑎2)+𝐶 ∫ =𝑙𝑛|𝑥+√𝑥2−𝑎2|+√𝑥2+ √𝑥2−𝑥√𝑥2−𝑎2−𝑎2𝑙𝑛|𝑥+√𝑥2−𝑎2|+ ∫

−𝑎𝑑𝑥= √𝑥2+𝑎2 𝑙𝑛|𝑥+√𝑥2+𝑎2|+∫

+

𝑑𝑥=√

2 ∫√𝑎2−𝑥2𝑑𝑥=

−

+2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑎+∫𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥𝑑𝑥=𝑎2+𝑏2(𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥)+∫𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥𝑑𝑥=𝑎2+𝑏2(𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥−𝑏𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥)+1∫𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔𝑥+ln|𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑡𝑔𝑥|)+𝐶 ∫𝑐ℎ𝑥𝑑𝑥=𝑠ℎ𝑥+1∫𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔𝑥−ln|𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑡𝑔𝑥|)+𝐶 ∫𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥=𝑐ℎ𝑥+ 1− 𝑠𝑖𝑛2𝑥=1+𝑡𝑔2 𝑐𝑜𝑠2𝑥=1+ 𝑡𝑔2𝑥=1−𝑡𝑔2定积分定义(P278,P108,本册P226项定理：设𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上连续，则𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]定理：设𝑓(𝑥)在区间[𝑎𝑏]上有界，且只有有限个第一类间断点，则𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]Mm分别为函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎𝑏]𝑚(𝑏−𝑎)≤∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥≤𝑀(𝑏− ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=−∫ 定积分中值定理：若𝑓(𝑥)在[𝑎𝑏]上连续,则∃ξ∈(ab)∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑓(𝜉)(𝑏−--

𝑦=𝑏−𝑎∫,∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑥)|𝑏=𝐹(𝑏)−奇偶性质(前提：𝑓(𝑥)在[−𝑎𝑎]|𝑓(𝑥)连续)

∫𝑓(𝑥𝑑𝑥=2∫𝑓(𝑥 |∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥= |∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡对于∀𝑎𝑅∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑛−1∙𝑛−

31𝑛− ⋯∙ n𝑛−∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥=∫𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥= 42𝑛−1𝑛− 4 ∙ ⋯∙ n 𝑛− 5 𝑚! 𝐼𝑚−𝑛=∫𝑥𝑚(1−𝑥)𝑛𝑑𝑥=∫𝑥𝑛(1−𝑥)𝑚𝑑𝑥 𝑚+𝑛+1 ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡T为周期⟺∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑇𝑓𝑥𝑑𝑥=∫2 (

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑛∫ 特殊技巧(500(1)若𝑓(𝑎)=0 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥−𝑏)=−∫(𝑥− (2)： 𝑒−𝑥𝑑𝑥

𝑏 𝑠=∫√1+𝑦′2物理应用（功、液体静压力

𝑠= √𝑥′2(𝑡)+𝑦′2𝛽 𝑠=∫√𝑟2(𝜃)+𝑟′2(𝜃)

𝑦′

=𝑓(𝑥,𝑦)=

=∫解法：令𝑢=

,𝑦=𝑢𝑥,𝑦′=𝑢+𝑥𝑢′

𝑦′

=𝑓(𝑥,𝑦)=𝑔(

∫𝑔(𝑢)−𝑢=∫𝑥𝑦′+𝑃(𝑥)𝑦= 𝑦=𝐶𝑒−𝑦𝑃(𝑥)𝑦= 通解:𝑦=𝑒𝑃(𝑥)𝑑𝑥[∫𝑄(𝑥𝑒𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥+

𝑦′+𝑃(𝑥)𝑦=𝑄(𝑥)𝑦𝑎 (𝑎≠𝑦−𝑎𝑦′+𝑃(𝑥)𝑦1−𝑎=令𝑦1−𝑎=𝑢,(1−𝑎)𝑦−𝑎𝑦′=𝑢′,𝑦−𝑎𝑦′= 1−𝑢′+(1−𝑎)𝑃(𝑥)𝑢=(1−𝑢=𝑦1−𝑎=𝑒(1−𝑎𝑃(𝑥)𝑑𝑥[∫(1−𝑎)𝑄(𝑥𝑒∫(1−𝑎)𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥+不显含𝑦𝑦’’=𝑓(𝑥解法令𝑦’=𝑃(𝑥𝑦’’=𝑃’(𝑥),𝑃’(𝑥)=𝑓(𝑥,不显含𝑥𝑦’’=𝑓(𝑦解法令𝑦′=𝑃(𝑦)𝑦′′=

∙

=𝑃′(𝑦∙𝑃(𝑦)

𝑃(𝑦) =𝑓(𝑦,𝑦′′+𝑝𝑦′+𝑞𝑦= 𝜑(𝑟)=𝑟2+𝑝𝑟+𝑞= 𝑟1,𝑟2为其特征𝑟1≠𝑟2实数𝑟1=𝑟2实数𝑟12=𝛼± (𝛼,𝛽为实数

𝑦=𝐶1𝑒𝑟1𝑥𝐶2𝑦=(𝐶1𝐶2𝑦=𝑒𝛼𝑥(𝐶1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+𝐶2𝑦′′+𝑝𝑦′+𝑞𝑦=𝑓(𝑥)(≢通 𝜑(𝑟)=𝑟2+𝑝𝑟+𝑞= 𝑟1,𝑟2为其特征(1)𝑓(𝑥)=①当𝑟1,𝑟2≠𝜆时，设𝑦∗=

()②当𝑟1=𝜆(≠𝑟2)时，设𝑦∗=③当𝑟1𝑟2𝜆时，设𝑦(2)𝑓(𝑥)=①当𝑟1,𝑟2≠𝜆时，设𝑦∗=②当𝑟1=𝜆(≠𝑟2)时，设𝑦∗=③当𝑟1=𝑟2=𝜆时，设𝑦∗=

𝜑𝑦𝜑′(𝜆𝑥𝑒𝑦∗𝜑′′(𝜆)𝑥2注：当𝜆=0时，𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)(3)𝑓(𝑥)=𝑒𝜆1𝑥𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥或𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥①当𝑟1,𝑟2≠𝜆=𝜆1+𝑖𝜔时，设𝑦∗=𝑒𝜆1𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥+𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥②当𝑟1=𝜆=𝜆1𝑖𝜔(≠𝑟2)时，设𝑦∗=𝑥𝑒𝜆1𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥+𝐵𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥注：当𝜆1=0时，𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥(或𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)𝑥2𝑦′′+𝑝𝑥𝑦′+𝑞𝑦=解 令𝑥=𝑒𝑡,𝑡=𝑙𝑛𝑥代入原方程化

+(𝑝−

𝑞𝑦= (二阶线性常系数微分方程 lim𝑓(𝑥𝑦=𝐴指(𝑥𝑦)→(𝑥,𝑦) 𝑥注：否定极限存在通常用直线族𝑦𝑘𝑥，若极限随𝑘 lim𝑓(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥,𝑦)则函数𝑧=𝑓(𝑥𝑦)在点( 𝑥 =lim𝑓(𝑥0+∆𝑥,𝑦0)−𝑓(𝑥0,𝑦0)=𝑓′(𝑥,𝑦𝜕𝑥(𝑥,𝑦 =lim𝑓(𝑥0,𝑦0+∆𝑦)−𝑓(𝑥0,𝑦0)=𝑓′(𝑥,𝑦

(𝑥0,

注：二阶偏导数连续⟹∂x∂y=∂y (充分条件复合函数的偏导数(全导数𝐹(𝑥𝑦)=0，确定𝑦=𝑦(𝑥)𝐹(𝑥𝑦,𝑧)=0，确定𝑧=𝑧(𝑥,𝑦)

