函数模型及其应用（课件）-2024届《创新设计》高考数学一轮复习（湘教版）

第二章函数INNOVATIVEDESIGN第10节函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.指数、对数、幂函数模型性质比较知识梳理函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调______单调______单调______增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增递增y轴x轴2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)[常用结论]1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×诊断自测××√∴每件赔1元，(1)错误.(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确.C3.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算1350可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%解析若x＝1300，则y＝5%(1300－800)＝25＜30，因此x＞1300.由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元).

4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.506KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程例1已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(

)D

解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.感悟提升训练1(2023·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口

感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用

85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可

以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时

间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(

)BA.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.考点二已知函数模型解决实际问题例2我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y＝y0·ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y0表示t＝0时的人口数(单位：亿)，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)(

) A.14.30亿 B.15.20亿

C.14.62亿

D.15.72亿A

解析由马尔萨斯人口增长模型，得13.33＝12.43e10r，所以我国2020年年末的全国总人口数约为1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.感悟提升B

解析当M＝3m时，v＝5.544，解得M≈159.725≈160(吨)，即M至少约为160吨.故选B.考点三构建函数模型解决实际问题角度1构建二次函数模型A整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解当0＜x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得当x∈(0，9)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(9，10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.综上，当x＝9时，年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.感悟提升A

解析由题意可知2025年的总收入为300亿元.因为要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，(2)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.①写出飞机票的价格关于人数的函数；解设该旅行团的人数为x，由题意得0＜x≤75(x∈N*)，飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利润为w元.(ⅰ)当0≤x≤30时，y＝900，(ⅱ)当30＜x≤75时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，

②每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解当0≤x≤30时，w＝900x－15000，当x＝30时，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；当30＜x≤75时，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，当x＝60时，w最大为21000元，所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(

)B【A级

基础巩固】x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01解析由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只,估计第5年有越冬白鹭(ln2≈0.7,ln3≈1.1)(

) A.1530只 B.1636只

C.1830只

D.1930只解析∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，且当x＝2时，y＝1000，∴1000＝klog33，解得k＝1000，BD4.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(

)BD解析在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；5.(2023·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(

) A.8 B.10 C.12

D.13B解析设该企业需要更新设备的年数为x(x∈N*)，设备年平均费用为y万元，当且仅当x＝10时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.D

解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.综上，所求处理量为400吨.故选D.7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(

)B解析设AD长为x，则CD长为16－x.又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12，则矩形ABCD的面积为x(16－x).当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)，分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近.8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”.10所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.12010.某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100千克.80解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值为80元/100千克.(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解由题意可得，当0＜x≤40时，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？解若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以当x＝30时，W(x)max＝1500万元.A【B级

能力提升】解析将A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，D型号每层玻璃厚度d(单位：厘米)玻璃间夹空气层厚度l(单位：厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44则保温效果最好的双层玻璃的型号是(

)A.A型 B.B型

C.C型

D.D型固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保温效果越好.对于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，对于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，对于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，对于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