三角函数的图像与性质知识点归纳

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，单调性、技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.1(一)三角函数的定义域和值域1函数y＝lg(sinx)＋cosx－2的定义域为____________sinx0|cosx－2≥0，|cosx≥2，|－3＋2kπ≤x≤3＋2kπππ2函数y＝sinx－cosx的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定3)Dπππ7ππππ7π∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.17．(满分12分)已知函数42x+=[,]，……4分444……5分2………2分………2分sx22sinx2…………3分42sin(2x+)=[,1]，42x5y=Asin(x+)yAsinx+bππ解:函数f(x)＝asinx－bcosx的最小值为－f(x)＝a2＋b2sin(x－p)其中cosp＝ab2，sinp＝ab2|，a2＋b2.6(－a2＋b2＝－2，(a＝－3，(a解得〈lb＝1.①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．x时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值______，最大值是________．又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)1717(补充)(1)求函数f(x)=tan28f(x)=2sin2x+1=3sin2x+cosxsin2x2sinxcosx ()> ()>xxtanx数的值域)(补充)9yasinxcosxbsinxcosxc三角函数，可例2．(5)详见第一章第二讲函数值域《名师一号》P14问题探究问题(6)当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；求函数y=的值域 ()=y()()()2()24(4(kx–y–k–=41431435令=1解得k=–「35]1则M+m的值是.以f(x)的最大值是M=1+g(x)，max最小值是m=1+g(x)，因为g(x)是奇函数，min所以g(x)+g(x)=0，maxmin所以M+m=1+g(x)+1+g(x)=2.maxmin(三)三角函数的周期性、奇偶性、对称性A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数答案B(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③2π解：由于y＝cos|2x|＝cos2x，所以该函数的周期为2＝π；由函y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φA.2C.2A.2C.2D.3cosxsinxfx间的距离＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是A函数图象质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．(1)若函数f(x)＝sin(p∈[0,2π])是偶函数，π)2πB.3x＋p解：(1)∵f(x)＝sin3是偶函数，∴f(0)＝±1.x＋p变式：若函数f(x)＝sin3(p∈[0,2π])是奇函数，则p＝？ycosxp点，0|中心对称，那么|p|的最小值为()ππππA.6B.4C.3D.23cos2×＋p＝3cos＋p＋2π＝3cos3＋p＝0，∴3＝3cos3＋p＝0，∴3＋p＝kπ＋2，k∈Z.∴p＝kπ－6∴p＝kπ－6，k∈Z，取k＝0，得|p|的最小值为6.f(x)＝0.(2)对于函数y＝Asin(ωx＋p)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．若f(x)＝Asin(ωx＋p)为偶函数，若f(x)＝Asin(ωx＋p)为奇函数，如果求f(x)的对称轴，如果求f(x)的对称中心的横坐标，同理对于y＝Acos(ωx＋p)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝Atan(ωx＋p)可求出对称中心．先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．∵f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋.ππ∵函数f(x＋φ)为偶函数，∴φ＋3＝2＋kπ，k∈ππππ又∵|φ|≤2，∴φ＝6.(四)三角函数的单调性(m)函数=|-|的单调递减区间为 ()(2)《名师一号》P57高频考点例2已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋))(ω>0)的最小正周期为π.(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性．＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋＋2.fxπ，且ω>0.2π从而有2ω＝π，故ω＝1.ππππ简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y＝Asin(ωx＋p)或y＝Acos(ωx＋p)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋p”为一个整体，通过解不等式f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx.∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1<t<1，1、设函数f(x)＝2sin(2x＋5)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为()12为最小值，f(x2)为最大值且(x1，f(x1))，(x2，f(x2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．T244特殊情况---三角函数的奇偶性例2(补充)(1)(08.江西)函数f(x)=sinx是()(07