𝑦′=𝑑𝑦=− 𝜕𝑥=−

{𝜕𝑦=−(1)定义：𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)在点(𝑥0,𝑦0的全增量∆𝑧=𝑓(𝑥0𝑥𝑦0+∆𝑦)𝑓(𝑥0,𝑦0)∆𝑧=𝐴∆𝑥+𝐵∆𝑦+其中𝐴𝐵与∆𝑥𝑦无关，𝜌=√(∆𝑥)2+(∆𝑦)2则称函数𝑧=𝑓(𝑥𝑦)在点(𝑥0,𝑦0可微，且称𝐴∆𝑥𝐵∆𝑦为函数𝑧=𝑓(𝑥𝑦)在点(𝑥0,𝑦0处的全微分，记作𝑑𝑧|(𝑥0参数式：𝑥=𝑥(𝑡),𝑦=𝑦(𝑡),𝑧=𝑧(𝑡) 𝜏={𝑥′(𝑡0),𝑦′(𝑡0),𝑧′(𝑡0)}①曲面为隐式表示:𝐹(𝑥𝑦,𝑧)=法向量𝑛={𝐹′𝑥,𝐹′𝑦,𝐹′𝑧}|(𝑥0,𝑦0,𝑧0)={𝐹′𝑥(𝑥0𝑦0𝑧0)𝐹′𝑦(𝑥0𝑦0𝑧0),𝐹′𝑧(𝑥0𝑦0②曲面为显式表示:𝑧=𝑓(𝑥令𝐹=𝑓(𝑥𝑦)−法向量𝑛={𝑓′(𝑥𝑦)𝑓′

𝑦,−1}此时𝑛与z𝑥0, 0,参数式：𝑥=𝑥(𝑡)𝑦=𝑦(𝑡)𝑧=𝑧(𝑡)点𝑀0(𝑥0𝑦0𝑧0)→𝑡=切线方 𝑥−𝑥0=𝑦−𝑦0=𝑧−𝑥′(𝑡0 𝑦′(𝑡0 𝑧′(𝑡0 𝑥′(𝑡0)(𝑥−𝑥0)+𝑦′(𝑡0)(𝑦−𝑦0)+𝑧′(𝑡0)(𝑧−𝑧0)=0曲面Σ:𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=0𝑀0(𝑥0𝑦0𝑧0)𝜖Σ切平面方 𝐹′𝑥(𝑥0,𝑦0,𝑧0)(𝑥−𝑥0)+𝐹′𝑦(𝑥0,𝑦0,𝑧0)(𝑦−𝑦0)+𝐹′𝑧(𝑥0,𝑦0,𝑧0)(𝑧−𝑧0)=法线方 𝑥− 𝑦− 𝑧−𝐹′𝑥(𝑥0,𝑦0, 𝐹′𝑦(𝑥0,𝑦0,𝑧0 𝐹′𝑧(𝑥0,𝑦0,求𝑧=𝑓(𝑥𝑦)的极值步骤（充分条件∂x={∂y=

(𝑥0, ②A=∂x2|(𝑥0,𝑦0),B=∂x∂y|(𝑥0,𝑦0) C=∂y2|(𝑥0ⅰ若𝐵2−𝐴𝐶<0，则(𝑥0,𝑦0为极值点，当A<0时，𝑓(𝑥0,𝑦0为极大值；当A>0时，𝑓(𝑥0𝑦0为极小ⅱ若𝐵2𝐴𝐶0，则𝑓(𝑥0𝑦0)非极值ⅲ若𝐵2−𝐴𝐶＝0,必须另行讨论P180P67，500题 ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦=∫𝑑𝑥 𝑓(𝑥, ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦=∬𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,3.体积（以曲面𝑧=𝑓(𝑥𝑦)

𝐷𝑟4.曲面面积（曲面𝑧=𝑓(𝑥𝑦)单值重心𝑥,质 ∬𝜌(𝑥,

𝑉=∬|𝑓(𝑥,𝑆=∬√1+𝑧′2𝑥+平面薄片的转动惯量（I的下标表示到?轴的距离的平方𝐼𝑥=∬𝑦2𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼𝑦=∬𝑥2𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦,𝐼0=∬(𝑥2+𝑦2)𝜌(𝑥,Dy∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

，当𝑓(𝑥𝑦)𝑥2∬𝑓(𝑥,{

，当𝑓(𝑥𝑦)𝑦D的边界方程关于𝑥𝑦有轮换性，D关于𝑦=𝑥∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦＝∬𝑓(𝑦,𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

∬[𝑓(𝑥,𝑦)+𝑓(𝑦,2 形如𝑢1+𝑢2+𝑢3+⋯+𝑢𝑛+⋯

𝑛=1𝑢𝑛，其中𝑢𝑛(n=1,2 𝑆𝑛=∑𝑢𝑖=𝑢1𝑢2+⋯+ lim𝑆𝑛𝑆𝑢𝑛S称为𝑢𝑛 lim𝑆𝑛∑𝑢𝑛发散，此时∑𝑢𝑛 ∞∑𝑢𝑛=𝑆(收敛)⟹lim𝑢𝑛=0（逆否命题成立 𝑢𝑛与𝑣𝑛⟹∑(𝑢𝑛𝑣𝑛) 𝑢𝑛𝐾𝑢𝑛收敛(KK 𝑢𝑛𝑣𝑛⟹∑(𝑢𝑛𝑣𝑛) ∑𝑢𝑛与∑𝑣𝑛⇏∑(𝑢𝑛𝑣𝑛) p>1 ①𝑃级 ∑ p=1，为调和级数∑1发散，广义𝑃级数

1{p>1𝑛=1{∞

p<1

1

𝑛𝑝0<𝑝≤1|𝑞|<1②等比级 ∑𝑞𝑛 1− |𝑞|≥1 ③级 ∞(1)判别法（比值判别法lim𝑢𝑛+1=

<1∑𝑢𝑛∞𝑛→∞ (2)根值∞

lim𝑛√𝑢𝑛=∞

1𝑢𝑛 ∞∞∞1𝑢𝑛 时𝑣𝑛收敛𝑢𝑛时①0≤

≤

∞

∞

𝐶≠0,，则𝑢𝑛与𝑣𝑛

∞ 𝑛

𝐶0，若∑𝑣𝑛收敛⟹𝑢𝑛𝑛→∞

∞

∞𝐶=+∞，若∑𝑢𝑛∑𝑣𝑛 ∞

正项级数∑𝑢𝑛收敛⟺部分和𝑆𝑛 (1)交错级 ∑(−1)𝑛−1𝑢𝑛(或∑(−1)𝑛 ,𝑢𝑛>0(𝑛=1,2,3,⋯ (2)判别

∞{𝑢𝑛≥𝑢𝑛+1𝑢𝑛单减)⟹∑(−1)𝑛𝑢lim𝑢𝑛= ∞任意项级数∑ 绝对收敛：若∑|𝑢𝑛|收敛，则称 𝑢𝑛绝对收 条件收敛：若∑|𝑢𝑛|发散，而∑𝑢𝑛收敛，则称∑𝑢𝑛 ∑|𝑢𝑛|收敛⟹∑𝑢𝑛收 （绝对收敛⟹收敛

∑𝑎𝑛𝑥𝑛=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛+

(𝑎𝑛,𝑛=0,1,2,⋯,均为实数 定理：设级数𝑎𝑛𝑥𝑛，若在𝑥𝑥0处收敛，则𝑎𝑛𝑥𝑛在|𝑥||𝑥0|的所有𝑥 ∞若在𝑥𝑥0处发散，则𝑎𝑛𝑥𝑛在|𝑥||𝑥0|的所有𝑥收敛半径的定义（收敛半径为正数注：收敛点特殊情况：0或∞R=0或R>0x=-Rx=R

∑𝑎𝑛(−𝑅)𝑛与∑𝑎𝑛𝑅𝑛都发散，则收敛域为(−𝑅, ∑𝑎𝑛(−𝑅)𝑛收敛，∑𝑎𝑛𝑅𝑛发散，则收敛域为[−𝑅, ∑𝑎𝑛(−𝑅)𝑛发散，∑𝑎𝑛𝑅𝑛收敛，则收敛域为(−𝑅, ∑𝑎𝑛(−𝑅)𝑛与∑𝑎𝑛𝑅𝑛都收敛，则收敛域为[−𝑅, (1)（比值）判别𝑢𝑛(𝑥)=𝑎𝑛lim|𝑢𝑛+1(𝑥|=lim|𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1|=lim|𝑎𝑛+1||𝑥|=𝜌|𝑥|<1→|𝑥|<1=𝑅(收敛半径 (2)根值1lim𝑛√|𝑢𝑛(𝑥)|=lim𝑛√|𝑎𝑛𝑥𝑛|=lim𝑛√|𝑎𝑛||𝑥|=𝜌|𝑥|1→|𝑥| =𝑅(收敛半径

