高中数学-反证法教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析反证法是高中数学选修2-2第二章《推理与证明》中介绍证明问题的一种方法，在前一节学过的综合法与分析法的基础上，进一步学习的证明问题的方法。反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法。本节内容应用广泛，可以用它处理不等式、数列、向量、函数等问题。教材分析本课是人教B版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。学情分析本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。所教学生是文科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生质数的了解不足，研究不够，所以例2和品味经典有困难。教学设计一、教材内容分析:本课是人教B版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。二、学生学习情况分析：本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。所教学生是文科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生质数的了解不足，研究不够，所以例2和品味经典有困难。三、设计思想本节课的设计遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。四、教学目标知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。情感、态度、价值观：（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。（2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。五、教学重点与难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。六、学法指导通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.【教学过程】一、学前准备1、复习回顾上节课我们学习了用，直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。2、情景创设：借助于“道旁苦李”的小故事，提出问题：王戎与其他小朋友在知道“苦李”的方式上有什么不同。【设计意图】：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。二、自学、合作探究（一）通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）三、例题讲解例1.已知：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证：∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中不都小于60°.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障。借助王戎的思考方式，初步了解反证法的思路。四、巩固训练：1.求证：不可能成等差数列．【设计意图】：结论中含否定词语，故考虑采用反证法.)【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单。五、自学、合作探究（二）根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题.和应用反证法的关键。【设计意图】：侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识自主探究新知识六、课堂小结由学生总结本节课的收获【设计意图】：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。七、小试牛刀1．否定下列命题的结论：（1）在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。。（C、D组完成）（2）如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径）（C、D组完成）（3）在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。（A、B组完成）（4）在⊿ABC中，至多有只有一个直角。（A、B组完成）2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D

。三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°八、作业必做：67页练习A第2题选做：习题B组第5题检测练习效果分析结合学生在课上及课后的反馈情况，学生对反证法理解还是不错的，能用反证法证明问题，这说明本节课对于这两部分的设计比较成功，效果明显。但是新的问题是学生们在反证法证明问题时推理方法多样化，这就要求教师要引导学生优化自己的解题方法。观评记录郭金梅：课堂语言简洁明了，教态亲切自然，能与学生融合在一起，并在整堂课中倡导学生自主发展，自主探究，给学生创造了一个良好的学习氛围。学生对老师提的问题能够积极思考，能提出问题，发现问题，积极的探究问题，同时教师保证了学生的自主学习时间，在整节课的学习中，学生精神饱满，情感愉悦，思维活跃，参与度高。李红升：开头以一个小故事为依据，提高了学生的学习兴趣。整堂课环环相扣，思路清晰，环节紧凑，重难点突出，设计合理，学生的课堂习惯非常好，每个人都能积极的参与到课堂中，课堂效果较好，老师在教学新知时循循善诱，让学生学习起来毫不费力，分发挥了学生的主动性，教学设计很好，引导得也很到位。，在教学内容上，能正确理解并创造性的使用教材，关注学生的学习兴趣和经验。孙文龙：本节课目标设计合理，贴近学生和教学实际情况，教学环节齐全，目标达成度高，达到了预期的教学效果；教学思维体现了一学生为主体，教师为主导，教师面向全体，因材施教，符合课程标准的要求，体现知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观三维一体的教学目标；教学情境创设新颖，教学活动设计得体，能激发学生的学习动机，以问题为中心，引导学生积极思考，主动探求，使不同类