级数与林级lim𝑅𝑛(𝑥)=0,𝑅𝑛(𝑥)为𝑓(𝑥)的余𝑓(𝑥)的级数：𝑓(𝑥0)

(𝑥−𝑥0)

(𝑥−𝑥0)2+⋯

𝑓(𝑛)(𝑥0 (𝑥−𝑥0)𝑛+𝑓(𝑥)的林级数：𝑓(0)∞

𝑥

𝑥2+⋯

𝑥𝑛+幂级数∑𝑎𝑛𝑥𝑛的和函数𝑆(𝑥)I x ∫S(x)dx=∫(∑𝑎𝑥𝑛)𝑑𝑥=∑(∫𝑎𝑥𝑛𝑑𝑥)=

0

𝑛+∞幂级数∑𝑎𝑛𝑥𝑛的和函数𝑆(𝑥)在其收敛域I 𝑆′(𝑥)=(∑𝑎𝑛𝑥𝑛)=∑𝑛𝑎𝑛

𝑒𝑥=1+𝑥+2!+⋯+𝑛!+⋯=

𝑥∈(−∞,

∞𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑥− + − +⋯+(−1)𝑛

)+⋯=∑(−1)𝑛

),𝑥∈(−∞,

2𝑛+1

2𝑛+1∞𝑐𝑜𝑠𝑥=1−𝑥2+𝑥4−𝑥6+⋯+(−1)𝑛𝑥2𝑛+⋯= 6

𝑥∈(−∞, =1+𝑥+𝑥2+⋯+𝑥𝑛+⋯=∑1−

,𝑥∈(−1,

1+

同理将𝑥换为−𝑥即可

ln(1+𝑥)=𝑥−𝑥2+𝑥3−⋯+ = = ,𝑥∈

𝑛+ (1+𝑥)𝑎=1+𝑎𝑥

𝑎(𝑎−

∞𝑥2+⋯=

𝑎(𝑎−1)(𝑎−2)⋯(𝑎−𝑛+

当𝑎≤−1时，𝑥∈(−1,1)；当−1<𝑎<0时，𝑥∈(−1,1]；当𝑎>0时，𝑥（三）级以2𝑙为周期的周期函数𝑓(𝑥)，在一个周期(−𝑙,𝑙)则𝑓(𝑥)的级数收敛，12

[𝑓(𝑥−0)+𝑓(𝑥+其中系数𝑎𝑛,𝑏𝑛

𝑓(𝑥)

2

+∑(𝑎𝑛

+𝑏𝑛

𝑙1

1𝑎0=∫𝑎𝑛=∫

(𝑛=1,2,3,⋯𝑙 𝑏𝑛 ∫

(𝑛=1,2,3,⋯𝑙 2：𝑓(𝑥)为奇函数时，余下正弦项；𝑓(𝑥)为偶函数时，余下余弦项注3：延拓与函数奇偶性无关，奇、偶函数均可奇、偶延拓2 0𝑎0=0,𝑎𝑛=0,(𝑛=1,2,3⋯),𝑏𝑛=𝑙∫𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛 (𝑛=1,2,3,⋯0

∞𝑓(𝑥)=

,𝑥∈(0,𝑙)|𝑓(−𝑥)=2 𝑏𝑛=0,𝑎0=𝑙∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥,𝑎𝑛=𝑙∫ 𝑙 (𝑛=1,2,3,⋯

𝑓(𝑥)

2

∞+∑𝑎𝑛

,𝑥∈ 𝑓(−𝑥)=

𝒂=𝑎𝑥𝒊+𝑎𝑦𝒋+𝑎𝑧𝒌{𝑎𝑥,𝑎𝑦, |𝑎|=√𝑎𝑥2+𝑎𝑦2+𝑎其 𝑎𝑥=|𝑎|𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑎𝑦=|𝑎|𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑎𝑧=𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑐𝑜𝑠𝛾为𝛼的方向余弦𝑎0

{𝑎𝑥,𝑎𝑦,

,𝑎𝑧}={𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑐𝑜𝑠𝛾 =

,

|𝒂||𝒂|𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛽+𝑐𝑜𝑠2𝛾=向量的数量积(点积、内积定义 (̂,𝒂∙ 𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦+两向量夹角余弦的坐标表达式𝑐𝑜𝑠𝜃=|𝒂||𝒃|√𝑎𝑥2+𝑎𝑦2+𝑎𝑧2√𝑏𝑥2+𝑏𝑦2+𝑏坐标表达式 𝒂∙𝒃＝{𝑎𝑥,𝑎𝑦,𝑎𝑧}∙{𝑏𝑥,𝑏𝑦,𝑏𝑧}＝𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦+交换律 𝒂∙𝒃=𝒃∙𝒂⊥𝒃⟺𝒂∙𝒃=向量的向量积(叉积、外积定义 𝒂与𝒃的向量积记作𝒂×𝒃,以𝒄表示时，即𝒂×𝒃=|𝒄|=|𝒂||𝒃|sin(̂,𝒃)且𝒄⊥𝒂𝒄⊥𝒃𝒂𝒃𝒄𝑆=|𝒂×𝒃|=|𝒂||𝒃|sin(𝒃)(3)𝒂×𝒃=𝑎𝑧 𝒂×𝒃=−𝒃×(1)(𝒂,𝒃,𝒄)=(𝒂×𝒃)∙𝒄=𝒂∙(𝒃×𝒄)=(𝒂×𝒃)∙(𝒂,𝒃,𝒄)=(𝒃,𝒄,𝒂)=(𝒄,𝒂,𝒃)=−(𝒂,𝒄,𝒃)=−(𝒃,𝒂,𝒄)=−(𝒄,𝒃,|(𝒂𝒃,𝒄)|=|(𝒂×𝒃𝒄|𝒂𝒃,𝒄𝒂𝒃𝒄共面⟺(𝒂𝒃𝒄=点法式：过点𝑀0(𝑥0,𝑦0,𝑧0)且以𝒏={𝐴,𝐵,𝐶}𝐴(𝑥−𝑥0)+𝐵(𝑦−𝑦0)+𝐶(𝑧−𝑧0)=𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=

𝑎𝑏+𝑐=1(𝑎𝑏𝑐分别为平面在𝑥𝑦,𝑧轴上截距平面𝜋1𝐴1𝑥𝐵1𝑦𝐶1𝑧𝐷1=0,法向量𝒏1={𝐴1,𝐵1,𝐶1平面𝜋2𝐴2𝑥𝐵2𝑦+𝐶2𝑧𝐷2=0,法向量𝒏2={𝐴2,𝐵2,𝐶2𝜋1⊥𝜋2⟺𝒏1⊥𝒏2⟺𝒏1∙𝒏2=0⟺𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2+𝐶1𝐶2=𝜋1∥𝜋2⟺𝒏1∥𝒏2⟺𝒏1×𝒏2=0⟺

=

=两平面的夹角（锐角

,̂

)=|𝒏1∙𝒏2已知(𝑥0𝑦0,𝑧0,平面𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0,则点(𝑥0𝑦0𝑧0)|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0+

𝑑

√𝐴2+𝐵2+𝐶已知：点𝑀0直线𝑙1,方向𝑺𝑙1上一点𝑀1|𝑺×𝑑 向量𝒏1在𝒏2

𝒏1∙22点向式(标准式或对称式

(𝒏1)𝒏2=|𝒏过点𝑀0(𝑥0,𝑦0,𝑧0)且以𝒍={𝑚,𝑛𝑝}

𝑥−

𝑦−

𝑧−

𝑥=𝑥0+{𝑦=𝑦0+𝑧=𝑧0+{𝐴1𝑥𝐵1𝑦𝐶1𝑧𝐷1=0其中𝒏={𝐴,𝐵𝐶∦{𝐴,𝐵𝐶=𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2𝑧+𝐷2= 直线𝐿：𝑥−𝑥1=𝑦−𝑦1=𝑧−𝑧1 方向向量𝒍= ,𝑛,𝑝 11直线𝐿：𝑥−𝑥2=𝑦−𝑦2=𝑧−𝑧2 方向向量𝒍={𝑚,𝑛,𝑝 22𝐿1⊥𝐿2⟺𝒍1⊥𝒍2⟺𝒍1∙𝒍2=0⟺𝑚1𝑚2+𝑛1𝑛2+𝑝1𝑝2=𝐿1∥𝐿2⟺𝒍1∥𝒍2⟺𝒍1×𝒍2=0⟺

=

=两直线的夹角（锐角

,̂

)=|𝒏1∙𝒏2平面𝜋：𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0,法向量𝒏={𝐴,𝐵,直线𝐿𝑥𝑥0=𝑦−𝑦0=𝑧−𝑧0方向向量𝒍={𝑚𝑛

𝐿∥𝜋⟺𝒍⊥𝒏⟺𝒍∙𝒏= 𝐿⊥𝜋⟺𝒍∥𝒏⟺𝑚=𝑛=𝒏∙𝑠𝑖𝑛𝑎=隐式Σ：𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)= 显式Σ：𝑧=𝑧(𝑥,𝑦)=𝑓(𝑥,𝑦𝑂𝑧平面上曲线{𝑓(𝑦,𝑧)=0 绕𝑧轴旋转所得的曲面方程𝑥=𝑓(±√𝑥2+𝑦2,𝑧)=三重积分𝑓(𝑥𝑦,𝑧)𝑑𝑣Ω且以密度𝑓(𝑥𝑦,𝑧)≥0ΩM=∭𝑓(𝑥,𝑦,Ω

特别的V=∭Ω

体积元素𝑑𝑣=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑣=∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=∬𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑥=

变换：{𝑦=𝑧=

,(0≤θ≤2π,0≤r<+∞,−∞<𝑧<𝑑𝑣=∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑣=∭𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑥=变换：{𝑦=𝑧=

,(0≤θ≤2π,0≤𝜑≤π,0≤r<+∞体积元素𝑑𝑣=𝑟∭𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑣=∭𝑓(𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃,𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑟2 重心(𝑥𝑦,𝑧)设密度ρ=ρ(𝑥𝑦,𝑧,MΩ∭𝑥𝜌(𝑥,𝑦,𝑥 ∭𝑦𝜌(𝑥,𝑦,𝑦

∭𝑧𝜌(𝑥,𝑦,𝑧 𝐼=∫𝑟2𝐼𝑥=∭(𝑦2+𝑧2)𝜌(𝑥,𝑦, 𝐼𝑦=∭(𝑥2+𝑧2)𝜌(𝑥,𝑦,𝐼𝑧=∭(𝑥2+𝑦2)𝜌(𝑥,𝑦, 𝐼0=∭(𝑥2+𝑦2+𝑧2)𝜌(𝑥,𝑦,∫𝑓(𝑥𝑦)𝑑𝑠,其中𝑓(𝑥𝑦)L上,𝑑𝑠L∫𝑓(𝑥𝑦)𝑑𝑠L𝑓≥0∫𝑓(𝑥𝑦)𝑑𝑠=𝑀L且密度为𝑓(𝑥𝑦)≥0L

=𝑠(L的长度平面曲线𝐿:𝑦=𝑦(𝑥)a≤𝑥≤∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠=∫𝑓(𝑥,𝑦(𝑥))√1+𝑦′2(𝑥) L:{𝑥=𝑥(𝑡)𝑦= 1≤𝑡≤

∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠= 𝑓(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡))√𝑥′2(𝑡)+𝑦′2(𝑡)𝑥=

L:{𝑦=𝑦(𝑡)𝑡1≤𝑡𝑧=

∫𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠=∫𝑓(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡))√𝑥′2(𝑡)+𝑦′2(𝑡)+𝑧′2(𝑡) 对坐标的曲线积分（L为𝑥𝑂𝑦平面上逐段光滑的有向曲线FAB

∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,L∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=−∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,平面曲线𝐿𝑦=

∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=∫[𝑃(𝑥,𝑦(𝑥))+𝑄(𝑥,𝑥=3.平面曲线{𝑦=𝑦(𝑡)t从𝑡1变到

∫𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=∫[𝑃(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡)+𝑄(𝑥(𝑡), DL所围成，𝑃(𝑥𝑦)𝑄(𝑥𝑦)DL上具有一阶 ∮𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=∬(𝜕𝑥−𝜕𝑦) ．∫𝑃(𝑥𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥𝑦)𝑑𝑦⟺∮𝑃(𝑥𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0，𝐿DL

=𝜕𝑦(𝑥𝑦)∈𝐷⟺∃𝑢(𝑥𝑦)使𝑑𝑢=𝑃(𝑥𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥注：全微分的相关性质，特殊路径积分法(1,0)->(x∫𝑃𝑑𝑥+𝑄𝑑𝑦=∫(𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼+ ∮𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦+𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑧=∬|

𝜕𝑧| 𝑑𝑠=√1+𝑧′2𝑥+其中，P，Q，R为一阶连续偏导数，L的方向与Σ𝑓(𝑥𝑦,𝑧)是定义在逐片光滑的曲面Σ

∬𝑓(𝑥,𝑦,Σ物理意义：面密度为𝑓(𝑥𝑦,𝑧)≥0的物体Σ∬𝑓(𝑥,𝑦,

∬𝑓(𝑥,𝑦,𝑧(𝑥,𝑦))√1+𝑧′2𝑥+𝑧′2𝑦 ∬𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧+𝑄(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥+𝑅(𝑥,𝑦,Σ𝑃(𝑥𝑦,𝑧)𝑄(𝑥𝑦𝑧)𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)定义在逐片光滑有向曲面∬𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧=−∬𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧=−∬𝑃(𝑥,𝑦, −Σ,Σ−Σ∬𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧+𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥+𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦=∬(𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽+ 其中𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑐𝑜𝑠𝛾Σ在点(𝑥𝑦,𝑧)的法向向量𝒏𝑃(𝑥𝑦,𝑧)𝑄(𝑥𝑦,𝑧)𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)在空间有界闭区域Ω(边界曲面为Σ令其光滑) ∯𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧+𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥+𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦=∭(𝜕𝑥+𝜕𝑦+𝜕𝑧) 𝑢=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)具有一阶连续偏导,𝑢=𝑓(𝑥𝑦,𝑧)在点𝑀0𝑥0𝑦0𝑧0)沿方向𝒍={𝑚𝑛𝑝}

=𝜕𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼+𝜕𝑦

𝑐𝑜𝑠𝛽+𝜕𝑧

其中𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑐𝑜𝑠𝛾𝒍梯度（向量𝑢=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)具有一阶连续偏导,𝑢=𝑓(𝑥𝑦,𝑧)在点𝑀0𝑥0𝑦0𝑧0)𝑔𝑟𝑎𝑑

=

𝜕𝑢

𝜕𝑙

= ,

,𝜕𝑧

∙{𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑐𝑜𝑠𝛾}=𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢|𝑀∙𝑙0其中𝑙0={𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛽,𝑐𝑜𝑠𝛾}是方向𝑙00

𝜕𝑙

=|𝑔𝑟𝑎𝑑

𝑨={𝑃(𝑥,𝑦,𝑧),𝑄(𝑥,𝑦,𝑧),𝑅(𝑥,𝑦, 𝑑𝑖𝑣𝑨=𝜕𝑥+𝜕𝑦+𝑨={𝑃(𝑥,𝑦,𝑧),𝑄(𝑥,𝑦,𝑧),𝑅(𝑥,𝑦,𝜕𝜕|=𝜕𝑅−𝜕𝑄 }

− （一）定义(略1.𝐷𝑇=2.交换行列式的两行（列，改变行列式的符号，即：𝐷1=−𝐷3.某一行（列）的各元素都有公因子𝑘，则可以将𝑘提到行列式号外，即：𝐷1=𝐷=𝑎𝑖1𝐴𝑖1+𝑎𝑖2𝐴𝑖2+𝑎𝑖3𝐴𝑖3+⋯+其中𝑎𝑖1,𝑎𝑖2,⋯,𝑎𝑖𝑛D中第𝑖行的元素，𝐴𝑖1,𝐴𝑖2,⋯,𝐴𝑖𝑛D中对应元素𝑎𝑖1,𝑎𝑖2𝑎𝑖𝑛的代数𝐷=𝑎1𝑗𝐴1𝑗+𝑎2𝑗𝐴2𝑗+𝑎3𝑗𝐴3𝑗+⋯+其中𝑎1𝑗,𝑎2𝑗,⋯,𝑎𝑛𝑗D中第𝑗行的元素，𝐴1𝑗,𝐴2𝑗,⋯,𝐴𝑛𝑗D中对应元素𝑎1𝑗,𝑎2𝑗,⋯,𝑎𝑛𝑗的代数余（四）蒙行列𝑉=

𝑥𝑛为𝑛阶蒙行列

∏(𝑥𝑖−（五）法𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛={𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=⋮𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑥𝑗=𝐷，𝑗=1,2,⋯,𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛={𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛=⋮𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=当系数行列式𝐷≠0当系数行列式𝐷0

⋯ ⋯

𝑨=

⋮𝑚𝑛𝑛𝑛

𝑨𝑇为𝑨

𝑨=𝑩⟺𝑎𝑖𝑗=|𝜆𝑨𝑛×𝑛|=𝜆𝑛|𝑨𝑛×𝑛(1)(𝑨𝑇)𝑇= (2)(𝑨+𝑩)𝑇=𝑨𝑇+(3)(𝜆𝑨)𝑇= (4)(𝑨𝑩)𝑇= (5)|𝑨𝑇|= 对角阵 𝚲=[ ⋮ (3)对称矩阵：𝑨𝑇=(4)称矩阵：𝑨𝑇=

= =

]称为矩阵 的伴随矩阵

A中元素𝑎式

𝑨∗=(𝐴𝑖𝑗𝑨𝑨∗=𝑨∗𝑨= (𝑨∗)∗= ,(𝑘𝑨)∗=𝑘|𝑨∗|= (𝑨𝑩)∗=𝑛,𝑟(𝑨)=𝑟(𝑨∗)={1,𝑟(𝑨)=𝑛−0,𝑟(𝑨)<𝑛−𝑨𝑩=𝑩𝑨=ABA的逆矩阵，记为𝐁=𝐀𝐀−1=𝐀−𝟏𝑨=𝑨⟺|𝑨|≠若|𝑨|≠0,则𝑨−1

,𝑨∗为𝐀的伴随矩阵 (𝑨−1)∗=(𝑨∗)−1 推导𝑨=A可逆⟺𝑨𝑩𝑬⟺𝑨𝑇⟺𝑨∗①逆阵唯 ②(𝑨−1)−1= ③(𝜆𝑨)−1=1④(𝑨−1)𝑇= ⑤(𝑨𝑩)−1= ⑥|𝑨−1|= 0

𝑨

=

=( 7.正交矩阵（𝑨𝑇=

𝑛阶矩阵𝑨为正交矩阵⟺𝑨𝑇=𝑨−1(𝑨𝑨𝑇=若𝑨正交，𝑨𝑨−1𝑨𝑇若𝑨𝑩n阶正交矩阵，则𝑨𝑩(4)若𝑨正交，则|𝑨|𝑨=(𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛,𝑩=(𝑏𝑖𝑗)𝑛×𝑠,则𝑪＝𝑨𝑩=(注：(1)𝑨𝑩≠𝑩𝑨(2)(𝑨𝑩)𝑪=𝑨(𝑩𝑪)(3)|𝜆𝑨𝒏×𝒏|=ABABA～B.r(A)=r(B定义：𝑨𝑚×𝑛A的秩.𝑟𝑎𝑛𝑘𝑨0≤𝑟(𝑨𝑚×𝑛)≤min{𝑚,𝑟(𝑨𝑇)=若𝑟(𝑨𝑚×𝑛)=𝑘,则𝑨中所有≥𝑘+1𝑟(𝑨𝑩)≤𝑟(𝑨),𝑟(𝑨𝑩)≤若𝑨则𝑟(𝑨𝑩)=𝑟(𝑩𝑨)=求𝑨−1：若𝑨−1存在，利用初等行变换(𝑨⋮𝑬) (𝑬⋮𝑩),则𝑩=ABn阶方阵，𝑨𝑩=0，则𝑟(𝑨+𝑟(𝑩)≤AB均为𝑚𝑛𝑟(𝑨)−𝑟(𝑩)≤𝑟(𝑨+𝑩)≤𝑟(𝑨)+1.若𝛽=𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2𝑘𝑚𝛼𝑚，则称𝛽可由向量𝛼1,𝛼2𝛼𝑚2.𝐴𝑚×𝑛=(𝛼1,𝛼2,⋯,𝛼𝑛对于向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚，若∃0𝑘1,𝑘2𝑘𝑚𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2+⋯+𝑘𝑚𝛼𝑚=成立，则称向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚线性相关.否则，则称向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚𝛼1,𝛼2𝛼𝑚线性相关⟺向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚线性无关⟺只有𝑘1=𝑘2=⋯=𝑘𝑚=0𝑘1𝛼1+𝑘2𝛼2𝑘𝑚𝛼𝑚=0向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚线性无关⟺若存在其中𝑟个向量𝛼1,𝛼2𝛼𝑟满足：(2)I𝑟个向量𝛼1𝛼2𝛼𝑟I向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚中最大无关组的向量个数𝑟(𝑟≤𝑚)称为向量组𝛼1,𝛼2𝛼𝑚的秩，记为III线性表示，则𝑟(𝐼)≤III线性表示，则𝑟(𝐼𝐼)III等价向量组具有相同的秩:𝑟(𝐼)=(1)𝛼=(𝛼1,𝛼2𝛼𝑛𝑇,𝛽=(𝑏1,𝑏2𝑏𝑛)𝑇,𝛼β𝛼𝑇∙𝛽=(𝛼 ⋯,𝛼)∙(𝑏2)=𝛼𝑏+𝛼𝑏+⋯+𝛼 2

1 2 𝑛(2)𝛼β正交⟺𝛼⊥𝛽⟺𝛼𝑇∙𝛽=𝐴𝑚×𝑛𝑥=0只有零解⟺𝑟(𝐴)=𝐴𝑚×𝑛𝑥=0有非零解⟺𝑟(𝐴)=𝑟<𝐴𝑚×𝑛𝑥=0的基础解系：若存在一组𝐴𝑥=0的解𝜉1,𝜉2𝜉𝑛−𝑟𝐴𝑥=0则称此𝑛−𝑟个解向量𝜉1𝜉2𝜉𝑛−𝑟𝐴𝑥=0𝐴𝑚×𝑛𝑥0若𝑟(𝐴)𝑟𝐴𝑥=0的基础解系中解的个数=𝑛𝑟，即有𝜉1,𝜉2𝜉𝑛−𝑟为𝐴𝑥=0的基础解系，且𝐴𝑥=0的通解𝑥=𝐶1𝜉1+𝐶2𝜉2+⋯+其中𝐶1,𝐶2,⋯,𝐶𝑛−𝑟𝐴𝑚×𝑛𝑥=𝑏(𝑏≠0)有解⟺𝑟(𝐴)=其中𝐴𝐴⋮𝑏)A(1)当𝑟(𝐴)=𝑟(𝐴𝑚×𝑛)=𝑛则𝐴𝑚×𝑛𝑥=𝑏有唯一解即若𝐴=(𝛼1,𝛼2,⋯,𝛼𝑛)𝑥=(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛𝑇11𝐴𝑥=(𝛼 ⋯,𝛼),(𝑥2)=𝑥𝛼+𝑥𝛼+⋯+𝑥𝛼= 2

1 2 𝑛bA中列向量𝛼1,𝛼2𝛼𝑛(2)𝑟(𝐴)=𝑟(𝐴𝑚×𝑛=𝑟<𝑛.则𝐴𝑚×𝑛𝑥=0的基础解系中向量个数=𝑛−𝑟,即一定存在基础解系𝜉1𝜉2𝜉𝑛−𝑟,则𝐴𝑥=0的通解𝜉=𝐶1𝜉1+𝐶2𝜉2𝐶𝑛−𝑟𝜉𝑛−𝑟.𝜂∗为𝐴𝑥=𝑏的一个特解,则𝐴𝑥=𝑏的𝑥=𝜉+𝜂∗=𝐶1𝜉1+𝐶2𝜉2+⋯+𝐶𝑛−𝑟𝜉𝑛−𝑟+𝐴𝑥=𝑏有解⟺𝑏必可由𝐴=(𝛼1,𝛼2𝛼𝑛)中列向量𝛼1,𝛼2𝛼𝑛定义：对于n阶方阵A𝜆及𝑛维列向量𝑥0使𝐴𝑥𝜆𝑥成立.则称数𝜆为A的特征值，𝑥为𝜆𝐴𝑥=𝜆𝑥(𝑥≠0即(𝐴𝜆𝐸)𝑥=0,由𝑥≠0得|𝐴−𝜆𝐸|=0A的特征方程.𝜆1,𝜆2𝜆𝑛为特征方程的根，即为A的特征值𝜆1,𝜆2,⋯,𝜆𝑛A𝜆1+𝜆2𝜆𝑛=𝑡𝑟𝐴(𝐴的迹)=𝑎11+𝑎22+⋯②𝜆1𝜆2⋯𝜆𝑛=若𝐴0,则|A|=0⟺𝐴为奇异矩阵(不满秩矩阵若𝜆是矩阵𝐴的特征值，则对任意正整数𝑘𝜆𝑘是𝐴𝑘𝐴可逆，且𝜆为𝐴的特征值，则𝜆−1必是𝐴−1的特征值.|𝐴|是𝐴∗的特征值，𝜆也是𝐴𝑇𝜆1,𝜆2若𝝃𝜼A的特征值𝜆0的线性无关的特征向量，𝑘𝑡为不全为零的数，则向量𝑘𝝃𝑡𝜼A的属于𝜆0的特征向量(9)若𝐴𝑘=0A(10)若𝐴2=𝐴,A1(11)若𝐴2=𝐸,A的特征值为－1nA，若存在满秩矩阵（或可逆矩阵）P，使𝑃−1𝐴𝑃𝐵A与B为相似矩阵PA与B相似的相似变换阵.P为正交矩阵(𝑃𝑇=𝑃−1)，使𝑃−1𝐴𝑃=𝐵P为使A与B相似的若𝐴~𝐵,③|𝐴−𝜆𝐸|=|𝐵−𝜆𝐸|,AB具有相同的特征值(𝑡𝑟𝐴=④𝑟(𝐴)=⑤|𝐴|=P，使𝑃−1𝐴𝑃=Λ(对角阵)A可对角化(𝐴𝑃=充分条件：A充分条件：A充要条件：A有𝑛充要条件：对A的每一个重特征根𝜆𝑖 𝑛𝑖=𝑛−𝑟(𝜆𝑖𝑬−判断矩阵能否对角化的步骤(500AB均可对角化时(前提条件)，则|𝐴−𝜆𝐸|=|𝐵𝜆𝐸|⟺A与B实对称矩阵𝐴𝑛×𝑛(𝐴𝑇=𝐴)实对称矩阵𝐴𝑛×𝑛A一定存在𝑛A𝜆1,𝜆2所对应的特征向量𝛼1,𝛼2APA对角化.即有𝑃−1𝐴𝑃=5.若𝑟(𝐴=𝑟，则𝜆=0A的𝑛−𝑟𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)= 𝑥2+𝑎𝑥2+⋯+𝑎𝑥2+2𝑎12𝑥1𝑥2+⋯+2𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑛−111 22 𝑛𝑛

A𝑓

𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)=𝑥𝑇𝐴𝑥,𝐴=

],𝐴𝑇=𝐴,𝑥=[⋮3.𝑓=𝑥𝑇𝐴𝑥,𝑟(𝐴)=𝑟则𝑟(𝑓)=𝑓=𝜆1𝑦2+𝜆2𝑦2+⋯+𝜆𝑛𝑦 若∃C，使𝐶𝑇𝐴𝐶𝐵ABCA与B(2)若∃𝑥=𝐶𝑦(𝐶可逆)𝑓=𝑥𝑇𝐴𝑥=(𝐶𝑦)𝑇𝐴(𝐶𝑦)=𝑦𝑇(𝐶𝑇𝐴𝐶)𝑦=则称此变换𝑥𝐶𝑦为使A与B合同的合同变换.特别的，当合同变换阵C为正交矩阵时，由于𝑃𝑇𝑃−1AB𝑟(𝐴=𝑟(𝐵)A的正惯性指数＝B(1)(𝐴−𝜆𝐸)𝑥=𝑥≠0⟹|𝐴−𝜆𝐸|=0⟹𝜆1,𝜆2,⋯,(𝐴−𝜆𝑖𝐸)=0找出特征向量𝜉0,𝜉0𝜉 (4)𝑃=(𝜉0𝜉0𝜉0) (5)令正交变换𝑥=𝑃𝑦𝑓=𝑥𝑇𝐴𝑥=(𝑃𝑦)𝑇𝐴(𝑃𝑦)=𝑦𝑇(𝑃𝑇𝐴𝑃)𝑦=𝑦𝑇Λ𝑦=𝜆1𝑦2+𝜆2𝑦2+⋯+𝜆𝑛 定义：∀𝑥≠0均有𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)=𝑥𝑇𝐴𝑥>A的各阶顺序主子式A的特征值全部𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛𝐴=𝐵𝑇𝐵B∀𝛼𝛽∈𝑉⟹𝛼+𝛽∈𝑉(加法∀𝛼∈𝑉,𝑘∈𝑅⟹𝑘𝛼∈𝑉(数乘V为向量空间，若𝛼1𝛼2𝛼𝑟∈𝑉,∀𝛼𝑉均可由它们线性表示.𝛼1,𝛼2𝛼𝑟Vr为该向量空间V的维数（三）坐标变换(略———————————————————————————————————————————参考：500一.𝐸1,𝐸2𝐸𝑛随机：由基本组成的称为随机，可记作A,B,必然：在一次试验中必然发生的称为必然，记作不可能：在一次试验中不可能发生的称为不可能，记作注：必然S和不可能∅都属于随和：表示A与B至少有一发生，或者表示A发生或B发生.记作"𝐴∪𝐵积：表示A,B同时发生或A发生且B发生.记作"𝐴∩𝐵"或差：表示A发生B不发生.记作"𝐴−𝐴−𝐵=𝐴=𝐴− 𝐴∪=A与B不相容（互斥） 𝐴𝐵=6.𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)⟺A与B相互独7.对立：若𝐴∪𝐵=𝑆(样本空间),𝐴𝐵=∅,则称A与B互为逆，记作𝐵=注：𝐴𝐴=𝑆𝐴𝐴=∅(1)0≤𝑃(𝐴)≤(2)𝐴=𝑆P(S)=(3)𝐴𝑖𝐴𝑗=∅(𝑖≠𝑗).

𝑃(𝐴1∪𝐴2∪⋯∪𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯+𝑃(𝐴𝑛则称P(A)为A发生的概𝑃(𝐴)

有利于A发生的基本个数 =样本空间S中总的基本个数 𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−

𝑃(𝐴)

总的测度S𝑃(𝐴∪𝐵∪𝐶)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐶)−𝑃(𝐴𝐵)−𝑃(𝐵𝐶)−𝑃(𝐴𝐶)+𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴−𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)−若𝐵⊂𝐴则𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐵|𝐴)

𝑃(𝐴)≠

𝑃(𝐴|𝐵)

𝑃(𝐵)≠𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)=设𝑆=𝐵1∪𝐵2𝐵𝑛,𝐵𝑖𝐵𝑗=∅(𝑖≠𝑗)𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴𝑆)=𝑃(𝐴(𝐵1∪𝐵2∪⋯∪𝐵𝑛))=𝑃(𝐴𝐵1∪𝐴𝐵2∪⋯∪𝐴𝐵𝑛=𝑃(𝐴𝐵1)+𝑃(𝐴𝐵2)+⋯+𝑃(𝐴𝐵𝑛=𝑃(𝐵1)𝑃(𝐴|𝐵1)+𝑃(𝐵2)𝑃(𝐴|𝐵2)+⋯+𝑃(𝐵𝑛)𝑃(𝐴|𝐵𝑛𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵𝑖) 𝑖=1,2,⋯,

∑∑

在相互独立的重复试验中，每次试验的结果只有两个：A𝐴设在每次试验中A出现的概率为𝑝,不出现的概率为𝑞=1−𝑝.则在𝑛次重复独立试验中，k𝑃=𝐶定义：𝑃(𝑋≤𝑥)=𝐹(𝑥)为随量X的分布函(1)0≤𝐹(𝑥)≤(2)𝐹(+∞)=1,𝐹(−∞)=F(x)单调不减;𝑥1<𝑥2⟹𝐹(𝑥1𝐹(𝑥2 𝑙𝑖𝑚𝐹(𝑥)=𝐹(𝑥0001.𝑃{𝑥=𝑥𝑘}=𝑝𝑘,𝑘=1,2𝑛𝑝𝑘≥n∑𝑝𝑘=X P 则称𝑃{𝑥=𝑥𝑘}=𝑝𝑘,𝑘=1X P 𝑝𝑘≥且 𝑝𝑘=(1)(0−1)分布(试验

EX=∑其中 𝑞=1− 𝐸𝑥=𝑝,𝐷𝑥=𝑝𝑞=𝑝(1−(2𝑥~𝐵(𝑛 (二项分布𝑝{𝑥=𝑘}=𝐶𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘,𝑘=0,1,⋯,其 𝑞=1−𝐸𝑥=𝑛𝑝,𝐷𝑥=𝑥~𝑝(𝜆)(泊松分布

𝑝{𝑥=𝑘}

,(𝜆>0),𝑘=0,1,2,特别的,当𝑛≫10<𝑝≪1𝜆=

𝐸𝑥=𝜆,𝐷𝑥=𝐶𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘

𝑃{𝑥=𝑘}

𝐶𝑘∙

,𝑘=0,1,2,⋯,𝑃{𝑥=𝑘}=𝑞𝑘−1𝑝=(1−𝑝)𝑘−1𝑝 𝑘=0,1,2,分布函 𝐹(𝑥)=𝑃{𝑋≤若∃𝑓(𝑥)≥0,使 𝑓(𝑡)𝑑𝑡=𝐹(𝑥),则称随量X为连续型 量.且称𝑓(𝑥)为X的概率密𝑓(𝑥)≥ (2) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥=X~区间(𝑎𝑏)1𝑓(𝑥)={𝑏−

,𝑎<𝑥<

(概率密度0 0 𝑥<𝑥−𝐹(𝑥)=𝑏−

,𝑎≤𝑥<

(分布函数X~参数为𝜆

1 𝑥≥𝑎+ (𝑏−𝐸𝑥 𝐷𝑥 𝑓(𝑥)={𝜆𝑒−𝜆𝑥,𝑥>0 𝑥≤

(𝜆> (概率密度𝐹(𝑥)={1−𝑒−𝜆𝑥,𝑥>0 𝑥≤1

(分布函数1𝑋~𝑁(𝜇

𝐸𝑥=𝜆 𝐷𝑥= 𝑓(𝑥) 𝑒− ,−∞<𝑥<+∞ (概率密度 𝐹(𝑥)=𝑃{𝑋≤𝑥}

2𝜎2 (分布函数𝐸𝑥=𝜇,𝐷𝑥= 𝜑(𝑥)= 𝑒2,−∞<𝑥 𝛷(𝑥) 𝑒−2 √2𝜋

1𝛷(𝑥)+𝛷(−𝑥)=1 𝛷(0)2若𝑋~𝑁(𝜇𝜎2),

𝛷(+∞)=1 𝛷(−∞)=𝑥−𝐹(𝑥)=𝛷(𝜎𝑏−𝑃(𝑎<𝑥<𝑏)=𝛷 𝜎)−

𝑎−𝜎设连续型随量X的概率密度𝑓𝑋(𝑥),𝑥∈𝑅,在X可能取值的区间上．，𝑥=ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)的反函数，则随量X的函数𝑌̅=𝑔(𝑥)的概率密度 𝛼<𝑦<𝑓𝑌̅(𝑦)={ 0, 其中(αβ)𝑦=𝑔(𝑥)X可能取值得区间上的值域定义：𝐹(𝑥𝑦)=𝑃{𝑋≤𝑥𝑌̅≤𝑦},𝑥,𝑦∈R为(XY)𝐹(𝑥𝑦)(1)0≤𝐹(𝑥,𝑦)≤𝐹(+∞,+∞)=1,𝐹(−∞,𝑦)=𝐹(𝑥,−∞)=𝐹(−∞,−∞)=𝐹(𝑥𝑦)关于𝑥单调增,𝑥1<𝑥2,关于𝑦单调增,𝑦1<𝑦2,

𝐹(𝑥1,𝑦)≤𝐹(𝑥2,𝐹(𝑥,𝑦1)≤𝐹(𝑥,P{𝑥1<𝑋≤𝑥2,𝑦1<𝑌̅≤𝑦2}=F(𝑥2,𝑦2)−F(𝑥2,𝑦1)−F(𝑥1,𝑦2)+F(𝑥1,𝑦1（二）(X,Y)离散型随1.(XY)2.(XY)XY𝑝2∙=∑⋮1（三）(X,Y)连续型随 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑃{𝑋≤𝑥,𝑌̅≤𝑦},若∃𝑓(𝑥,𝑦)≥0使∫−∞∫−∞𝑓(𝑢,𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣=𝐹(𝑥,𝑦),则二维 量(𝑋,𝑌̅)为续型随量，且称𝑓(𝑥,𝑦)为(𝑋,𝑌̅)的概率密度（或密度函数(𝑋𝑌̅)的概率密度𝑓(𝑥𝑦) (1)𝑓(𝑥,𝑦)≥ (2) 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦= 其中𝜎D

1𝑓(𝑥,𝑦)=

,(𝑥,𝑦)∈0 (𝑋,𝑌̅)~𝑁(𝜇1,𝜎2;𝜇2,𝜎2;𝜌 1

(𝑥−𝜇1 (𝑥−𝜇1)(𝑦−𝜇 (𝑦−𝜇 1 1

2𝑒𝑥𝑝(−2(1−𝜌2) − 𝜎 𝑥𝑦∈𝑅𝜎1𝜎2>0𝜌, 𝑓(𝑥)=∫+∞𝑓(𝑥, 分布函

𝑋(𝑥)=lim

𝐹(𝑥, 关于Y的边缘概率密 𝑓(𝑦)=∫+∞𝑓(𝑥, 分布函 ,(1)在𝑋=𝑥Y

(𝑦)=

𝐹(𝑥,条件概率密 𝑓𝑌̅|𝑋(𝑦|𝑥)条件分布函 (𝑦|𝑥)=

𝑓(𝑥,𝑓(𝑥, (1)在𝑌̅=𝑦X𝑓(𝑥,条件概率密 𝑓𝑋|𝑌̅(𝑥|𝑦)条件分布函 (𝑥|𝑦)=

𝑓(𝑥, （四）(𝑋𝑌̅)XY(𝑋𝑌̅)𝑃{𝑋=𝑥𝑖,𝑌̅=𝑦𝑗}=𝑝𝑖𝑗,𝑖=1,⋯,𝑚;𝑗=1,⋯,XY独立𝑝𝑖𝑗＝𝑝𝑖∙𝑝∙𝑗⟺𝑃{𝑋=𝑥𝑖𝑌̅𝑦𝑗}＝𝑃{𝑋𝑥𝑖}𝑃𝑌̅𝑦𝑗(𝑋𝑌̅)XY独立⟺𝑓(𝑥𝑦)=𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌̅(𝑦⟺𝐹(𝑥𝑦)𝐹𝑋(𝑥)∙𝐹𝑌̅（五）(𝑋𝑌̅)(𝑋𝑌̅)连续型𝑍=𝑔(𝑥2.𝑍=𝑋+

𝐹𝑧(𝑧)=𝑃{𝑍≤𝑧}=𝑃{𝑋+𝑌̅≤𝑧} 𝑓(𝑥,𝑔(𝑥 𝐹𝑧(𝑧)=𝑃{𝑍≤𝑧}=𝑃{𝑋+𝑌̅≤𝑧} ∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝑑𝑥 𝑓(𝑥,

𝐹′(𝑧)=𝑓(𝑧)= 𝑓(𝑥,𝑧−𝑥)𝑑𝑥= 𝑓(𝑧−𝑦, （卷积）若X,Y独立，则𝑍=𝑋+𝑌̅的概率密 𝑓𝑧(𝑧)= 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌̅(𝑧−𝑥)𝑑𝑥= 𝑓𝑋(𝑧− ∞∞∞若∑|𝑥𝑖收敛，则称∑𝑥𝑖𝑝𝑖为随量X的数学期望，记作𝐸𝑋，即：𝐸𝑋= X~𝑓𝑋(𝑥),若 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥绝对收敛，则称 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥为随量X的数学期望，记作𝐸𝑋，即 随量函数的数学期

𝐸𝑋= X~𝑓𝑋(𝑥),若 𝑔(𝑥)𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥绝对收敛，则𝐸𝑌̅= (1)EC=C(C为常数)XY设X为一随量，如果数学期望E(X−EX)2存在，则称E(X−EX)2为随量X的方差，记作DX，(1)DC=(2)D(X+C)=

DX=E(X−DX=EX2−XY相互独立，D(XY)=DX+DX=0𝑋1CP{X=C}=1.(𝑋𝑌̅)为离散型，𝑍=𝑔(𝑥𝑃{𝑋=𝑥𝑖,𝑌̅=𝑦𝑖}=𝑝𝑖𝑗 𝑖=1,⋯,𝑚;𝑗=1,⋯, 𝐸𝑍=∑∑𝑔(𝑥𝑖,𝑦𝑖𝑖=12.(𝑋𝑌̅)为连续型，𝑍=𝑔(𝑥𝑦)(𝑋,𝑌̅)~𝑓(𝑥,𝑦)联合概率密度（二）

𝐸𝑍= 𝑔(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥, 如果𝐸(𝑥𝑘)存在，则称𝐸(𝑥𝑘)为随量𝑥的k阶原点如果𝐸(𝑥−𝐸𝑥)𝑘存在，则称𝐸(𝑥−𝐸𝑥)𝑘为𝑥k𝑥的二阶中心矩即为𝐷𝑋=𝐸(𝑥−如果𝐸(𝑥𝑘𝑦𝑙)存在，则称𝐸(𝑥𝑘𝑦𝑙)为𝑥和𝑦的𝑘+𝑙如果𝐸[(𝑥−𝐸𝑥)𝑘(𝑦−𝐸𝑦)𝑙]存在，则称𝐸[(𝑥−𝐸𝑥)𝑘(𝑦−𝐸𝑦)𝑙]为𝑥和𝑦的𝑘+𝑙若数学期望𝐸[(𝑥−𝐸𝑥)(𝑦−𝐸𝑦)]存在，则称𝐸[(𝑥−𝐸𝑥)(𝑦𝐸𝑦)]为𝑥𝑦的协方差，记为𝑐𝑜𝑣(𝑥𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑦)=𝐸[(𝑥−𝐸𝑥)(𝑦−𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑦)=𝑐𝑜𝑣(𝑦,

𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑦)=𝐸𝑥𝑦−𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑥,𝑦+𝑐)=𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑥,𝑦)=𝑎𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑥,𝑏𝑦)=𝑎𝑏𝑐𝑜𝑣(𝑥,(4)𝑐𝑜𝑣(𝑥+𝑦,𝑧)=𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑧)+𝑐𝑜𝑣(𝑦,𝐷(𝑥±𝑦)=𝐷𝑥±2𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑦)+ ;𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑥)= 𝑐𝑜𝑣(𝑥,𝑦)=2[𝐷(𝑥+𝑦)−𝐷𝑥−𝐷𝑦]=2[𝐷𝑥+𝐷𝑦−𝐷(𝑥−定义：若方差𝐷𝑥与𝐷𝑦都不为0，则有𝜌𝑥𝑦为随量𝑥,𝑦的相关系数，𝑐𝑜𝑣(𝑥,

𝜌𝑥𝑦

𝜌𝑥𝑦

𝐸𝑥𝑦−𝜌𝑥𝑦=0⟺𝑐𝑜𝑣(𝑥𝑦)=0⟺𝐸𝑥𝑦=𝐸𝑥𝐸𝑦(𝑥𝑦不相关注：𝑥𝑦独立→𝑥𝑦不相关(反之不成立|𝜌𝑥𝑦|≤|𝜌𝑥𝑦|1𝑃{𝑦=𝑎𝑥𝑏=1.a>0时,𝜌𝑥𝑦=1a<0时,𝜌𝑥𝑦（一）切不等随量𝑋的数学期望𝐸𝑋与方差𝐷𝑋都存在，则对任意给定的正数𝜀，总 𝑃{|𝑋−𝐸𝑋|≥𝜀}

𝑃{|𝑋−𝐸𝑋|<𝜀}≥1− (判断一致估计量设{Xn}为随量序列，A为一常数，∀ε>0,恒𝑙𝑖𝑚𝑃{|𝑋𝑛−𝐴|<𝜀}=则称随量序列{Xn}依概率收敛于A，记作𝑋𝑛→切大数定设𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛,⋯为两两不相关（或两两独立）的随量序列，分别具有数学期望𝐸𝑋𝑖=𝜇𝑖和方𝐷𝑋𝑖=𝜎2,且方差有公共上界，即∃M>0,使𝐷(𝑋𝑖)≤𝑀则∀ε>0𝑙𝑖𝑚

1 ∑𝑋𝑖

∑𝐸(𝑋𝑖)|<𝜀}= 独立同分布的切大数定

设随量序列𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛,⋯相互独立且服从同分布，且有数学期望𝐸𝑋𝑛=𝜇和方差𝐷𝑋𝑛=𝜎2，∀ε>0𝑙𝑖𝑚

1𝑛∑𝑋𝑖−𝜇|<𝜀}=

𝑙𝑖𝑚P{|𝑓𝑛(𝐴)−𝑝|<𝜀}=设随量序列𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛,⋯相互独立且服从同分布，𝐸(𝑋𝑛)=𝜇存在，则∀ε>0，总

𝑙𝑖𝑚

1𝑛∑𝑋𝑖−𝜇|<𝜀}=独立同分布中心极限定理（－中心极限定理设随量序列𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛,⋯相互独立且服从同分布，𝐸(𝑋𝑛)=𝜇,𝐷(𝑋𝑛)=𝜎2≠0都存在，则∀ε>0，1∑𝑛𝑋−

𝑋−𝑙𝑖𝑚𝑃{

𝑖=1

≤𝑥}=𝜇

≤𝑥}=

𝑌̅

~𝑁(0设随量𝑋𝑛~参数为𝑛,𝑝的二项分布𝐵(𝑛,𝑝),0<𝑝<1,则∀𝑥，总𝑋𝑛−𝑙𝑖𝑚 ≤𝑥}=(1)此定理即𝑋𝑛~𝐵(𝑛𝑝)0<𝑝<1

√𝑛𝑝(1−

𝑋𝑛−𝐸𝑋𝑛=𝑛𝑝

=𝑛𝑝(1−𝑝),𝑌̅𝑛 ~𝑁(0√𝑛𝑝(1−(2)在定理条件下对于∀𝑥=𝑘,0≤𝑘≤𝑛当𝑛 𝑘−其中𝜑为𝑁(01)

𝐶𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘

𝜑( √𝑛𝑝(1− √𝑛𝑝(1−(3)𝑃{𝑐< <𝑑}=𝑃{𝑐 𝑋𝑛− <𝑑}(3)𝑃{𝑐< √𝑛𝑝(1−七.设𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛为随量若满足𝑋1𝑋2𝑋𝑛则称随量𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛为来自总体X的简单随机样本，简